牛頓環實驗中螺栓調節對曲率半徑測量結果的影響

摘"要：牛頓環是大學物理實驗中的基本光學實驗之一，對于加深學生對光的波動性理解具有重要意義。基于光的干涉理論，該實驗可測量出平凸透鏡的曲率半徑。然而，不同學生在進行測量時往往會得到差異顯著的曲率半徑數據。這種現象可能是由于多種因素造成的，包括實驗操作的規范性、儀器的精度、環境光的影響以及學生的實驗技巧等。螺栓調節不當會引起平凸透鏡變形，導致中心暗斑面積變化，影響空氣薄層的厚度和干涉環間距，是產生誤差的重要原因之一。本研究主要分析了螺栓調節引起的牛頓環中心暗斑面積變化對曲率半徑測量精度的影響，旨在為實驗規范操作提供參考。

關鍵詞：牛頓環；中心暗斑；曲率半徑

利用牛頓環裝置測量平凸透鏡的曲率半徑，是大學物理實驗中的經典光學實驗。它不僅為光的波動學說提供了有力的實驗證據，而且對于理解光學原理和光學方法在精密測量中的應用具有重要意義［13］。在17世紀，牛頓發現了一種獨特的光學現象：當一塊曲率半徑較大的平凸透鏡與另一塊平透鏡接觸時，用白光照射，接觸中心會呈現出一系列明暗相間的彩色同心圓環；而當用單色光照射時，這些圓環則呈現出明暗相間的單色同心圓環［4］。這一現象揭示了光的波動性質，為光學理論的發展奠定了基礎。在具體的實驗操作中，通過測量同心圓環的級數以及相對應的圓環直徑，可以計算出平凸透鏡的曲率半徑。這一實驗原理清晰易懂，實驗裝置相對簡單，現象直觀，適合作為教學案例，幫助學生更好地理解光的波動性和光學方法在長度測量中的實際應用。

然而，在實際的測量過程中，學生們往往會發現所測得的曲率半徑結果與牛頓環裝置廠家提供的參考值存在較大偏差［5］。本文針對這一問題進行了研究，重點關注牛頓環儀中螺栓調節所引起的中心暗斑直徑變化對曲率半徑測量精度的影響。通過對實驗數據的分析，本文旨在揭示影響測量精度的關鍵因素，并提出相應的改進措施，以提高牛頓環實驗的測量精度和可靠性。

1"實驗原理

如圖1所示，實驗中采用了一塊曲率半徑R極大的平凸透鏡A，其凸面被小心地放置在一塊光滑且平整的平板玻璃D之上。在這種配置下，A與D之間形成了一個以點O為圓心、向外逐漸擴展并變厚的空氣層。當一束單色光以垂直角度照射到這個光學系統中時，光線會在透鏡A的凸面和空氣層與平板D之間的界面處發生反射。由于透鏡A的表面是球面形狀，因此從光的反射方向來觀察，可以看到一系列以接觸點O為中心、呈同心排列的明暗交替的環狀圖案，這就是牛頓環。

這些環的形成是由于光在空氣層上、下兩個表面反射后，兩束光波在透鏡表面附近相遇并發生干涉所致。空氣層的厚度從中心點O開始逐漸增加，因此，不同位置的空氣層厚度不同，導致干涉條紋的間距也不相同。隨著距離中心點O的增大，空氣層的厚度增加，形成了從中心向外擴散的一系列明暗相間的同心圓環。

根據圖1所展示的幾何關系可知，第k級干涉條紋所對應的空氣層厚度PP′=dk可通過第k級干涉條紋的半徑rk和平凸透鏡的曲率半徑R計算得到，如方程（1）所示，

r2k=2Rdk（1）

具體來說，通過觀察干涉條紋的分布，我們可以發現，隨著干涉級數的增加，條紋半徑也隨之增大，而這種變化與透鏡的曲率半徑有著直接的聯系。在P′點發生反射的光線抵達P點時，其光程增加了2倍的空氣層厚度，即2dk。由于光線從光密介質（具有較高折射率的介質）反射到光疏介質（具有較低折射率的介質）時，會產生半波長的相位變化，即所謂的半波損失。因此，從P點和P′點反射出的兩束光線之間的光程差可以表達為：

Δ=2dk+λ2=r2kR+λ2（2）

根據光的干涉理論［6］，產生第k級暗紋條件為：

Δ=（2k+1）λ2=r2kR+λ2（k=0，1，2…），即：rk=kλR（3）

從上述公式可以看出，測定暗環的半徑后，并且在已知光波波長λ的情況下，就能夠推導出平凸透鏡的曲率半徑R，這一計算過程依賴于對暗環半徑的精確測量。然而，實驗過程中存在一個不容忽視的問題：牛頓環的中心并非一個單一的幾何點，而是由透鏡與平板接觸時產生的形變所形成的一個暗斑。這個暗斑的中心位置并不清晰，因此，在實驗操作中很難精確地定位和測量牛頓環的半徑。為了克服這一難題，測量時選取了不相鄰級數的兩個暗條紋，分別記為直徑Dm和Dn，通過對公式（3）進行數學上的變換，能夠推導出所需的曲率半徑R，如公式（4）所示，

R=D2m-D2n4（m-n）λ（4）

2"實驗過程及結果

牛頓環裝置螺栓的調節對于兩透鏡間的接觸應力有至關重要的作用，這種接觸應力直接作用于平凸透鏡，導致其發生彈性形變，進而對測量結果產生影響。接觸應力大小可以通過觀察牛頓環中心處的黑斑面積來體現，在理想的實驗條件下，如果沒有形變發生，平凸透鏡與平板之間的接觸應當是點接觸，此時牛頓環的中心會呈現出一個清晰的點。然而，一旦透鏡發生形變，牛頓環的中心將變為一個黑斑，而這個黑斑的面積與接觸應力及形變量呈正相關關系［7］。本研究中，我們通過精確調節牛頓環裝置上的三個螺栓，成功地控制了中心暗斑的面積，并得到了一系列不同的中心暗斑面積S的數據分別為：0.742mm2、1051mm2、5047mm2、9.926mm2、14.313mm2、25.321mm2、42.950mm2。圖2展示了面積分別為0.742mm2、5.047mm2以及25.321mm2的牛頓環中心暗斑。

為了減少系統誤差，我們選擇測量了17級到24級暗條紋的直徑。這些數據被分成兩組進行處理，以便采用隔項逐差法進行數據分析。在數據處理過程中，運用了公式（4）來計算平凸透鏡的曲率半徑R。表1為螺栓最松時所測量的牛頓環直徑數據，此時平凸透鏡形變完全來源于自身重力，暗斑面積S為0.742mm2。

通過相同方法對一系列不同中心暗斑面積的牛頓環實驗數據（分別為1.051mm2、5.047mm2、9.926mm2、14313mm2、25.321mm2和42.950mm2）進行分析后，得到了曲率半徑隨中心暗斑面積變化的趨勢，如圖3所示。結果表明，隨著暗斑面積增大，計算得到的平凸透鏡曲率半徑R呈現出顯著的上升趨勢，從最初的1.51m增加至最終的2.99m。進一步地將這些測量結果與廠商提供的標準曲率半徑參考值1.50m進行比較，并計算了相對誤差E，見表2。當中心暗斑面積超過1.051mm2之后，曲率半徑的相對誤差開始顯著增加，并超過了實驗允許的最大誤差容限5%。基于上述實驗結果，我們建議螺栓調節過程中，牛頓環中心暗斑面積應保持在1.051mm2以下，即暗斑直徑不應超過1.16mm。

3"實驗操作注意事項

為了確保實驗結果的準確性，在實驗操作中須注意以下兩個關鍵步驟：

（1）在使用讀數顯微鏡進行測量時，為防止引入螺距誤差，應當首先移動顯微鏡的十字叉絲對準任意一側的25環。隨后，反向旋轉輪盤，再次對準24環，并從這個位置開始進行讀數。在后續的測量過程中，必須保持旋轉方向的一致性，絕不可倒退旋轉。

（2）在讀取暗紋的位置時，須注意每個暗紋都有一定的寬度。在操作過程中，應確保讀數顯微鏡中的十字叉絲與暗紋的外側相切，讀取的是暗紋的邊緣，而不是中間，避免由于暗紋寬度引起的測量誤差。

結語

在進行“利用牛頓環測量平凸透鏡曲率半徑”的實驗時，對牛頓環裝置螺栓調節可能導致平凸透鏡產生彈性形變，從而在中心區域形成暗斑。這一暗斑的面積直接關聯到所計算出的平凸透鏡的曲率半徑，是實驗中產生誤差的關鍵因素。根據本研究得出的結論，實驗操作中應盡量避免對螺栓過度擰緊，以免造成平凸透鏡的過度壓縮。在實驗開始之前，應先測量中心暗斑的直徑，確保其小于1.16mm，以此保證實驗結果的準確性。

參考文獻：

［1］張麗穎，顧菊觀，徐海斌.基于干涉圖樣分析牛頓環表面的缺陷［J］.大學物理實驗，2023，36（03）：4450.

［2］劉寧亮，李沁瑤，丁馳竹.利用牛頓環測量液體折射率仿真實驗設計與開發［J］.大學物理實驗，2022，35（02）：8588.

［3］張麗穎，顧菊觀，徐海斌.圓錐面與拋物面組合的類牛頓環干涉圖樣研究［J］.物理通報，2023（08）：1522.

［4］周幼華，王善平，許陽.用牛頓環實驗測量凸透鏡曲率半徑的誤差分析［J］.江漢大學學報，2002（03）：1518.

［5］翁衛祥，馬靖，許燦華，等.牛頓環中心暗斑對曲率半徑測量的影響及實驗改進［J］.大學物理實驗，2019，32（05）：4446.

［6］李麗芳，武麗娜，閆映策.牛頓環中心斑對曲率半徑的影響［J］.大學物理實驗，2019，32（06）：7376.

［7］劉雙燕，郭長立.基于ANSYS的牛頓環應力變形分析及結構優化應用［J］.實驗室研究與探索，2022，41（09）：112119.

基金項目：2023年江蘇省高等教育質量保障與評價研究課題，“大數據智能化背景下構建《大學物理實驗》教學評價體系的研究”（11612512403）；江蘇理工學院2023年教學改革與研究課題“應用型拔尖人才培養路徑的探索與實踐——以物理學科競賽為例”（11611212415）；2024年市物理學會專項課題“以物理實驗為載體提升大學生創新素質和實踐能力的研究”（CW20240201）

*通訊作者：左旭東（1990—"），男，漢族，江蘇常州人，博士研究生，講師，研究方向：生物醫用磁性材料。