能否聽出鼓的面積

好的問題讓人豁然開朗。思考這個問題本身，能發展出一系列的想法、催生出一系列文章。無論最終是否解決，僅僅推敲、研究這個問題的過程就很重要。好的問題通常是簡潔、漂亮的。解決了它，其所在領域里的許多問題可能都會隨之解決，就像在長江里面有一塊巨石，將巨石挪開，水流就會頓時變得順暢。

我要舉例的第一個問題，是關于聲音和幾何的關系——能否聽出鼓的面積。古希臘時代，人類就認識到聲音由一些基本音組合而成。無論彈鋼琴或是打鼓，敲擊會產生不同頻率的波動，發出聲音。波動由多個基本波組合而來，每個基本波有固定的頻率，頻率則可由鼓的譜計算得到。著名幾何學家博赫納提過一個問題：我們可否聽出鼓的形狀？這一問題的思想背景可以追溯至1910年。當時，量子力學剛萌芽，物理學家洛倫茲提出：是否可以通過鼓聲的譜和頻率估算鼓的面積？德國數學家希爾伯特對這個問題很感興趣，但認為它太難。但一年后，希爾伯特的學生外爾就把問題解決了。外爾認為，譜越來越高，按照量子力學的觀念，即譜的觀念可以推測到局部的幾何變化，從而推導出外爾方程。這個方程，對今天的數學仍然有重要的影響。外爾的思路和方法還可以向前追溯。歐拉花了很多工夫研究，發展出重要的泛函方程。黎曼將其推廣，寫下了著名的黎曼函數。這個劃時代的工作，影響了數論的發展。外爾又推廣黎曼函數的思想到一般的空間，用以研究“聽鼓聲估算面積”這一問題，并最終解決。

能否聽出鼓的面積——這個問題由洛倫茲從物理現象出發而提出問題，最終由外爾解決。這個問題簡潔、自然且有趣，而其解決問題的方法最終引發了幾何學上不少重要的進展。

我想說的第二個問題也很有趣——關于極小曲面的猜想。我們生活中可以看到很多極小曲面。比如，在盛有肥皂水的盆里，將鐵線放在水中提拉出來，形成的薄薄的肥皂膜，就是極小曲面。而在實驗中，我們可以構造更多不同形象的極小曲面。幾何學家熱衷于了解它們的性質。1977 年，我提出一個問題：如何能找到所有完備沒有邊界的極小曲面？經過40 年的努力，我的同學米克斯已經基本解決了這個問題。

我的第二個猜想更困難，到現在還沒全部解決。我提出，可不可以找到三維球中所有緊致極小曲面？我的朋友勞森構造出一些有趣的例子，被稱作勞森曲面。假如將這個曲面放在四維空間的單位球里，然后從圓心取直線和這個曲面的每一個點聯結起來可得到一個三維錐，即一個三維極小流形。這后來成為廣義相對論中描述時空的重要工具。

舉這些例子，我是想說，數學是很奇妙的學問，它是一個講推理、講規則的學問，通過比較不同的規則和思想，就可以得到有意義的猜想，這其實是數學研究中的慣用手法。所以我常說，數學中也有“賦、比、興”。所謂“比”，即用不同的景物類比，比如，楊柳代表離別或者美人的腰肢，這緣于柳條細而柔所作的類比，是數學中常用的手段。數學研究者們應該考慮這個思路，不能只做題目，不能看到數字就是數字、看到方程就是方程，它們中間其實是有很多可以比較、可以關聯的。

（摘自《博覽群書》2024 年第2 期，子昕圖）