新高考下函數(shù)零點(diǎn)問題探究及解決方法

摘 要：函數(shù)零點(diǎn)是新高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考查點(diǎn)，難度較大，解題方法靈活，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力具有重要作用.在解決函數(shù)零點(diǎn)問題時(shí)，常常需要與導(dǎo)數(shù)、單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)圖象結(jié)合起來，運(yùn)用綜合方法進(jìn)行處理.文章針對(duì)近幾年出現(xiàn)的幾種不同的題型，分別提供了具有針對(duì)性的解決方法.

關(guān)鍵詞：函數(shù)零點(diǎn)；零點(diǎn)個(gè)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；單調(diào)區(qū)間；函數(shù)圖象

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0042-03

函數(shù)零點(diǎn)問題是新高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在選擇題、填空題和解答題中均有出現(xiàn)，是新高考中常考的題型之一.因此，本文提供了一套比較系統(tǒng)的解決方法，旨在幫助學(xué)生深入理解函數(shù)零點(diǎn)問題，提高解題效率和準(zhǔn)確性.

1 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

1.1 直接法

例1 （2023年長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)月考改編）求解函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間［0，4］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析 由f（x）=0可得x=0或cosx2=0.

所以x=0或x2=kπ+π2，k∈Z.

因?yàn)閤∈［0，4］，所以k=0，1，2，3，4.

可得零點(diǎn)是0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2.

所以一共有6個(gè)零點(diǎn).

1.2 分類討論法

例2 （2024年皇姑區(qū)二模）已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=xlnx+ax2，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析 已知f（x）=xlnx+ax2=x（lnx+ax）（xgt;0），設(shè)g（x）=lnx+ax（xgt;0），故f（x），g（x）具有相同零點(diǎn)，則g′（x）=1x+a.

①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=lnx，有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=1；

②當(dāng)agt;0時(shí)，g′（x）=1x+agt;0，所以g（x）為增函數(shù).

又g（e-a）=-a+ae-a=a（e-a-1）lt;0，g（1）=agt;0，所以g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)alt;0時(shí)，由g′（x）=0，解得x=-1a.

若x∈（0，-1a），則g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增，

若x∈（-1a，+∞），則g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減.

又x→0+時(shí)，g（x）→-∞，

又x→+∞時(shí)，g（x）→-∞，

故g（-1a）=ln（-1a）-1lt;0.

即alt;-1e時(shí)，g（x）無零點(diǎn)；

g（-1a）=ln（-1a）-1=0，即a=-1e時(shí)，

g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；

g（-1a）=ln（-1a）-1gt;0，即-1elt;alt;0時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，a≥0或a=-1e時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；-1elt;alt;0時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；alt;-1e時(shí)，f（x）無零點(diǎn).

2 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及零點(diǎn)計(jì)算

2.1 零點(diǎn)存在定理法

例3 （重慶市2023屆高三第一次診斷性檢測(cè)）函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（" ）.

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

解析 "由題意得f ′（x）=1x+2gt;0在（0，+∞）上恒成立.

所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

又f（1）=-4lt;0，f（2）=ln2-2lt;0，f（3）=ln3gt;0，所以f（2）·f（3）lt;0.由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得，f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（2，3）.

故選C.

評(píng)注 通常情況下，函數(shù)零點(diǎn)定理需要和函數(shù)單調(diào)性結(jié)合起來使用.首先，利用函數(shù)單調(diào)性可以判斷函數(shù)的圖形走向；其次，需要計(jì)算特殊點(diǎn)的函數(shù)值；最后，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)情況，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)定理，便可確定零點(diǎn)所在的區(qū)間.

2.2 數(shù)形結(jié)合法

例4 （湖北省八市2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）=-x2-2x，x≤0，1-lnx，xgt;0， 若f（x）-m=0存在四個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4，且x1lt;

x2lt;x3lt;x4，則x4-（x1+x2）x3的最小值是.

解析 由f（x）-m=0得f（x）=m.

即f（x）與y=m有四個(gè)交點(diǎn).

作函數(shù)f（x）=-x2-2x，x≤0，1-lnx，xgt;0與直線y=m的圖象如圖1，兩個(gè)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)x1lt;x2lt;x3lt;x4，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性有x1+x2=-2，x3lt;elt;x4.

故1-lnx3=-（1-lnx4）.

則lnx3+lnx4=2.

即lnx3x4=2，解得x3x4=e2.

則x4-（x1+x2）x3=x4+2x3≥22x3x4=22e，當(dāng)且僅當(dāng)x4=2x3，即x3=22e，x4=2e時(shí)等號(hào)成立.

此時(shí)m=ln2lt;1，符合兩圖象有四個(gè)交點(diǎn)，故所求最小值為22e［1］.

3 利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍

3.1 同構(gòu)法

例5 （2023年秋滕州市期中測(cè)驗(yàn)）已知函數(shù)f（x）=lnx+mx+1，g（x）=x（ex-1）.對(duì)于任意的xgt;0都有f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析 由f（x）≤g（x）可得

m≤ex-1-lnx+1x.

令h（x）=ex-1-lnx+1x（xgt;0），得

h′（x）=1x2（x2ex+lnx）.

令φ（x）=x2ex+lnx（xgt;0），得

φ′（x）=（2x+x2）ex+1xgt;0.

所以φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且φ（1）gt;0，φ（1e）=1e2（e1e-e2）lt;0.

所以存在x0∈（1e，1）使得φ（x0）=0.

即x20ex0+lnx0=0.

當(dāng)0lt;xlt;x0時(shí)，φ（x）lt;0，即h′（x）lt;0，當(dāng)xgt;x0時(shí)，φ（x）gt;0，即h′（x）gt;0.

所以h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增.

故hmin（x）=h（x0）=ex0-1-lnx0+1x0.

因?yàn)棣眨▁0）=0，即x20ex0+lnx0=0.

所以x0ex0=1x0ln1x0=（ln1x0）eln1x0.

令F（t）=tet（tgt;0），則上述等式可以表示為

F（x0）=F（ln1x0）.

又F′（t）=（t+1）etgt;0，

所以F（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以x0=ln1x0.

即lnx0=-x0.

則ex0=1x0.

所以hmin（x）=h（x0）=ex0-1-lnx0+1x0=1x0-1--x0+1x0=0.

綜上所述，m≤0［2］.

3.2 分離參數(shù)法

例6 （2021年全國(guó)Ⅱ卷改編）若函數(shù)f（x）=aex-x-2a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析 令f（x）=0可得a（ex-2）=x.

當(dāng)x≠ln2時(shí)，a=xex-2.

設(shè)g（x）=xex-2（x≠ln2），則

g′（x）=ex-2-xex（ex-2）2.

再設(shè)h（x）=ex-2-xex，則h′（x）=-xex.

當(dāng)xlt;0時(shí)，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)xgt;0且x≠ln2時(shí)，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減，

所以h（x）≤h（x）max=h（0）=-1lt;0.

即g′（x）lt;0.

因此g（x）在（-∞，ln2）和（ln2，+∞）上單調(diào)遞減.

又g（0）=0，當(dāng)xgt;ln2時(shí)，g（x）gt;0.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，所以直線y=a與函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn).

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）.

評(píng)注 解決含參問題時(shí)，首先，可以采用分離參數(shù)的方法，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；其次，利用導(dǎo)數(shù)來處理分離出來的函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值來模擬函數(shù)圖象；最后，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到參數(shù)的取值范圍.

4 結(jié)束語(yǔ)

求解函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問題非常靈活，重要的是找到合適的方法.由以上展示的各種解題方法可以看出，數(shù)形結(jié)合法、零點(diǎn)定理法以及分類討論法都是解決函數(shù)零點(diǎn)的重要方法，常常結(jié)合著導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和函數(shù)最值來輔助計(jì)算，很多題目都不是單一的解題方法，因此要結(jié)合具體題目具體分析.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 曹兵.利用函數(shù)圖象確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（03）：55-56.

［2］ 張艷艷.求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的思路[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版），2020（12）：48，75.

［責(zé)任編輯：李 璟］