例析高考題中電磁感應導體棒和導軌模型

摘 要：電磁感應單棒模型和雙棒模型是高考的熱點，這類試題往往情境復雜、變化多樣、綜合性強，對學生關鍵能力和核心素養的要求較高.以2023年的幾道高考題為例，對試題的情境特點、設問角度、考查方式等進行分析點評，并總結處理該類問題的一般思路和方法，指出在教學中要強化模型建構意識，提升模型拓展和遷移的能力，注重培養學生的科學思維.

關鍵詞：高考試題；電磁感應；單棒模型；雙棒模型

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A" "文章編號：1008-0333（2024）19-0105-03

電磁感應中的“導體棒和導軌”模型幾乎涵蓋了高中物理所有的核心知識內容，包括力與運動、能量與動量、電路與電磁感應等，綜合性極強.教學中通常將其分為兩種，“單棒模型”相對簡單，而“雙棒模型”相當于雙電源的相互影響、相互制約的動態過程，難度相對較大[1].本文以2023年的幾道高考題為例，分別探討兩種模型及綜合問題，從情境特點、設問角度、考查方式等方面進行評析，并總結一般的解題思路和方法，以期為教學提供參考.

1 單棒模型

例1 （2023年全國甲卷理綜第25題）如圖1，水平桌面上固定一光滑U形金屬導軌，其平行部分的間距為l，導軌的最右端與桌面右邊緣對齊.導軌的電阻忽略不計.導軌所在區域有方向豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B.一質量為m、電阻為R、長度也為l的金屬棒P靜止在導軌上.導軌上質量為3m的絕緣棒Q位于P的左側，以大小為v0的速度向P運動并與P發生彈性碰撞，碰撞時間很短.碰撞一次后，P和Q先后從導軌的最右端滑出導軌，并落在地面上同一地點.P在導軌上運動時，兩端與導軌接觸良好，P與Q始終平行.不計空氣阻力.求：

（1）金屬棒P滑出導軌時的速度大小；

（2）金屬棒P在導軌上運動過程中產生的熱量；

（3）與P碰撞后，絕緣棒Q在導軌上運動的時間.

解析 （1）Q與P發生彈性碰撞，則有3mv0＝3mvQ＋mvP，12·3mv20＝12·3mv2Q＋12mv2P，解得vQ＝12v0，vP＝32v0.碰撞后金屬棒P做減速運動，離開導軌后做平拋運動；絕緣棒Q做勻速運動，離開導軌后做平拋運動.由于P和Q做平拋運動先后落在地面上同一地點，所以金屬棒P離開導軌時的速度與絕緣棒Q離開導軌時的速度大小相同，即v′P＝vQ＝12v0.

（2）由能量守恒定律，金屬棒P在導軌上的速度從vP減到v′P過程中產生的熱量Q＝12mv2P-12mv′2P＝mv20.

（3）碰撞后金屬棒P在導軌上減速運動，由E＝Blv，i＝ER，F安＝Bil，可得F安＝B2l2vR，沖量大小為I安＝∑B2l2vRΔt＝B2l2Rx.由動量定理B2l2Rx＝mv′P-mvP，可得x＝mv0RB2l2.而絕緣棒Q在導軌上做勻速運動，運動的時間t＝xvQ＝2mRB2l2.

點評 本題考查電磁感應中的導體棒模型，粗看情境，容易思維定式誤以為是雙棒模型，那么試題就會變得無解.其實不然，注意Q棒為絕緣棒，意味著自身不產生任何電學效應，在碰撞前后均做勻速運動，設置這根棒的目的是

綜合碰撞模型，考查動量和能量綜合應用.而P棒為金屬棒，碰撞后在磁場中運動，屬于單棒模型.本題呈現方式的亮點就在于“形似雙棒實為單棒”，有利于規避“機械刷題”現象，避免導向典型題套路和技巧的運用[2].

2 雙棒模型

例2 （2023年山東卷第12題）（多選）足夠長的U形導軌平置在光滑水平絕緣桌面上，寬為1 m，電阻不計.質量為1 kg、長為1 m、電阻為1 Ω的導體棒MN放置在導軌上，與導軌形成矩形回路并始終接觸良好，Ⅰ和Ⅱ區域內分別存在豎直方向的勻強磁場，磁感應強度分別為B1和B2，其中B1＝2 T，方向向下.用不可伸長的輕繩跨過固定輕滑輪將導軌CD段中點與質量為0.1 kg的重物相連，繩與CD垂直且平行于桌面.如圖2所示，某時刻MN、CD同時分別進入磁場區域Ⅰ和Ⅱ并做勻速直線運動，MN、CD與磁場邊界平行.MN的速度v1＝2 m/s，CD的速度為v2且v2＞v1，MN和導軌間的動摩擦因數為0.2.重力加速度大小取10 m/s2，下列說法正確的是（" ）.

A.B2的方向向上" B.B2的方向向下

C.v2＝5 m/sD.v2＝3 m/s

答案 BD

解析 導體棒和導軌的受力分析和等效電路分別如圖3和4所示（俯視圖）.由于v2＞v1，即導體棒相對導軌向左運動，導體棒受到的摩擦力向右，導軌受到的摩擦力向左，大小為Ff＝μmg＝2 N.由于導體棒做勻速運動，所以安培力向左，大小為F1＝Ff＝2 N，電流方向為順時針方向，由安培力F1＝B1IL，得I＝1 A.由于導軌做勻速運動，且Ff＞FT＝1 N，即摩擦力大于輕繩的拉力，所以導軌的安培力向右，大小為F2＝Ff-FT＝1 N，由左手定則可知B2的方向向下，故B選項正確.由導軌的安培力F2＝B2IL，可得B2＝1 T.由右手定則可知導體棒和導軌的電動勢反接，所以I＝E1-E2R＝B1Lv1-B2Lv2R，解得v2＝3 m/s，故D選項正確.

點評 本題是整套試卷最后一道選擇題，考查電磁感應中的導體棒和導軌模型，情境設計復雜新穎，屬于力電綜合問題.在加入摩擦力和輕繩拉力之后，導體棒和導軌均做勻速運動，使得運動、受力和電學狀態相互關聯、彼此制約，解題時需要找到突破口進行邏輯推理，逐步理清受力分析和等效電路，否則容易陷入思維定式，誤以為導軌向右運動而受到的安培力向左.本題有利于引導學生突破思維定式，杜絕死記硬背結論，倡導具體問題具體分析.

3 綜合問題

例3 （2023年湖南卷第14題）如圖5，兩根足夠長的光滑金屬直導軌平行放置，導軌間距為L，兩導軌及其所構成的平面均與水平面成θ角，整個裝置處于垂直于導軌平面斜向上的勻強磁場中，磁感應強度大小為B.現將質量均為m的金屬棒a、b垂直導軌放置，每根金屬棒接入導軌之間的電阻均為R.運動過程中金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好，金屬棒始終未滑出導軌，導軌電阻忽略不計，重力加速度為g.

（1）先保持棒b靜止，將棒a由靜止釋放，求棒a勻速運動時的速度大小v0；

（2）在（1）問中，當棒a勻速運動時，再將棒b由靜止釋放，求釋放瞬間棒b的加速度大小a0；

（3）在（2）問中，從棒b釋放瞬間開始計時，經過時間t0，兩棒恰好達到相同的速度v，求速度v的大小，以及時間t0內棒a相對于棒b運動的距離Δx.

解析 （1）當只有棒a切割磁感線時，由E＝BLv，i＝E2R，F安＝BiL，可得F安＝B2L2v2R.對棒a勻速運動時，由平衡方程B2L2v02R＝mgsinθ，可得v0＝2mgRsinθB2L2.

（2）對棒b釋放瞬間，由牛頓第二定律mgsinθ＋B2L2v02R＝ma0，可得a0＝2gsinθ.

（3）當棒a和棒b都在切割磁感線時，由E＝BLva-BLvb＝BLΔv，i＝E2R，F安＝BiL，可得F安＝B2L2Δv2R，在時間t0內安培力的沖量大小為I安＝∑B2L2Δv2RΔt＝B2L2Δx2R.由動量定理，對棒a有mgsinθ·t0-B2L2Δx2R＝mv-mv0，對棒b有mgsinθ·t0＋B2L2Δx2R＝mv，聯立兩式解得v＝gt0sinθ＋mgRsinθB2L2，Δx＝2m2gR2sinθB4L4.

點評 本題的情境設計常規，考查傾斜導軌上電磁感應中的導體棒模型，既有單棒模型又有雙棒模型.問題設計層次分明，先單棒后雙棒，先平衡后加速，先瞬間后全程，三個小問由易到難，區分度較高.值得指出的是，理論上兩棒的速度隨時間呈指數規律變化，速度只能不斷接近，不可能相等，即不存在速度相等的時刻，也就不存在相等的速度.為了滿足高考題的要求，可以改為“經過時間t0，兩棒趨于相同的速度v”，以體現真實的物理過程.

4 結束語

模型思維是一種重要的科學思維，建模方法是科學研究中的常用方法，創設基于模型建構的教學環境，有利于培養模型拓展、遷移和應用的能力[3].因此在教學中，一方面要注重問題解決的通性通法，培養學生具體問題具體分析的能力，避免細枝末節知識的過度辨析、典型題套路和技巧的運用，減少重復低效的“機械刷題”現象；另一方面要強化模型建構意識和能力，模型重于題型，思路重于套路，注重培養學生的關鍵能力、核心素養和思維品質.

參考文獻：

［1］ 段石峰.電磁感應含容電路中是否計電阻的討論[J].中學物理教學參考，2022，51（31）：40-43.

[2] 教育部教育考試院.落實立德樹人根本任務 服務拔尖創新人才培養：2023年高考理科綜合全國卷試題評析[J].中國考試，2023（07）：27-31.

[3] 廖伯琴.普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020：50-51.

［責任編輯：李 璟］