核心素養背景下“等腰三角形的性質”的教學實踐與研究

［摘 要］ 傳統數學教學，教師的關注點在“如何教”上，而核心素養背景下的數學教學，則更關注學生的“學”. 如何緊扣課堂教學內容的“關鍵點”實施有效教學呢？研究者以“等腰三角形的性質”為例，具體談談如何從知識與素養兩個層面提取教學關鍵點，并分別從幾何直觀能力與邏輯推理能力的培養，以及研究方法的提煉等方面展開教學實踐與教學分析.

［關鍵詞］ 核心素養；三角形；教學

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的落地，當今的數學課堂教學大致遵循如下流程：以情境引入主題，結合學情設計恰當的問題啟發思維，開展合作交流揭露知識本質，獲得知識與技能，提煉數學思想方法，發展核心素養. 這種教學流程雖然取得了不錯的教學成效，但有些教師只是為了走個過場，完全忽略了每節課教學內容的特點不一樣，教學的側重點也有較大差別. 很多時候，直接套用公式化的教學模板并不能滿足學生個體發展的需求.

本文以“等腰三角形的性質”教學為例，具體從如下幾方面談談如何緊扣關鍵點實施教學.

提取教學關鍵點

1. 知識與技能層面

等腰三角形是生活中常見的一種軸對稱圖形，是幾何學的基礎. 軸對稱圖形的性質可直接引用在等腰三角形的性質中，同時全等三角形的判斷與應用，還能進一步開闊學生的視野，讓學生感知證明兩條線段、兩個角相等可應用到其性質. 等腰三角形的性質又是后續探索正方形、菱形、圓等基本幾何圖形的理論基礎，因此它在平面幾何中占有支柱性地位，具有重要的探索價值.

2. 素養培養層面

（1）通過圖形變換探索性質，發展幾何直觀能力

探索幾何問題常基于圖形的變化，發現圖形的基本性質. 關于等腰三角形性質的研究，可從它的“軸對稱”性出發，借助全等三角形來揭露核心性質，讓學生從證明過程中發展幾何直觀能力，為后續探索更多與之類似的圖形性質夯實方法基礎，形成策略指導.

（2）用推理法探索圖形性質，發展邏輯推理能力

根據知識特點，本節課可將合情推理與演繹推理融合在一起，借助推理法來挖掘等腰三角形具備怎樣的性質. 學生在推理過程中親歷“操作—猜想—驗證”過程，積累經驗，形成嚴謹的數學思維與推理能力. 同時，操作過程中還會涉及類比、特殊到一般、轉化、數形結合等思想方法，這些都是推動數學核心素養發展的關鍵，對學生個體成長具有重要意義.

（3）嚴格規范探索，提煉通用研究方法

從某種意義上來說，等腰三角形是初中階段所研究的第一個嚴格探索性質的封閉幾何圖形. 其定義、性質與判定方法的探索經驗，對后續探索更多封閉圖形具有指導意義，或者說就是后續探索幾何圖形的“一般方法”. 作為范例的存在，其探索過程更需嚴謹、規范，這不僅是其在幾何圖形研究中地位的象征，還是發展學生嚴謹思維，形成良好探索能力的關鍵.

教學策略

1. 關于幾何直觀能力的培養

課堂中應用數學實驗可有效培育學生的幾何直觀能力，學生通過親手操作、親自觀察與探索對數學現象產生直觀的感性認識，這是用數學的眼光與數學的思維觀察與思考生活現象的過程，是啟發學生用數學的語言規范描述數學現象的關鍵性步驟. 如本節課，教師就根據學情特點設計了如下實驗活動，具體從如下幾個環節展開.

【環節一：實驗階段】

操作要求：對任意三角形剪一刀，獲得等腰三角形.

學生操作時，要求思考如下問題：①有什么辦法確定你所剪出來的圖形為等腰三角形？②只能剪一刀，那么剪的關鍵點在哪兒？

設計意圖 鑒于學生在之前已經對等腰三角形有所了解，因此將這個實驗放在課堂伊始完成，并不突兀. 該活動的設計，讓學生不得不對三角形與等腰三角形的關系產生好奇，由此引導學生更關注兩者間的邏輯關系，為完善知識結構體系夯實了基礎. 執行“剪”這一操作時，學生直觀面臨“軸對稱”這一關鍵性的性質，不僅為后續將要探討的性質證明夯實了基礎，還直接促進了直觀想象素養的發展.

2. 關于邏輯推理能力的培養

【環節二：猜想階段】

問題1：大家覺得可從哪些方面來研究等腰三角形？

設計意圖 引導學生回顧以往探索幾何知識的經驗，用類比法自然過渡到探索等腰三角形的性質中來，讓學生感知關于幾何圖形的性質探索，主要是研究各個要素間的數量或位置關系，此為一般性的研究思路.

問題2：通過實操發現等腰三角形的哪些元素具有重合性. 若從數量與位置關系這兩個視角分析，能獲得什么猜想？

師生活動：引導學生通過對手中等腰三角形紙片的折疊，捕捉其中邊、角相關要素間的聯系，讓學生發散思維大膽猜想，也可從中線、角平分線、高（簡稱“三線”）等角度去探索. 學生提出的猜想分別有：①兩底角相等；②三線重合.

設計意圖 折疊帶給學生直觀感受，由此很容易根據其對稱性獲得相應的猜想. 發現問題與提出問題是發展學生“四能”的基礎，是學生領悟幾何基本圖形研究思路的關鍵. 如此設計成功引發了學生的認知沖突，讓學生自主生疑而形成進一步探索的欲望，有效幫助學生積累活動經驗，尤其是猜想的形成，為發展邏輯推理能力鋪墊.

【環節三：揭露規律階段】

問題3：以上這兩個猜想適用于所有的等腰三角形嗎？

問題4：有什么辦法可以證明等腰三角形的兩個底角相等？

學生交流討論，一致認為借助全等三角形的判定可輔助證明.

師：全等三角形該怎么構造呢？

（學生合作交流完成推理，組內互相糾正與點評）

設計意圖 關于問題3的設計，意在進一步促使學生自主用不同的數學語言來求證猜想是否具有一般性；問題4的提出，意在吸引學生積極主動地進入推理狀態，并在合作交流中充分展示自己的想法，輔助線的應用起到簡化問題難度的作用，即將求證兩角相等轉化為求證兩三角形全等. 此過程不僅滲透了轉化思想，還進一步推進了學生的數學推理能力. 值得注意的是證明過程的書寫以及數學語言的應用必須規范，這是支撐推理能力發展的基礎.

問題5：以上探索明確了猜想①是一個證明題，那么猜想②呢？關于猜想①，是否有其他量相等？

問題6：證明兩個猜想，可否用添加其他輔助線來完成？

師生活動：在教師的引導下，學生自主合作交流. 活動結論為輔助線可選擇“三線”內的任意一條線，雖然證明過程不一樣，但證得的結論是一樣的.

設計意圖 為了保持教學的連貫性，讓學生的思維能順利過渡，對于兩個猜想的證明從一條輔助線逐漸擴展到多條輔助線，學生的思維隨著輔助線的增多而逐漸深刻. 探索深入后，學生發現即使作出不同的輔助線，但知識本質并沒有發生改變，由此強化了學生對“三線合一”的認識.

【環節四：應用階段】

如圖1，已知△ABC中，點D為AC邊上的一點，若AD=BC=BD.

（1）圖1存在哪些等腰三角形？

（2）若∠A=α，如何用含有α的式子來表示∠ABC，∠C，∠BDC？

（3）若∠DBC=30°，則△ABC各個角的度數分別是多少？

學生在獨立思考的基礎上進行交流，發現前面兩個問題具有鋪墊作用，隨著問題的解決，第三個問題也就自然而然地得到解決了. 因此，從復雜圖形內提煉出等腰三角形是解決這一類問題的基本過程，屬于思維的過渡階段.

設計意圖 想要明確一個三角形各個內角的度數，首先需明確各個內角的關系. 本題提供了幾條相等長度的線段，為提煉等腰三角形奠定基礎，而角邊之間本來就有千絲萬縷的聯系，因此以等線段為突破口發現等腰三角形，那么角的度數也悄然浮現. 擇取本題作為課堂教學的示范，意在進一步強化學生對等腰三角形的理解，以促進學生邏輯思維與合情推理能力的發展.

【環節五：延伸階段】

問題7：等邊三角形屬于一種特殊的等腰三角形，它具備等腰三角形的一切屬性，除此之外，等邊三角形還存在其他特征嗎？具體從對稱軸的數量與內角度數來分析.

設計意圖 此問意在引導學生自主構建等邊三角形的性質，讓學生將本節課所提煉的數學思想方法靈活地遷移到新知的探索中，獲得一般性的研究能力. 當然，此問屬于新知的生長階段，對促進學生推理能力的進一步發展具有重要價值.

數學活動的開展與經驗的積累是提升學生個人學習能力的重要方式，學生在“做中學”的背景下，沉淀經驗、提煉方法、發展學力.

3. 關于研究方法的提煉

縱觀以上教學流程，在環節二的時候，學生在自主操作的基礎上提出等腰三角形的相關性質；環節三對性質進行了完整、規范的證明；隨著環節五等邊三角形性質的提出，學生的思維經歷了一個閉環到延伸的過程. 在此過程中，學生充分感知了研究方法的普適性，并從中提煉出數學思想方法. 總結環節，教師可帶領學生進一步梳理整節課的教學內容，幫助學生構建完整的認知體系，提煉完整的研究方法.

【環節六：總結階段】

問題8：談談你在本節課的收獲.

對于這個問題，學生的回答異常豐富，有關于知識與技能方面的收獲，也有數學思想方法方面的收獲. 最后，教師與學生一起從如下兩個角度厘清知識與方法脈絡，幫助學生建構完整的認知結構.

（1）當面臨一個待研究的幾何對象時，除了要探索它的一般情況之外，還要關注該圖形是否存在特殊情況. 如探索完三角形之后，就著手探索一些類似于等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等，此過程就是將三角形的邊、角由一般向特殊轉化的過程. 明確“定義→性質→特例”研究路徑是探索幾何圖形的基本思路.

（2）等腰三角形的性質具體可從哪些方面，用哪些方法進行探索？將研究方法推廣到一般三角形與其他特殊三角形的研究中來，存在哪些共性與個性特征呢？本節課，學生親歷實驗過程，積累了良好的探索經驗，基本了解了關于特殊圖形的探索歷程，在研究完定義之后就進入性質與判定的探索中來. 等腰三角形的性質，可從邊、角、三線等角度著手，如“底角相等”“三線合一”，學生從中抽象出一般性的研究方法（圖3）.

設計意圖 從宏觀的角度整理一般化的研究思路，進一步促使學生完善研究幾何圖形的基本方法，讓本節課成為后續探索更多平面幾何圖形的典范.

總之，核心素養背景下“等腰三角形性質”的教學探索與實踐，為學生后續探索更多平面幾何問題提供了藍本. 教師不僅要關注對學生新舊知識的銜接工作，還要注重對學生幾何直觀能力、邏輯思維能力、推理能力等的培育，以從真正意義上促進學生深度學習，讓核心素養落地生根.