基于高等幾何思想的初等幾何解題應用

摘 要：從高等幾何的重要知識出發(fā)，結合初等幾何中的題目，深入探討高等幾何中的仿射變換、德薩格定理、完全四點形的調和性等知識對初等幾何的重要指導作用.通過學習高等幾何知識，幫助師范生和中學教師深入理解初等幾何中的概念和原理，從而拓展他們的數學思維能力.

關鍵詞：高等幾何；仿射變換；德薩格定理；完全四點形

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0026-03

高等幾何是比初等幾何更深層次的學問，它以初等幾何、解析幾何等知識為基礎，不僅可以培養(yǎng)師范生的幾何素養(yǎng)，還能提高中學教師以高等幾何方法指導初等幾何教學的水平.所以要求師范生及中學教師掌握高等幾何的重要思想，站在更高的觀點下審視初等幾何.

1 高等幾何與初等幾何的關系

1.1 高等幾何在初等幾何中的地位

初等幾何是運用最簡單直接的方法來討論問題，即在基本定理公式的基礎之上，通過簡單的邏輯推理得出很多關于圖形的性質（定理），利用得到的性質進行計算.然而這種討論問題的方法具有很高的技巧性，對于復雜的問題往往束手無策.

高等幾何是初等幾何的進一步延伸.雖然高等幾何對抽象性、邏輯性要求較高，但是初等幾何和高等幾何聯系密切，掌握高等幾何的必要知識，對解決初等幾何學習中的問題有著必不可少的作用.

1.2 高等幾何對初等幾何的指導意義

高等幾何是利用變換群的觀點定義的幾何學，掌握了高等幾何，可以在研究初等幾何問題時居高臨下，思維更加開闊，進一步加深對幾何學的理解.高等幾何拓展了研究初等幾何的方法，高校師范專業(yè)學生或在職教師通過對高等幾何的學習，能夠提高自己對幾何學的認知和業(yè)務水平，更好地把握幾何教材，有利于搞好教學工作.

高等幾何知識對初等幾何學習的影響并不是要提供具體的公式和解題方法，而是要從其自身的知識結構出發(fā)，來類比分析初等幾何的問題.相對于初等幾何而言，高等幾何有著許多的特有知識結構，例如正交變換、仿射變換、射影變換等[1].此外，深入理解初等幾何與解析幾何之間的聯系也具有重要意義.因此，在高等幾何的學習中，除了掌握課本內容，還需要追溯與初高中已學知識的內在聯系，進一步深化對初等幾何理論與實際應用的探究.

2 高等幾何在初等幾何解題中的應用2.1 初等幾何題中的仿射變換

仿射變換是一種向量空間之間的線性變換[2]，經過仿射變換，圖形間的相對位置關系不會發(fā)生變化，例如平行線變換后還是平行線、直線變換后還是直線，并且同一條直線上的點的位置順序和長度的比例關系不變.但向量的夾角可能會發(fā)生變化，垂直關系可能會發(fā)生變化.

例1 設直線l：y=kx+m（|k|≤12）與橢圓

x24+y23=1相交于A，B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作

OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點.求|OP|的取值范圍.

解析 圖1經過仿射變換后橢圓轉化成圓，平行四邊形轉化成菱形，如圖2，由題意知|kAB|≤12，所以得|kDE|≤13.又因為菱形的對角線相互垂直，所以|kOF|≥3，從而|xF|≤1，得到|xP|=|xF|≤1.于是OP2=x2P+y2P=x2P+3（1-x2P4）=x2P4+3∈［3，134］.因此OP的取值范圍是［3，132］.

例2 已知△ABC，點D，E分別在邊AB，AC上，使得AD=13AB，AE=13AC，分別連接BE，CD相交于點F，證明：S△FBC=12S△ABC.

證明 將原來的三角形（如圖3）仿射變換成等邊三角形如圖4，知A1D1=13A1B1，A1E1=13A1C1.又因為B1E1交D1C1于點F1，連接A1F1并延長交B1C1于點G1，所以A1G1

⊥B1C1.作F1H1∥B1C1交A1C1于點H1，連接D1E1，得到D1E1=13B1C1.又因為△E1F1D1∽△B1F1C1，所以F1D1=13C1F1，C1D1=43C1F1.又△E1C1D1∽△H1C1F1，E1D1=43F1H1.故F1H1C1G1=2·F1H1B1C1=2·1/33/4=12.所以F1H1=12C1G1.所以F1是A1G1的中點.所以S△F1B1C1=12S△A1B1C1.而兩個三角形面積之比是仿射不變量，即S△FBCS△ABC=S△F1B1C1S△A1B1C1=12.所以S△FBC=12S△ABC.

類似于這樣的初等幾何題都可以利用仿射變換的性質，將一般的圖形轉化成特殊圖形，化難為易，讓學生解決容易理解的特殊題目，培養(yǎng)學生的類比思想，啟發(fā)學生的解題思路，從而解決一般的初等幾何題.

2.2 初等幾何題中的德薩格定理

德薩格定理是指如果兩個三點形三對對應頂點的連線交于一點，則三對對應邊的交點在一條直線上.而德薩格逆定理是指如果兩個三點形三對對應邊的交點在一直線上，則三對對應頂點的連線交于一點.

例3 已知D，E，F分別是△ABC三條邊BC，CA，AB的中點，證明AD，CF，BE相交于點G.

證法1 （初等幾何法）如圖5，連接BE，CF交于點G1，連接AG1并延長交BC于點D，連接EF，所以EF∥BC，從而△G1EF∽△G1BC.又由三角形相似對應邊成比例，所以G1FG1C=FECB=EG1BG1.又因為BC=2EF，所以BG1=2EG1，G1C=2G1F.設AD和BE相交于點G，依舊可以證明BG=2EG，GA=2GD.所以G1和G都是BE上從B到E三分之二點處，故G1和G重合，AD，CF，BE相交于點G，三條中線共點.

證法2 （德薩格定理法）因為D，E，F分別是三角形三條邊BC，CA，AB的中點，所以由三角形中位線定理可知

EF∥BC，ED∥AB，FD∥AC.根據

德薩格逆定理，△ABC和△DEF這兩個三角形，它們每一條對應邊都相交于一點，而每一個交點都在無窮遠直線上，所以它們對應頂點的連線AD，CF，BE相交于一點G.

例4 已知點P，O，Q分別是△ABC的垂心、重心、外心，證明P，O，Q三點共線.

證法1 （初等幾何方法）如圖6，作BC的中點D，AC中點E，連接AP并延長交BC于點F，連接BP并延長交AC于點G，連接AD，DE，DQ，EQ.因為點Q是△ABC的外心，D是BC的中點，E是AC中點，所以DQ是BC的垂直平分線，EQ是AC的垂直平分線，從而DQ⊥BC，EQ⊥AC.又因為點P是△ABC的垂心，所以AP⊥BC，BP⊥AC，因此AP∥DQ，BP∥EQ.又由D是BC的中點，E是AC中點，得到DE∥AB.所以△ABP∽△DEQ.所以APDQ=ABDE=2.因為O是△ABC的重心，AD是BC邊的中線，所以點O在AD上且OAOD=2.因為AP∥DQ，所以∠PAO=∠QDO.又因為APDQ=OAOD=2，得到△AOP∽△DOQ.所以OPOQ=OAOD=2，∠AOP=∠DOQ.因為A，O，D共線，所以∠AOQ+∠DOQ=180°，即∠AOQ+∠AOP=180°.所以P，O，Q三點共線.

證法2 （德薩格逆定理法）在△ABP和△DEQ中，因為AP∥DQ，BP∥EQ，DE∥AB，我們發(fā)現對應的邊都是平行關系，也就是說△ABP和△DEQ三組對應邊的交點都是無窮遠點，所以我們也就可以利用德薩格逆定理的知識，得出AD，BE的交點O與P，Q共線這個結論.

2.3 初等幾何題中的完全四點形

不是所有的共點共線問題都可以用德薩格定理解決，完全四點形也是重要的方法之一.平面上四個點（其中無三點共線）及其兩兩連接的六條直線所組成的圖形稱為完全四點形.完全四點形包含四個頂點，六條邊，而它的對邊沒有共同的頂點，對邊點就是對邊的交點，三對邊點所構成的三點形稱為它的對邊三點形（或中心三點形）.

完全四點形的性質應用有兩方面：首先，在完全四點形的對邊三點形的每條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是對邊點，另兩個點是這條邊與通過第三個對邊點的一對對邊的交點；其次，在完全四點形的每條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是頂點，另一個對偶點里，一個點是對邊點，另一個點是這個邊與對邊三點形的邊的交點.

例3應用德薩格定理證明三角形的三中線共點，也可應用完全四點形的調和性.證明如下：

如圖7，AFGE是完全四點形，連接BE，CF交于點G，連接AG并延長交BC于點D1，由EF∥BC知EF和BC相交于無窮點Q∞，所以由完全四點形的調和性可知（BC，D1Q∞）=-1，所以D1是BC中點，即D1和D重合，即AD，CF，BE共點G.圖7 三角形中線圖

3 結束語

通過上述幾種高等幾何中的方法，為中學幾何的教育提供了更具有深度、廣度的教授方法和學習方法.我們可以將中學幾何中的特殊命題和圖形與普遍意義下的幾何概念建立聯系，這種聯系有助于學生更深入地理解幾何的本質和性質.

參考文獻：

［1］ 馬麗君.淺談高等幾何在初等幾何中的應用[J].長春教育學院學報，2013，29（23）：146-147.

[2] 梅向明.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，2008.

［責任編輯：李 璟］