例談關聯速度問題的求解策略

【摘要】本文通過對常見的關聯速度問題進行分類和分析，包括桿牽連模型、繩牽連模型和圓弧面約束下的繩牽連模型等，結合實例詳細闡述分解速度、能量守恒等多種求解方法，以期幫助學生更好地掌握這一知識點，提高學生解決實際問題的能力．

【關鍵詞】高中物理；關聯速度；解題策略

關聯速度問題是高中物理力學中一個重點和難點內容，它涉及物體的運動速度在不同方向上的分解和合成，需要學生具備較強的空間想象力和邏輯思維能力．正確求解關聯速度對于理解物體的運動規律、解決實際問題具有重要意義．

1桿牽連模型

例1如圖1所示，O點為足夠長的光滑水平面與光滑豎直墻面的交點，長為3l的輕直剛性桿兩端分別用光滑鉸鏈連接一可視為質點且完全相同的小球甲和乙．現讓小球乙靜止于O點，使小球甲從墻面上距水平面高度為3l的a點由靜止開始無初速度下滑．已知墻面上沿豎直方向的各點間距ab=bc=cO=l，重力加速度為g，不計空氣阻力，則在小球甲從a點運動到O點過程中，求小球甲運動到b點和c點時小球乙的速度．

解析小球甲運動到b點時，設小球乙的速度為v2時，對應的小球甲的速度大小為v1，桿與豎直方向的夾角為θ，對小球甲、乙組成的系統，由機械能守恒定律可得mgl=12mv21+12mv22，v1cosθ=v2sinθ，其中cosθ=23，sinθ=53，解得v2=232gl，小球甲運動到b點時，小球乙的速度等于232gl．

小球甲運動到c點時，設小球乙的速度為v4，對應的小球甲的速度大小為v3，桿與豎直方向的夾角為α，對小球甲、乙組成的系統，由機械能守恒定律可得mg·2l=12mv23+12mv24，v3cosα=v4sinα，其中cosα=13，sinα=223，解得v4=23gl．

求解策略先確定桿的運動狀態，然后將兩端物體的速度分別沿桿方向和垂直桿方向分解，根據沿桿方向分速度的關系求解．

2繩牽連模型

例2生活中人們通常利用定滑輪來升降物體．如圖2所示，一根輕質不可伸長的細繩繞過光滑的定滑輪，繩的一端系著質量為m的重物A，繩的另一端由人握著向左以速度v勻速移動，經過圖示位置時繩與水平方向的夾角為α，下列說法正確的是（）

（A）重物勻加速上升.

（B）重物以速度v勻速上升.

（C）繩對重物的拉力始終大于它的重力.

（D）若α=60°時，人與重物的速度大小之比為2∶1.

解析將人的速度分解為沿繩子方向分速度和垂直繩子方向分速度，則有v物=vcosα，在人向左以速度v勻速移動的過程中，α逐漸減小，cosα逐漸增大，則重物向上做加速運動，由于α最終趨近于0°，則重物速度最終趨近于人的速度v，所以重物不是做勻加速運動，故（A）（B）錯誤；由于重物向上做加速運動，所以重物所受合力向上，則繩對重物的拉力始終大于它的重力，故（C）正確；若α=60°時，人與重物的速度大小之比為v∶v物=1∶cosα=1∶cos60°=2∶1，故（D）正確．

求解策略選取一個物體的速度作為合速度，將其沿繩子方向和垂直繩子方向分解，根據沿繩子方向分速度相等的關系列出方程求解．

3圓弧面約束下的繩牽連模型

例3如圖3，半徑為R、圓心在O點的光滑圓弧軌道ABC豎直固定于水平桌面上，其中OA與OC之間的夾角為60°，軌道與桌面恰好相切于A點．現用一輕繩分別系著質量為m1和m2且均可視為質點的兩小球，開始時m1位于C點，m2豎直懸掛，兩球均處于靜止狀態，釋放m1后，則下列選項正確的是（）

（A）m1從C點到A點的過程中，兩球速度大小一直相等.

（B）m1從C點到A點的過程中，m1機械能守恒.

（C）若m1恰好能沿圓弧下滑到A點，則m1=2m2.

（D）m1從C點到A點的過程中，重力對m1做功功率不斷減少.

解析對m1：C→A，小球沿繩子方向的速度相同，在m1下滑一段后，繩子與圓的切線不重合，所以兩小球速度大小不相等，（A）選項錯誤；對m1：C→A，繩子拉力對m1做正功，故m1的機械能增大，（B）選項錯誤；若m1恰好滑到A點，這時兩小球速度均為零，則m1gR（1－cos60°）=m2gR，得m1=2m2，（C）選項正確；重力的功率為P=mgvy（vy為豎直的分速度），起初m1處于靜止狀態，豎直初速度為零，運動至A點時豎直速度剛好為零，但在從C點到A點的過程中豎直分速度不為零，所以豎直分速度先增大后減小，重力功率mgvy先增大后減小，（D）選項錯誤．

求解策略m1和m2通過繩連接，m1沿光滑圓弧軌道運動，繩一直處于拉展狀態，運動過程中m1和m2的速度和加速度不同，運動較復雜，通過關聯速度求解較復雜，可運用機械能守恒定律進行求解．

4結語

關聯速度問題是高中物理中的重要內容，通過對常見的關聯速度模型進行分析和求解，可以發現，掌握速度的分解與合成方法、理解物體之間的約束關系以及靈活運用幾何和數學知識是解決這類問題的關鍵．在學習和解決關聯速度問題的過程中，不僅能夠提高學生的物理思維能力和解題能力，還能為后續學習更復雜的物理知識奠定堅實的基礎．

參考文獻：

[1]莊步華.關聯速度模型中的三種解法[J].中學物理教學參考，2022，51（21）：65-67.

[2]周瑤.以繩連接模型為例談關聯速度的分析[J].中學生數理化（高一使用），2022（02）：39-40.

[3]龍海文.新視角下的一類關聯速度問題[J].中學物理，2022，40（05）：52-53.