空間幾何體外接球問題的破解策略

摘 要：空間幾何體的外接球問題是立體幾何小題常考的題型.文章從定義法、割補法和找球心法等給出空間幾何體的外接球問題的解題策略.

關鍵詞：立體幾何；空間幾何體；外接球；解題策略

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0045-03

球的內接幾何體（即幾何體的外接球）問題是歷年高考的熱點內容，經常以客觀題出現.一般圍繞球內接其他幾何體命題，考查球的體積與表面積，其解題關鍵是確定球心.

1 定義法

對于外接球模型，其關鍵特征為外“接”.因此，各“接”點到球心距離相等且等于半徑，解題時無論構造圖形還是計算都要利用好這個條件.

例1 正四棱錐P-ABCD的底面邊長為42，PA=45，則平面PCD截四棱錐P-ABCD外接球所得截面的面積為.

解析 設正方形ABCD邊長為a=42，底面中心為E，CD中點為F，連接PE，EF，PF，CE，如圖1所示.

由題意得PE=8，且正四棱錐的外接球球心O，設外接球半徑為R，則OP=OA=OB=OC=OD=R.

在Rt△OEC中，OC2=OE2+EC2，且EC=4，

所以R2=16+（8-R）2，解得R=5.

即OP=5.

在Rt△PEF中，PF=PE2+EF2

=62，

過點O作OQ⊥PF，則OQ即為點O到平面PCD的距離，且點Q為平面PCD截其外接球所得截面圓的圓心，所以△PEF∽△PQO.

則PQPE=OPPF=562.

所以PQ=1023.

所以截面的面積S=πPQ2=200π9.

點評 到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助底面（正方形）的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據球心到其他頂點距離也是半徑，可列關系式求出球的半徑.

2 割補法

對于某些特殊幾何體的外接球問題，如果球心不容易確定，可考慮將其補全為正方體或長方體，這樣球心就與正方體或長方體中心重合了（這是本質所在）.如正四面體、正八面體、對棱相等的四面體、三條側棱兩兩垂直的四面體等，都可補形成為長方體[1].

例2 三棱錐S-ABC中，SA⊥平面△ABC，△ABC為直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=1，SA=2，則三棱錐S-ABC的外接球的體積為.

解析 由題意可將三棱錐S-ABC補全為一個長方體，如圖2所示，則長方體的體對角線SC=SA2+AB2+BC2=6.

即三棱錐外接球的直徑為2R=SC=6.

所以R=62.

因此三棱錐外接球的體積為

V=43πR3=6π.

點評 根據題意，將三棱錐補全為一個長方體，則該長方體的體對角線即為三棱錐外接球的直徑，再由球的體積公式即可得到結果.將待求幾何體看成正方體（或長方體）的一部分，然后通過正方體（或長方體）來求解，這是一個常用方法——割補法，體現了數學的轉化與整體思想.

3 找球心法

在這類題中，組合體的中心常常因組合體的某些性質（如對稱性）而位于一些特殊位置（如圓心、中心重合），因而很多時候確定中心位置對解題具有非常重要的作用.

方法1 常規方法.

①第一步：確定中心位置.

當為外接球時，組合體的中心就是球心.

②第二步：構建幾何圖形.

基于中心位置和球心（不與中心重合時），并結合外接點，構建可方便用來輔助計算的幾何圖形——最終目標多為直角三角形.這是求解這類問題的要領與技巧.

方法2 球的“垂徑定理”.

類似于圓的垂徑定理，球中也有“垂徑定理”，其內容如下：

球心與任一截面圓心的連線垂直于截面；反之，任一截面通過圓心的垂線穿過球心.

球的“垂徑定理”可以說是確定球心的一種通用方法.先找幾何體的一個內接面的外接圓的圓心，通過圓心且垂直于該平面的直線一定穿過球心.同理，可找到一條垂直于另一內接面的外接圓的圓心的直線，兩直線交點即為球心.

如圖3所示，已知四棱錐A-BCDE的底面BCDE是矩形，側面ABC是等邊三角形，則確定四棱錐A-BCDE的外接球的球心步驟為：

底面BCDE外接圓的圓心為對角線的交點O1，過點O1作垂線，球心在其垂線上；平面ABC外接圓的圓心為其外心，由于是正三角形，也是重心O2，過圓心的垂線穿過球心，故球心在兩條垂線的交點上.

例3 如圖4所示，已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為等腰直角三角形，斜邊AC=22，側面SAB為正三角形，D為AB的中點，SD⊥底面ABC，則三棱錐S-ABC外接球的表面積為.

解析 如圖5所示，取AC中點E，連接DE.

在等腰Rt△ABC中，AC=22，則AB=BC=2.

因為側面SAB為正三角形，所以SA=AB=2，SD=3.

因為底面ABC為等腰直角三角形，E是AC中點，故E為△ABC的外心.

所以OE⊥平面ABC.

又SD⊥底面ABC，所以OE∥SD.

設三棱錐S-ABC外接球的球心為O，連接OA，OB，OS，OE，則OA=OB=OS.

所以三棱錐O-SAB為正三棱錐，O在平面SAB上的射影F是△SAB的重心，則點F在SD上，DF=13SD=33，且OF⊥平面SAB.

因為底面ABC為等腰直角三角形，且AC為斜邊，所以AB⊥BC.

因為D，E分別為AB，AC中點，所以DE∥BC.

所以DE⊥AB.

因為SD⊥底面ABC，DE底面ABC，

所以DE⊥SD.

又因為AB∩SD=D，AB，SD平面SAB，

所以DE⊥平面SAB.

所以DE∥OF.

所以四邊形OEDF為矩形，OE=DF=33.

所以外接球半徑

r=|OA|=|AE|2+|OE|2=

（2）2+（33）2=73.

所以外接球表面積S=4πr2=28π3.

點評 設三棱錐S-ABC外接球的球心為O，確定球心的位置，即球心落在過底面外心的垂線上，再利用圖形的幾何性質求得外接球半徑，進而求得表面積.

例4[2] 在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，若P，A，B，C四點都在表面積為16π的球的球面上，則三棱錐P-ABC的體積為.

解析 如圖6所示，設O1為正△ABC的中心，M為PA的中點，過點O1作平面ABC的垂線l，由于PA⊥平面ABC，故l∥PA.

在l，PA確定的平面內作MO⊥l，垂足為點O，則四邊形OO1AM為矩形.

連接O1A，O1B，O1C，則O1A=O1B=O1C.

故OP=OA=OB=OC.

則O為三棱錐P-ABC外接球的球心.

因為P，A，B，C四點都在表面積為16π的球的球面上，

設外接球半徑為R，故4πR2=16π，解得R=2.

△ABC是邊長為2的等邊三角形，

故O1A=23×32×2=233.

故PA=2OO1=R2-AO21=463.

所以三棱錐P-ABC的體積

V=13×（12×22×32）×463=423.

點評 由題意確定三棱錐外接球球心位置，根據外接球表面積求得外接球半徑，即可求得PA的長，再利用三棱錐體積公式即可求得答案.

4 結束語

解決空間幾何體的外接球問題的關鍵是確定球心的位置，建議一線教師在教學中要給學生講清楚確定球心的原理與方法.同時，也要多對外接球模型的試題進行總結，比如長方體模型、三棱錐模型等，在總結中提升教學質量，提高學生的解題能力.

參考文獻：

［1］ 黃偉亮.巧用六大模型 輕松解決四面體外接球問題[J].數理化解題研究，2023（01）：12-16.

[2] 李鴻昌.點在面內的多視角證明與高觀點審視：一道2020年立體幾何高考題引發的探究[J].數理化解題研究，2023（22）：101-104.

［責任編輯：李 璟］