活躍在模考試題中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

摘 要：文章結(jié)合最近的高考模擬試題，給出極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的兩種解決策略：構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)和利用對(duì)數(shù)平均不等式.

關(guān)鍵詞：極值點(diǎn)偏移；解題策略；構(gòu)造函數(shù)；對(duì)數(shù)平均不等式

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）19-0010-03

收稿日期：2024-04-05

作者簡(jiǎn)介：武小軍（1987.1—），男，甘肅省張家川回族自治縣人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

2021年新高考Ⅰ卷第22題和2022年全國(guó)甲卷理科第21題都考查了極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.

繼這兩道題后，2023年和2024年全國(guó)各地的模擬考試題就頻繁出現(xiàn)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的方法主要有構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)和利用對(duì)數(shù)平均不等式.

1 構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)

設(shè)x0是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，若是證明x1+x2gt;2x0，則構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)F（x）=f（x）-f（2x0-x）；若是證明x1x2gt;x20，則構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)F（x）=

f（x）-f（x20x）.然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得證[1].

例1 （2023年12月江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)校）已知函數(shù)f（x）=xlnx-12ax2（agt;0）

.

（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1lt;x2），證明：x1x2gt;1a.

解析 （1）a≥1.過(guò)程略.

（2）函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（1）知0lt;alt;1.

設(shè)g（x）=f ′（x）=1+lnx-ax，則x1，x2（x1lt;x2）是g（x）的兩個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?/p>

g′（x）=1x-a，所以當(dāng)

x∈（0，1a）時(shí)，g′（x）gt;0，

當(dāng)x∈（1a，+∞）時(shí)，g′（x）lt;0.

所以g（x）在x∈（0，1a）上單調(diào)遞增，在x∈（1a，+∞）上單調(diào)遞減.

所以0lt;x1lt;1alt;x2.

又因?yàn)間（1）=1-agt;0，

所以0lt;x1lt;1lt;1alt;x2.

要證x1x2gt;1a，只需證x2gt;1ax1gt;1a，只需證g（x2）lt;g（1ax1），其中g(shù)（x2）=0，即證g（1ax1）=1-ln（ax1）-1x1gt;0，即證ln（ax1）+1x1-1lt;0.

由g（x1）=lnx1-ax1+1=0，

設(shè)ax1=t∈（0，1），則lnx1=t-1，x1=et-1.

則ln（ax1）+1x1-1lt;0.

所以lnt+e1-t-1lt;0.

設(shè)G（t）=lnt+e1-t-1（0lt;tlt;1），則

G′（t）=1t-e1-t=et-1-ttet-1.

由（1）知lnx+1x≤1，故lnx≤x-1.

所以ex-1≥x，et-1-t≥0.

即G′（t）≥0，則G（t）在（0，1）上單調(diào)遞增.

所以G（t）lt;G（1）=0.

故ln（ax1）+1x1-1lt;0成立.

即x1x2gt;1a.

例2 （2023年12月陜西漢中聯(lián)考試題）已知函數(shù)f（x）=exx，g（x）=lnx-x.

（1）求函數(shù)g（x）的極值；

（2）若h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的最小值；

（3）若h（x）=a有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，證明：x1x2lt;1.

解析 （1）g（x）在x=1處取得極大值，極大值為-1，無(wú)極小值.過(guò)程略.

（2）由題意知函數(shù)h（x）=exx-lnx+x的定義域?yàn)椋?，+∞），則

h′（x）=

=（ex+x）（x-1）x2.

由h′（x）gt;0，得xgt;1；

由h′（x）lt;0，得0lt;xlt;1.

所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以h（x）min=h（1）=e+1.

（3）不妨設(shè)x1lt;x2，則由（2）知

0lt;x1lt;1lt;x2，0lt;1x2lt;1.

設(shè)S（x）=h（x）-a，由S（x1）=S（x2）=0，得

ex1x1-lnx1+x1=ex2x2-lnx2+x2.

即ex1-lnx1+x1-lnx1=ex2-lnx2+x2-lnx2.

因?yàn)楹瘮?shù)y=ex+x在R上單調(diào)遞增，所以x1-lnx1=x2-lnx2成立.

構(gòu)造函數(shù)M（x）=x-lnx，則

M′（x）=1-1x=x-1x.

由M′（x）gt;0，得xgt;1;

由M′（x）lt;0，得0lt;xlt;1.

所以M（x）=x-lnx在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

構(gòu)造函數(shù)T（x）=M（x）-M（1x）=x-1x-2lnx，則T′（x）=1+1x2-2x=（x-1）2x2≥0.

所以函數(shù)T（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)xgt;1時(shí)，T（x）gt;T（1）=0.

即當(dāng)xgt;1時(shí)，M（x）gt;M（1x）.

所以M（x1）=M（x2）gt;M（1x2）.

又M（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

所以0lt;x1lt;1x2lt;1.

即x1x2lt;1.

2 利用對(duì)數(shù)平均不等式

設(shè)0lt;x1lt;x2，則x1x2lt;x2-x1lnx2-lnx1lt;x1+x22.這就是對(duì)數(shù)平均不等式[2].令t=x2x1gt;1，構(gòu)造函數(shù)G（t）=lnt-2（t-1）t+1（tgt;1），根據(jù)單調(diào)性即可證明[3].

例3 （2023年12月山西省聯(lián)考試題）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R.

（1）若f（x）≤0，求a的取值范圍；

（2）若關(guān)于x的方程f（x2）=eax-ex2有兩個(gè)不同的正實(shí)根x1，x2，證明：x1+x2gt;2e.

解析 （1）a的取值范圍是［2ee，+∞）.過(guò)程略.

（2）由f（x2）=eax-ex2，得lnx2-ax+1=eax-ex2.

即ex2+ln（ex2）=eax+ax.

即eln（ex2）+ln（ex2）=eax+ax.

設(shè)F（x）=x+ex，則eln（ex2）+ln（ex2）=eax+ax等價(jià)于F［ln（ex2）］=F（ax）.

易證F（x）在R上單調(diào)遞增.

則ax=ln（ex2）.

即a=1+2lnxx.

設(shè)h（x）=1+2lnxx，則h′（x）=1-2lnxx2.

由h′（x）gt;0，得0lt;xlt;e.

由h′（x）lt;0，得xgt;e，

則h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減.

從而h（x）max=h（e）=2e，且h（1e）=h（e-12）=1+2ln（e-1/2）e-1/2=0.

當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→0.如圖1所示.

圖1 函數(shù)h（x）的圖象

方程f（x2）=eax-ex2有兩個(gè)不同的正實(shí)根x1，x2，不妨設(shè)x1lt;x2，

由圖1可知，1elt;x1lt;elt;x2，0lt;alt;2e.

設(shè)G（t）=lnt-2（t-1）t+1（tgt;1），則

G′（t）=（t-1）2t（t+1）2gt;0.

則G（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

因?yàn)镚（1）=0，所以G（t）gt;0.

即lnt-2（t-1）t+1gt;0.

設(shè)t=x2x1gt;1，則lnx2x1-2·x2/x1-1x2/x1+1gt;0.

即2（x2-x1）x1+x2lt;lnx2-lnx1.

則x2-x1lnx2-lnx1lt;x1+x22.

因?yàn)榉匠蘤（x2）=eax-ex2有兩個(gè)不同的正實(shí)根x1，x2，

所以ax1=1+2lnx1，ax2=1+2lnx2.

作差，得x2-x1lnx2-lnx1=2a.

因?yàn)?lt;alt;2e，所以2agt;e.

所以x2-x1lnx2-lnx1gt;e.

則x1+x22gt;e.

故x1+x2gt;2e.

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，要先求出函數(shù)的單調(diào)性，作出其大致圖象，確定x1，x2的取值范圍，然后結(jié)合單調(diào)性將要證明的問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)變形，再視情況構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)或者利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明.值得注意的是，對(duì)數(shù)平均不等式不可以直接使用，要先證明了才能用.

參考文獻(xiàn)：

［1］

代紅軍，代錦春.2022年全國(guó)高考甲卷理科數(shù)學(xué)第21題解法探究[J].數(shù)理化解題研究，2023（13）：53-55.

[2] 李鴻昌，徐章韜.關(guān)于對(duì)數(shù)平均的一個(gè)不等式的推廣[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（8）：50-52.

[3] 李鴻昌.2022年高考中三道比較大小試題的簡(jiǎn)解與思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2022（15）：51-53.

［責(zé)任編輯：李 璟］