原來近似值可以這樣算

學完“平方根”的知識后，我遇到這樣一個問題：“有沒有什么方法可以求出一個無理數的近似值呢？”我聯想到去年老師講的“二分法”。于是我以[12]為目標，求其近似值：

∵32＜12＜42，∴3＜[12]＜4。

∵3.42＜12＜3.52，∴3.4＜[12]＜3.5。

……

最終，我算出了[12]=3.464…。但是這種方法過于復雜，還有沒有更加簡便、巧妙的方法呢？

列方程求近似值

方程是求未知數最常用的方式。那么，用列方程的方式能不能求出[12]的近似值呢？因為[12]的值在3和4之間，于是，我設[12]=3+x（0＜x＜1）。

等式兩邊平方，得（3+x）2=12。

化簡，得x2+9+6x=12。

因為0＜x＜1，所以0＜x2＜1。

因此，我選擇省略x2這一項，得9+6x≈12。

解得x=（12-9）÷6=0.5。

所以[12]=3+x=3+0.5=3.5。

但得到的近似數只精確到了十分位，我又結合“二分法”所得的結果進行了新一輪的計算：

∵[12]＜3.5，

∴設[12]=3.5-x（0＜x＜0.1）。

∴（3.5-x）2=12。

∴x2+12.25-7x=12。

∵0＜x2＜0.01，

∴12.25-7x≈12，x≈0.036。

∴[12]=3.5-x≈3.5-0.036=3.464。

答案與之前的結果完全相同！我確定了這個方法的正確性。

由未知轉為已知

之前碰到難題，我都會把沒見過的題目轉化為見過的題目，為什么不再試一試呢？只要我可以把[12]轉化為我們熟悉的[3]、[5]或[6]等，就可以間接求出它的近似值。

我的第一步為拆分平方根，但是課堂上沒有教這一方面的知識。于是，我有了“[a]+[b]=[a+b]”的猜想。但當我將等式的左右兩邊平方，得a+b+2[a]·[b]=a+b，很明顯等式不成立。隨之而來的是“[a]·[b]=[ab]”的猜想，等式兩邊平方，得ab=ab。我的猜想正確了！

接著，我便將[12]化為[3]×[4]，化簡，得[12]=2×[3]。而[3]≈1.732，代入等式，得[12]≈2×1.732=3.464。我再一次得到一樣的答案。

綜上所述，我運用三種不同的方法求出了[12]精確到千分位的近似值，而這三種方法分別運用了“二分法”“列方程”和“轉化”的思考方法。這也提醒我：運用不同的思維方式做同一道題，你會收獲更多的解題方法和思路。這可能就是學習數學的秘訣之一吧！

教師點評

小作者對“逼近”和“轉化”的數學思想有一定的理解，且在實數的學習中進行了運用。在闡述“逼近”思想時，能夠通過逐步接近的方式來解決求近似值問題，思路清晰。而對于“轉化”思想，能巧妙地將復雜的數學問題轉化為簡單易懂的方程形式或其他形式，展現出不錯的思維靈活性。希望小作者在以后的學習過程中，可以更多應用這兩種思想，以增強對它們的理解。

（指導教師：張喆寧）