新高考下函數零點問題探究及解決方法

摘 要：函數零點是新高考數學中的一個重要考查點，難度較大，解題方法靈活，對培養學生的數學運算能力和邏輯推理能力具有重要作用.在解決函數零點問題時，常常需要與導數、單調區間以及函數圖象結合起來，運用綜合方法進行處理.文章針對近幾年出現的幾種不同的題型，分別提供了具有針對性的解決方法.

關鍵詞：函數零點；零點個數；導數；單調區間；函數圖象

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0042-03

函數零點問題是新高考數學中的重點和難點，在選擇題、填空題和解答題中均有出現，是新高考中常考的題型之一.因此，本文提供了一套比較系統的解決方法，旨在幫助學生深入理解函數零點問題，提高解題效率和準確性.

1 判斷函數零點個數

1.1 直接法

例1 （2023年長安區校級月考改編）求解函數f（x）=xcosx2在區間［0，4］上的零點個數.

解析 由f（x）=0可得x=0或cosx2=0.

所以x=0或x2=kπ+π2，k∈Z.

因為x∈［0，4］，所以k=0，1，2，3，4.

可得零點是0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2.

所以一共有6個零點.

1.2 分類討論法

例2 （2024年皇姑區二模）已知a為常數，函數f（x）=xlnx+ax2，討論函數f（x）的零點個數.

解析 已知f（x）=xlnx+ax2=x（lnx+ax）（xgt;0），設g（x）=lnx+ax（xgt;0），故f（x），g（x）具有相同零點，則g′（x）=1x+a.

①當a=0時，g（x）=lnx，有且只有一個零點x=1；

②當agt;0時，g′（x）=1x+agt;0，所以g（x）為增函數.

又g（e-a）=-a+ae-a=a（e-a-1）lt;0，g（1）=agt;0，所以g（x）有且只有一個零點.

③當alt;0時，由g′（x）=0，解得x=-1a.

若x∈（0，-1a），則g′（x）gt;0，g（x）單調遞增，

若x∈（-1a，+∞），則g′（x）lt;0，g（x）單調遞減.

又x→0+時，g（x）→-∞，

又x→+∞時，g（x）→-∞，

故g（-1a）=ln（-1a）-1lt;0.

即alt;-1e時，g（x）無零點；

g（-1a）=ln（-1a）-1=0，即a=-1e時，

g（x）有一個零點；

g（-1a）=ln（-1a）-1gt;0，即-1elt;alt;0時，g（x）有兩個零點.

綜上所述，a≥0或a=-1e時，f（x）有一個零點；-1elt;alt;0時，f（x）有兩個零點；alt;-1e時，f（x）無零點.

2 函數零點所在區間及零點計算

2.1 零點存在定理法

例3 （重慶市2023屆高三第一次診斷性檢測）函數f（x）=lnx+2x-6的零點所在的區間是（" ）.

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

解析 "由題意得f ′（x）=1x+2gt;0在（0，+∞）上恒成立.

所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增.

又f（1）=-4lt;0，f（2）=ln2-2lt;0，f（3）=ln3gt;0，所以f（2）·f（3）lt;0.由函數零點存在定理可得，f（x）=lnx+2x-6的零點所在的區間是（2，3）.

故選C.

評注 通常情況下，函數零點定理需要和函數單調性結合起來使用.首先，利用函數單調性可以判斷函數的圖形走向；其次，需要計算特殊點的函數值；最后，根據函數值的正負情況，再結合函數零點定理，便可確定零點所在的區間.

2.2 數形結合法

例4 （湖北省八市2023屆高三下學期3月聯考）已知函數f（x）=-x2-2x，x≤0，1-lnx，xgt;0， 若f（x）-m=0存在四個不相等的零點x1，x2，x3，x4，且x1lt;

x2lt;x3lt;x4，則x4-（x1+x2）x3的最小值是.

解析 由f（x）-m=0得f（x）=m.

即f（x）與y=m有四個交點.

作函數f（x）=-x2-2x，x≤0，1-lnx，xgt;0與直線y=m的圖象如圖1，兩個圖象有四個交點，且橫坐標x1lt;x2lt;x3lt;x4，根據二次函數圖象的對稱性有x1+x2=-2，x3lt;elt;x4.

故1-lnx3=-（1-lnx4）.

則lnx3+lnx4=2.

即lnx3x4=2，解得x3x4=e2.

則x4-（x1+x2）x3=x4+2x3≥22x3x4=22e，當且僅當x4=2x3，即x3=22e，x4=2e時等號成立.

此時m=ln2lt;1，符合兩圖象有四個交點，故所求最小值為22e［1］.

3 利用函數零點求參數取值范圍

3.1 同構法

例5 （2023年秋滕州市期中測驗）已知函數f（x）=lnx+mx+1，g（x）=x（ex-1）.對于任意的xgt;0都有f（x）≤g（x）恒成立，求實數m的取值范圍.

解析 由f（x）≤g（x）可得

m≤ex-1-lnx+1x.

令h（x）=ex-1-lnx+1x（xgt;0），得

h′（x）=1x2（x2ex+lnx）.

令φ（x）=x2ex+lnx（xgt;0），得

φ′（x）=（2x+x2）ex+1xgt;0.

所以φ（x）在（0，+∞）上單調遞增，且φ（1）gt;0，φ（1e）=1e2（e1e-e2）lt;0.

所以存在x0∈（1e，1）使得φ（x0）=0.

即x20ex0+lnx0=0.

當0lt;xlt;x0時，φ（x）lt;0，即h′（x）lt;0，當xgt;x0時，φ（x）gt;0，即h′（x）gt;0.

所以h（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增.

故hmin（x）=h（x0）=ex0-1-lnx0+1x0.

因為φ（x0）=0，即x20ex0+lnx0=0.

所以x0ex0=1x0ln1x0=（ln1x0）eln1x0.

令F（t）=tet（tgt;0），則上述等式可以表示為

F（x0）=F（ln1x0）.

又F′（t）=（t+1）etgt;0，

所以F（t）在（0，+∞）上單調遞增.

所以x0=ln1x0.

即lnx0=-x0.

則ex0=1x0.

所以hmin（x）=h（x0）=ex0-1-lnx0+1x0=1x0-1--x0+1x0=0.

綜上所述，m≤0［2］.

3.2 分離參數法

例6 （2021年全國Ⅱ卷改編）若函數f（x）=aex-x-2a有兩個零點，則實數a的取值范圍是.

解析 令f（x）=0可得a（ex-2）=x.

當x≠ln2時，a=xex-2.

設g（x）=xex-2（x≠ln2），則

g′（x）=ex-2-xex（ex-2）2.

再設h（x）=ex-2-xex，則h′（x）=-xex.

當xlt;0時，h′（x）gt;0，h（x）單調遞增，

當xgt;0且x≠ln2時，h′（x）lt;0，h（x）單調遞減，

所以h（x）≤h（x）max=h（0）=-1lt;0.

即g′（x）lt;0.

因此g（x）在（-∞，ln2）和（ln2，+∞）上單調遞減.

又g（0）=0，當xgt;ln2時，g（x）gt;0.

因為函數f（x）有兩個零點，所以直線y=a與函數y=g（x）的圖象有兩個公共點.

所以實數a的取值范圍為（0，+∞）.

評注 解決含參問題時，首先，可以采用分離參數的方法，零點的個數即為兩個函數交點的個數；其次，利用導數來處理分離出來的函數，根據單調性和函數值來模擬函數圖象；最后，根據零點個數得到參數的取值范圍.

4 結束語

求解函數零點的相關問題非常靈活，重要的是找到合適的方法.由以上展示的各種解題方法可以看出，數形結合法、零點定理法以及分類討論法都是解決函數零點的重要方法，常常結合著導數、單調性和函數最值來輔助計算，很多題目都不是單一的解題方法，因此要結合具體題目具體分析.

參考文獻：

［1］ 曹兵.利用函數圖象確定零點個數[J].中學數學，2024（03）：55-56.

［2］ 張艷艷.求函數零點的個數的思路[J].語數外學習（高中版），2020（12）：48，75.

［責任編輯：李 璟］