數值分析課程中拉格朗日插值法的理論教學設計

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.22.050

摘 要 拉格朗日插值法是數值分析課程中插值法的教學重點。通過問題驅動展開拉格朗日插值法教學可以激發學生的學習興趣，提高學生分析問題和解決問題的能力；在引導學生學習相關理論的過程中，借助MATLAB軟件的數據可視化功能進行圖形演示可以使抽象的數學知識具象化，降低學習難度；結合互聯網展開混合式教學可以拓展教學時空，幫助學生進一步理解和掌握拉格朗日插值多項式。

關鍵詞 數值分析；拉格朗日插值法；問題驅動教學；直觀演示法教學；混合式教學；MATLAB

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2024）22-00-04

0 引言

尋找一個經過一組離散數據點的簡單函數，用其近似表示事物之間的內在關系，這就是插值法。插值法是數值分析課程最基本的內容之一，是函數逼近、數值微積分和微分方程數值解的基礎，其教學質量不僅決定著插值法的學習效果，還對數值分析課程后續內容的學習有著重要的影響。

與牛頓插值、埃爾米特插值、三次樣條插值等插值法相比，拉格朗日插值具有公式整齊、規范且基函數簡單等優點，在理論分析和實際應用中有著重要的價值，是插值法的教學重點。當前，大部分院校的數值分析課程課時較少，如蘭州城市學院機器人工程專業數值分析課程的理論和實踐課加起來僅18個學時，拉格朗日插值是唯一學習的插值方法。針對這一現狀，陳素根[1]提出從問題驅動、遞進式教學和將科研融入教學這三個方面設計拉格朗日插值的理論教學，但缺乏詳細的過程闡述。本文從問題驅動教學、直觀演示法教學和混合式教學三個方面設計拉格朗日插值法的理論教學，為這一環節的教與學提供借鑒。

1 問題驅動教學

插值法在理論研究和實踐生產中有廣泛的應用，如材料性能分析中的疲勞裂紋擴展預測[2]、光通信中的相位噪聲補償計算[3]、電子耳蝸的分數延遲和參數失配分析[4]、巖體的位移和變形計算[5]等。可以結合學生的專業背景，以問題來驅動拉格朗日插值教學，引導學生思考如何用數學知識去構造解決問題的方法，使學生體會到學習相關知識的意義，激發學生學習的積極性與主動性，再引導學生學習相應的數學理論。

1.1 問題示例

對于之前修過工程化學或物理化學課程的學生，可以設計該問題：已知大氣壓力為100 kPa時，溫度與CaCO3分解壓力的關系如表1[6]所示，求890 ℃時，CaCO3的分解壓力。

1.2 引導學生解決示例問題

為了表述方便，將示例的問題表述為：已知x0=805，x1=903，x2=1 000對應的函數值分別為y0=0.26，y1=1.29，y2=4.9，求x=890時的函數值y。可以引導學生按如下步驟思考、解決問題。

1.2.1 提出構造函數

類似表1這樣，以表格形式給出的兩個變量之間的函數關系稱為列表函數。如果能得到該函數的具體解析式，即y=φ（x），再將x=890代入，即可解決問題。

1.2.2 確定函數類

與已經學習過的冪函數、三角函數和指數函數等相比，曲線光滑、結構簡單、微分和積分容易的代數多項式更利于開展數值計算和理論分析，故在工程實際應用中φ（x）多選代數多項式Pn（x）表示。

Pn（x）=a0+a1x+…+anxn （1）

1.2.3 建立方程組

將表1的數據代入多項式，得到以多項式的系數a0，a1，…，an為未知數的三元線性方程組：

1.2.4 確定多項式的階次

只有方程組（2）中方程的個數和未知數個數相等時，才可能有唯一解。確定多項式的階次n=2，得到方程組（3）：

1.2.5 求解方程組

方程組（3）的系數矩陣為范德蒙德行列式，表1中三個溫度點互異，所以范德蒙德行列式不為0。由克萊姆法則得到線性方程組的唯一解a0、a1、a2分別為91.354 2、-0.223 4和0.000 1。

1.2.6 解決問題

將線性方程組的上述解回代到n=2的式（1），得到：

P2（x）=91.354 2-0.223 4x+0.000 1x2 （4）

將x=890代入式（4），得到CaCO3的分解壓力為1.002 0。

1.3 引導學生總結相應的理論或結論

回顧上述解決示例問題的過程，引導學生得到相應的數學理論。

1.3.1 插值問題及相關概念

1.2.3將多項式（1）的求解轉化為線性方程組（2）的求解，其關鍵是表1中的離散樣點的代入。由此確定，最終得到的多項式（4）（即構造的函數）必然經過表1中的離散樣點，即P2（xi）=yi，這就是插值條件。根據插值條件得到的多項式稱為插值多項式。由此自然地引入插值問題、插值條件、被插值函數、插值函數、插值區間、插值節點等概念和插值問題的幾何意義。1.2部分就是用插值法構造函數解決問題的步驟。

1.3.2 插值多項式的存在性和唯一性

從1.2.4可以發現，n+1個插值節點，能得到的唯一的插值多項式的次數不超過n；1.2.5表明，n+1個插值節點互異時，n+1元的n+1個線性方程構成的方程組的解存在且唯一，即階次≤n的插值多項式Pn（x）存在且唯一。

1.4 引導學生學習相應知識

反思上述解決示例問題的過程，引導學生學習新知識。

1.4.1 拉格朗日插值多項式

針對1.2.5中線性方程組的實際求解難度隨著插值節點數的增加而增大這一問題，引入拉格朗日插值多項式這一知識點。就1.1部分的示例問題，直接列出拉格朗日插值多項式：

解決1.2.5計算困難的不足。將x=890代入上式得到CaCO3的分解壓力為1.002 0，驗證了插值多項式的唯一性。

1.4.2 插值余項

針對1.2.6得到的計算結果是否可靠這一問題，引入插值余項這一知識點，得到以下結論。

若插值區間內被插值函數f（x）的n+1階導數的上界可知，則可由插值余項絕對值的上限確定計算結果的誤差上限：

若f（x）的n+1階導數的上界未知，則只能在增加一個節點xn+1的條件下，通過事后誤差估計公式（7）分析計算結果的可靠性。

式（7）中，Pn（x）是以x0，x1，…，xn為節點的n次插值多項式，Pn（1）（x）是以x1，x2，…，xn+1為節點的n次插值多項式。

就1.1部分的示例問題，因為被插值函數f（x）未知，只能增加一個節點（x3=700時，y3=0.039），

由式（7）進行事后誤差估計，得到插值法計算結果1.002 0的誤差約為3.87%。與x=890時的實際測試值1.000 0[6]相比可知，1.002 0的實際誤差非常小，僅為0.2%，遠低于估計的誤差3.87%。

1.4.3 龍格現象

示例問題是通過3個節點構造的2次拉格朗日插值多項式求解插值區間中某一點處的函數值，那么插值節點的數量與插值多項式的精度又有什么關系呢？由此引入龍格現象。

教學實踐表明，問題驅動教學將理論與實際相結合，整個教學過程圍繞問題展開，不僅可以加深學生對插值原理的理解，而且可以提高學生分析問題、解決問題的能力。

2 直觀演示法教學

在問題驅動教學過程中，借助數值分析課程的理論與實踐性特征以及MATLAB強大的數值計算和數據可視化能力，將MATLAB軟件引入理論教學課堂，進行直觀演示法教學，使抽象的數學知識具象化，便于學生從感性上認識和理解相關知識點，降低學習難度，提高學習效率。

2.1 計算過程的動態演示

如圖1所示，對1.4.1部分通過拉格朗日插值多項式計算示例問題的過程進行MATLAB圖形動態演示。由圖1a拉格朗日插值基函數、圖1b基函數與組合系數的乘積、圖1c基函數的線性組合構成插值多項式以及x=890時計算和測試對應的函數值進行計算過程的動態圖形演示，使學生直觀感受插值基函數的性質、插值多項式的構成以及計算值和測試值的差別。

2.2 龍格現象的圖形演示

隨著插值節點數n+1的增加，插值函數固然在更多的地方與被插值函數相等，但有時會在兩端產生激烈的震蕩，出現函數不收斂的現象，這就是高次插值的龍格現象。龍格現象中的震蕩對于非數學專業的學生來說，理解起來稍有難度。對龍格函數在插值區間[-1，1]的2次、6次和10次等距節點拉格朗日插值多項式進行圖形演示，如圖2所示。這樣可以使學生直觀感受龍格現象中的震蕩，接受插值區間邊緣處的誤差隨著插值節點的增加而增加這一事實。

3 混合式教學

混合式教學將線上和線下的教學資源有機整合，對傳統的教學課堂進行重構，拓展了教學的時空，可以有效地增強學生的學習效果。可將學時有限的課堂教學環節無法完成的相關教學材料整理好并掛到互聯網上，通過互聯網展開混合式教學，彌補課堂教學的不足。

3.1 課前線上自學

拉格朗日插值多項式的推導是拉格朗日插值理論教學的重點。除了教材中的常規推導思路，也有不少學者提出不同的推導方法，歸納起來有四種：

1）從線性插值和拋物插值多項式出發，通過數學歸納法和逐次逼近的思想推導拉格朗日插值多項式[7]；

2）從線性方程組出發，經過一系列的變換，推出拉格朗日插值多項式[8]；

3）從插值節點的函數值的線性組合出發，推導出拉格朗日插值多項式[9]；

4）從插值節點的基函數的線性組合出發，推導拉格朗日插值多項式[10]。

不同的推導過程難易不同，前兩種推導過程相對復雜，后兩種則相對簡單。學習了解多種推導方法有助于進一步加深學生對拉格朗日插值多項式的認識和理解。將上述四種推導方法整理好掛到互聯網上，供學生課前自學。

3.2 線下教學

通過第1部分的問題驅動，結合第2部分的直觀演示，展開拉格朗日插值法的線下教學。

3.3 課后線上復習

將錄制好的上課視頻掛到互聯網上，便于學生課后復習，加深對相關知識的理解。

4 結束語

實踐表明，綜合運用問題驅動教學、直觀演示法教學和混合式教學精心設計拉格朗日插值法的理論教學環節，不僅可以降低學生的學習難度，提高學習效率，而且可以激發學生的學習興趣，提高學生分析問題和解決問題的能力，增強學生的實踐能力和創新能力。

5 參考文獻

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*項目來源：甘肅省教育科學“十四五”規劃2024年度一般課題“基于教育數學的工科專業本科生數值分析課程知識體系的優化與實踐研究”（基金編號：GS〔2024〕GHB1508）。

作者簡介：陳奎、張天云，博士，教授。