探究火箭反沖的速度

摘 要：運(yùn)用動(dòng)量守恒定律探究火箭反沖的速度，從物理學(xué)視角掌握研究質(zhì)量變化問題的科學(xué)方法，形成物理觀念.體會(huì)物理學(xué)科魅力，發(fā)展學(xué)生建模能力和分析推理能力，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力，培養(yǎng)學(xué)生愛國情懷.

關(guān)鍵詞：反沖；建模；動(dòng)量守恒；多級(jí)火箭

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0108-03

反沖現(xiàn)象是指物體在內(nèi)力作用下分裂為兩個(gè)不同部分，并且這兩部分向相反方向運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象；在反沖現(xiàn)象中，若內(nèi)力遠(yuǎn)大于物體受到的外力，則物體發(fā)生反沖現(xiàn)象的過程中遵循動(dòng)量守恒.火箭的飛行應(yīng)用了反沖的原理[1]，那么火箭飛行的速度大小由什么決定呢？火箭是怎樣實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星發(fā)射和載人航天飛行的？要知道這些問題，我們首先要對(duì)火箭飛行原理作定性了解，然后再來探究火箭飛行速度的決定因素.

1 定性分析

火箭殼體內(nèi)儲(chǔ)存著大量的燃料和助燃劑，我們把火箭殼體、燃料及助燃劑看作一個(gè)整體.燃料在燃燒時(shí)，將產(chǎn)生大量高溫高壓的氣體，這些氣體在火箭的尾部以很高的速度向后噴出.這種高溫高壓氣體與火箭殼體及火箭中尚未燃燒的燃料之間的相互作用力是內(nèi)力.火箭還受到重力、空氣阻力等外力的作用，但這些外力在一般情況下比內(nèi)力要小，在初步考慮時(shí)可把這些外力略去不計(jì)而應(yīng)用動(dòng)量守恒定律來處理問題.因噴出的氣體具有很大的動(dòng)量，故火箭在噴射氣體的同時(shí)本身必獲得與氣體動(dòng)量大小相等、方向相反的動(dòng)量.隨著氣體的不斷噴出，火箭的質(zhì)量越來越小，速度越來越大.當(dāng)燃料燒盡時(shí)，火箭就以所獲得的速度繼續(xù)飛行.

2 定量分析

下面利用動(dòng)量守恒定律對(duì)火箭的運(yùn)動(dòng)作一些定量的分析.如圖1所示，在噴射氣體的過程中，火箭的質(zhì)量和速度都不斷在變化.設(shè)在時(shí)刻t火箭的質(zhì)量為m.相對(duì)于地面的速度為v.而在時(shí)刻t+Δt火箭的質(zhì)量變?yōu)閙′. 相對(duì)地面的速度變?yōu)関′=v+Δv.我們用Δm和Δv分別表示火箭的質(zhì)量及速度在Δt時(shí)間內(nèi)的變化量，即：Δm=m′-m. Δv=v′-v.顯然Δmlt;0. 用u表示氣體相對(duì)于火箭的速度，則氣體在t+Δt時(shí)刻相對(duì)地面的速度為u′=u-v′.以火箭運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍跁r(shí)刻t質(zhì)量為m的火箭的總動(dòng)量為p1=mv.在時(shí)刻t+Δt質(zhì)量為m′的火箭及質(zhì)量為Δm的氣體的總動(dòng)量為：

p2=m′v′+Δm（u-v′）.

m′=m-Δm.v′=v+Δv.

代入得：p2=mv+mΔv+uΔm.

根據(jù)動(dòng)量守恒定律：p1=p2.則：

mΔv=-uΔm①

①式就是教材26頁的表達(dá)式.若把①式改為微分形式，則

dv=-μdmm②

設(shè)火箭殼體及所攜帶的燃料及助燃劑的總質(zhì)量為M0. 火箭殼體的質(zhì)量為M. 并設(shè)火箭的初速度為零，噴射終了時(shí)火箭速度為vM. 噴射氣體相對(duì)火箭的速度u設(shè)為恒定.對(duì)②式兩邊積分得：

∫VM0dv=-u∫MM0dmm.

故：vM=ulnM0M③

其中M0M稱為火箭的質(zhì)量比，即火箭起飛時(shí)整體的質(zhì)量與火箭除燃料外的箭體質(zhì)量之比.③式說明火箭在噴射終了時(shí)的速度vM與氣體相對(duì)火箭的噴射速度u成正比，與質(zhì)量比M0M的自然對(duì)數(shù)成正比.由③式可知：只要火箭噴射氣體的速度方向與火箭運(yùn)動(dòng)方向相反，且ugt;0，火箭就能正常提高飛行速度.下面我們運(yùn)用火箭反沖原理解決兩個(gè)簡單問題.

例1 將靜置在地面上、質(zhì)量M0（含燃料） 為10 kg的火箭模型點(diǎn)火升空，在一段相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)以相對(duì)地面的速度v0為6.25 m/s豎直向下連續(xù)噴出質(zhì)量m為8 kg的熾熱氣體.忽略噴氣過程重力和空氣阻力的影響（重力加速度取g=10 m/s2.ln5=1.6. ），則噴氣結(jié)束時(shí)火箭模型獲得的速度大小和上升的最大高度分別為（" ）.

A.25 m/s 31.25 m"" B.10 m/s 5 m

C.5 m/s 1.25 mD.6.25 m/s 1.95 m

解析 火箭點(diǎn)火升空持續(xù)噴氣的時(shí)間內(nèi)，火箭是運(yùn)動(dòng)的，且火箭的質(zhì)量也是連續(xù)變化的，由③式得：噴氣結(jié)束時(shí)火箭模型獲得的速度大小v=10 m/s.然后火箭模型繼續(xù)作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由v2=2gh求得繼續(xù)上升的最大高度為5 m.B選項(xiàng)正確.

注意本題可能錯(cuò)選A. 如果把火箭噴氣前和噴氣結(jié)束時(shí)的兩個(gè)狀態(tài)下運(yùn)用動(dòng)量守恒：mv0+（M0-m）v=0.必將導(dǎo)致錯(cuò)選A. 因?yàn)樵诨鸺_始噴氣時(shí)，火箭也同時(shí)豎直向上運(yùn)動(dòng)，在噴氣時(shí)間內(nèi)火箭和燃料組成的系統(tǒng)動(dòng)量不為零，表達(dá)式：mv0+（M0-m）v=0.是錯(cuò)誤的.

在質(zhì)量和材料不變的條件下，如果將例1中模型火箭改裝成等質(zhì)量的兩級(jí)串聯(lián)式二級(jí)火箭，那么質(zhì)量和材料相同的二級(jí)火箭最終速度有多大呢？下面我們探究這個(gè)問題.

例2 如圖2所示，一級(jí)火箭模型與二級(jí)火箭模型總質(zhì)量均為M0=10 kg.燃料質(zhì)量均為8 kg. 即二級(jí)火箭中每級(jí)總質(zhì)量為m=5 kg.燃料質(zhì)量為m0=4 kg.二級(jí)火箭模型點(diǎn)火升空，在一段相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)以相對(duì)地面的速度v0為6.25 m/s豎直向下連續(xù)噴出熾熱氣體.忽略噴氣過程重力和空氣阻力的影響，也不考慮火箭殼體

脫離時(shí)對(duì)火箭速度的影響（重力加速度取g=10 m/s2.ln5=1.6.ln3=1.1），求二級(jí)火箭模型噴氣結(jié)束時(shí)火箭模型獲得的速度大小.

解析 由③式得：二級(jí)火箭模型第一級(jí)噴氣結(jié)束時(shí)火箭模型的速度v1=v0lnM0M0-m0

由于不考慮火箭殼體脫離時(shí)對(duì)火箭速度的影響. 同理可得第二級(jí)火箭噴氣結(jié)束時(shí)火箭速度為：v2=v1+v0lnM0-mM0-m-m0.求得二級(jí)火箭模型噴氣結(jié)束時(shí)火箭模型獲得的速度為：

v2=13.1 m/s.

對(duì)比例1和例2可以看出，在質(zhì)量和材料相同的條件下，多級(jí)火箭比單級(jí)火箭的速度大.要提高火箭的速度就得提高噴射速度u和質(zhì)量比.但是噴射速度和質(zhì)量比受到種種實(shí)際條件的限制，并不能無限制地提高.一般火箭的噴射速度最大只能達(dá)到2.5 km/s左右，質(zhì)量比一般小于10，相應(yīng)地火箭能達(dá)到的速度是4.5 km/s.要實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星發(fā)射和載人航天飛行，必須使它達(dá)到7.9 km/s左右的速度.因此，利用單級(jí)火箭還不能把人造衛(wèi)星和航天器送上天空.

3 多級(jí)火箭的飛行速度

人造衛(wèi)星是用多級(jí)火箭送上天空的.多級(jí)火箭是由幾個(gè)單級(jí)火箭組合而成，如圖3所示為三級(jí)串聯(lián)式火箭示意圖.在起飛前，這幾個(gè)火箭頭尾相連形成一個(gè)整體.火箭起飛時(shí)，第一級(jí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)開始工作，推動(dòng)各級(jí)火箭一起前進(jìn)，當(dāng)這一級(jí)火箭的燃料燒完后，它那龐大的外殼就自動(dòng)脫落，第二級(jí)火箭接著開始工作，在第一級(jí)火箭加速的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加速.以此類推，每一級(jí)火箭都在前一級(jí)的基礎(chǔ)上提高一定的速度，最終達(dá)到所需要的速度.

在圖3中，假設(shè)每級(jí)火箭殼體和燃料的質(zhì)量分別為M和m. 每級(jí)火箭質(zhì)量比均為n=M+mM. 火箭噴氣的相對(duì)速度假設(shè)為u不變.當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃料用完時(shí)，由③式得：火箭的速度為v1=uln3（M+m）3M+2m.

若第一級(jí)火箭燃料用完時(shí)，火箭的速度為v1.第一級(jí)火箭殼體脫落時(shí)，火箭的速度為v′1. 因?yàn)榛鸺龤んw脫落時(shí)，火箭系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，即：

（3M+2m）v1=2（M+m）v′1+Mv′1

因此火箭脫殼前后的速度不變.當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃料用完時(shí)，火箭的速度為v2.由②式兩邊積分得：

∫v2v1dv=-u∫2M+m2（M+m）dmm.

則v2=v1+uln2（M+m）2M+m.

由于火箭脫殼前后的速度不變，同理可得第三級(jí)火箭燃料用完時(shí)，火箭的速度為：

v3=v2+ulnM+mM

三級(jí)火箭的最終速度為：

v3=uln3（M+m）3M+2m+uln2（M+m）2M+m+ulnM+mM.將火箭的質(zhì)量比：

n=M+mM.

代入化簡得：

v3=uln3n2n+1+uln2nn+1+ulnn④

下面我們利用（4） 式這一結(jié)論初步估算三級(jí)火箭的最終速度.例3 三級(jí)火箭的質(zhì)量比為n=7，火箭噴氣速度u=2.8 km/s.求三級(jí)火箭的最終速度為多少？

解析 運(yùn)用④式將相關(guān)數(shù)據(jù)代入求解得：v3=7.95 km/s，達(dá)到了人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度.理論上火箭的速度隨火箭級(jí)數(shù)增加而增大，但是實(shí)際應(yīng)用中一般不會(huì)超過四級(jí)，因?yàn)榧?jí)數(shù)太多時(shí)，連接機(jī)構(gòu)和控制機(jī)構(gòu)的質(zhì)量會(huì)增加很多，工作的可靠性也會(huì)降低.

4 結(jié)束語

我國自1956年建立了專門的航天機(jī)構(gòu)到現(xiàn)在，火箭技術(shù)有了長足的發(fā)展，放眼整個(gè)茫茫太空，目前也只有兩個(gè)人類空間站，一個(gè)是國際空間站，另一個(gè)就是中國獨(dú)立運(yùn)營的天宮空間站.中國火箭和航天技術(shù)的發(fā)展，壯大了國家的綜合國力，拓展了民族的生存空間，維護(hù)了國家安全，還引領(lǐng)了人類的未來.

參考文獻(xiàn)：［1］ 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書：物理選擇性必修第一冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2020：25.

［責(zé)任編輯：李 璟］