“三個理解”視域下的數學教學實踐與思考

［摘 要］ “三個理解”是由章建躍博士所提出，該理念對當前的初中數學教學具有指導意義.研究者以“二次函數”的概念為例，基于“三個理解”的維度分別從“練習訓練，初步建模”“溫故知新，抽象概念”“整體視域，類比探究”“對比思考，深刻理解”“鞏固訓練，實際應用”“總結提煉，反思升華”等環節展開教學實踐與思考.

［關鍵詞］ 三個理解；理解學生；理解教學；理解數學

章建躍博士認為：一節好的數學課需要建立在“理解數學、理解學生、理解教學”的基礎上，從而設計教學活動. 其中，理解數學是教學的方向，理解學生可為課堂教學提供強有力的保障，理解教學又能讓課堂充滿生命力. 最值得關注的是理解數學為教學的基本前提，教師基于理解數學的基礎上，著眼于學生關鍵能力與個體品質的培養，可進一步發揮數學的教育價值，為拔高數學思維，發展理性精神，提升核心素養夯牢根基. 本研究以“二次函數”的第一課時教學為例，分別從如下幾方面展開教學實踐與思考.

教學分析

學生在本節課之前已經掌握了一次函數與反比例函數等基本函數知識，二次函數與這兩種函數有著高度相似性，即都以定義的形式表達，且和一元二次方程雷同. 從知識的整體結構上來看，二次函數的邏輯結構和一次函數相似. 觀察知識的形成過程，可見這些函數都蘊含了特殊到一般、類比、數形結合、一般到特殊等常用的數學思想，這些思想方法是學生發展邏輯推理、抽象、直觀想象、運算等素養的基礎［1］. 基于學生實際認知水平與知識特點來看，本節課具有較強的教育價值與意義.

教學過程簡錄

1. 練習訓練，初步建模

課堂伊始，教師用多媒體展示如下幾個問題，鼓勵學生獨立思考問題并解決問題.

（1）李師傅準備用一根長16米的繩子圍一個長方形，設長方形的長與寬分別為x米，y米，那么x，y之間存在怎樣的函數關系？請寫出相應的表達式.

（2）用長寬分別為x米，y米的繩子圍成一個面積為16平方米的長方形，那么x，y之間存在怎樣的函數關系？請寫出相應的表達式.

（3）已知a為正方體的棱長，S為表面積，則S與a之間存在怎樣的函數關系？請寫出相應的表達式.

（4）圓的半徑r分別與該圓的周長C與面積S之間存在怎樣的函數關系？請寫出相應的表達式.

（5）趙阿姨準備用總長度為16米的籬笆，圍一個長為x米，面積為y平方米的長方形小型家禽飼養場，那么x，y之間存在怎樣的函數關系？請寫出相應的表達式.

（6）某種矩形的鏡面的長寬之比為2 ∶ 1，四周需要鑲邊框，假設鏡面的寬度是x米，鏡面的單價為每平方米120元，邊框的單價為每米30元，加工費為每個成品45元. 那么一面鏡子的總金額y（元）和鏡面的寬x（米）之間存在怎樣的函數關系？請寫出相應的表達式.

設計意圖 以上6個問題均與學生的實際生活相貼合，學生通過對問題的觀察可逐步抽象出函數模型，并在各個實例的引導下逐步形成良好的數學邏輯推理、抽象與建模能力. 從某種意義上而言，這些豐富的生活實例也是學生自主概括與抽象二次函數概念的素材，為學生更好地理解教學提供基礎.

2. 溫故知新，抽象概念

依然借助多媒體展示一組式子，要求學生通過對式子的觀察，從中挑選出自己所熟悉的函數，并說說函數類別與相對應的概念.

①y=4-x；②y=；③C=2πr；④S=5x2；⑤S=πr2；⑥y=360x2+240x+48；⑦y=-x2+7x.

設計意圖 函數類別的判定及定義的回顧，進一步強化學生對一次函數與反比例函數的認識，體會它們的概念均由其書寫形式所確定，這一理解為接下來探索二次函數的概念奠定了方法基礎.

師：觀察式子④⑤⑥⑦，說說它們之間具備怎樣的共同點.

生1：這幾個式子中都出現了平方.

師：根據你們的認知經驗，該如何給這一類函數命名？說明理由.

生2：應該要出現“二次”這一詞語，考慮到都是函數，所以命名為“二次函數”.

師：從一次函數與反比例函數的定義出發，可否通過類比法為二次函數下個定義？

生3：一般情況下，二次函數為類似于y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）形式的函數，其中x為自變量，y屬于x的函數.

師：表達的意思完全正確，你是怎么想到a≠0這一條件的？

生4：受一次函數與反比例函數概念的啟發，發現它們都是根據書寫形式下的定義，由此聯想到二次函數的概念，也需關注a≠0的條件. 若a=0，那么函數表達式就是y=bx+c，缺乏“二次”這一項，自然不屬于二次函數的范疇.

教師肯定了學生的理解，并借助PPT展示完整的二次函數概念，要求學生注意關鍵性詞語與規范的表達方法.

設計意圖 建構主義理論告訴我們，新知的建構往往建立在舊知的基礎上. 一次函數與反比例函數就是二次函數的知識基礎. 因此，在學生自主抽象概念時，可引導學生聯系自身已有的認知經驗，借助類比法獲得二次函數的定義. 如此設計，一方面能強化學生對二次函數概念的認識與理解，另一方面又能促使學生深刻理解概念間的聯系，獲得從整體視域觀察數學知識，形成結構化的知識架構，為發展類比思想、邏輯推理能力做鋪墊.

3. 整體視域，類比探究

師：雖然二次函數的概念與大家認知中的一次函數的概念有所區別，但這兩種都隸屬于函數家族，因此在研究方法上也存在很多共同點. 現在，請大家類比一次函數的探索路徑，確定二次函數的研究方向.

如圖1，在教師的啟迪下，學生自主回顧一次函數的探索內容與方法，并自主將這些方法類比到二次函數的研究中來，初步確定二次函數的研究過程.

設計意圖 引導學生通過類比分析，基于整體視域下構建探索框架，不僅滲透了相應的數學思想方法，還有效開啟了學生的智慧，讓學生學會自主應用已有經驗探索新的知識，獲得知識與方法的遷移. 此為提升學力的過程，對學生個體的發展具有重要意義.

4. 對比思考，深刻理解

師：通過以上分析，我們不僅概括出二次函數的概念，還明確了探索二次函數的方向. 接下來，請大家回歸到二次函數的一般表達式y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0），思考如下幾個問題：①以上式子④⑤⑥⑦中的a，b，c分別是什么？②分析下列函數有哪些是關于y和x的二次函數（PPT展示，略）？說明理由.

隨著師生積極的互動，對于二次函數的判定提煉出如下幾個要點：①必須是符合一般表達式y=ax2+bx+c的整式；②x作為自變量，最高次數必須為2；③確定a≠0，若a為0，則缺少ax2這一項，與概念不符.

問題1：二次函數一般形式中的自變量x的取值范圍有沒有限制？

問題2：棱長為a的正方體表面積S=6a2，a的取值范圍有沒有特定要求？

通過對問題的分析，學生發現實際問題中的自變量x受問題本身條件的影響，為了訓練學生對這一問題的認識，教師繼續提出如下問題，要求學生分別說說在下列情況下各個自變量的取值范圍是什么.

（1）圓的面積公式S=πr2，其中自變量r的取值范圍是什么？

（2）用一根長16米的繩子圍一個長方形，面積y與長x之間的關系為y=-x2+8x，其自變量x的取值范圍是什么？

（3）某種矩形的鏡面的長寬之比為2 ∶ 1，四周需要鑲邊框，假設鏡面的寬度是x米，鏡面的單價為每平方米120元，邊框的單價為每米30元，加工費為每個成品45元. 那么一面鏡子的總金額y（元）和鏡面的寬x（米）之間的關系為y=240x2+180x+45，其中自變量x的取值范圍是什么？

設計意圖 從函數的定義來看，它體現的是現實世界一些變化規律的模型. 實例的應用讓學生進一步體會函數思想，并感知在不同背景下，函數自變量的取值范圍有著顯著差別，這一發現可提升學生的數學實際應用意識，并讓學生切身感知解決數學問題需符合生活實際意義.

5. 鞏固訓練，實際應用

練習1：若明確y=（m-3）xlvvo79d4sRg9DtYeeu2HBit0KyL+7UZHtr8cp7EOTNE=m 2-7+4x為一個二次函數，那么m的取值范圍是什么？

練習2：用函數關系式表達下列實際情況，并分別說明各個函數所屬類型以及自變量的取值范圍.

①在一張長、寬分別為30厘米、20厘米的卡紙上剪下一個邊長為x厘米的正方形，那么卡紙剩余部分面積S與邊長x之間有怎樣的函數關系？

②某廠3月份用煤200噸，若4，5月份的月平均增長率為x，那么5月份用煤量y與增長率x之間可用怎樣的函數表達式描述？

設計意圖 這兩道經典問題意在訓練學生的解題習慣，讓學生在遇到實際問題時，不僅考慮回歸到概念本身去分析問題，還能從實際出發，全面剖析問題.

6. 總結提煉，反思升華

引導學生從本節課的知識、思想方法、研究注意事項等方面展開總結，提出存在的疑惑，并展望后續將要繼續探索什么內容. 基于總結的基礎上，用思維導圖的方式體現完整的知識結構.

設計意圖 全方位地回顧整個教學過程，可幫助學生從整體視域掌握知識結構，為提煉思想方法，實現深度學習服務. 正如章建躍博士所言：數學思想方法是解決數學問題的根本大法.

思考與感悟

1. 理解數學是教學的基礎

隨著新課改的深入推進，廣大教育工作者越來越清楚認識到，若想促進學生的長期可持續發展，就要充分挖掘教學內容的教育價值，發揮知識的內在力量，為提升學力夯實基礎. 縱觀當前的教育現狀，有一種默認的潛在假設，即教師已經完全掌握了教學內容本質，在理解數學方面是無懈可擊的. 殊不知，有很多教學質量低下的根本原因就在于教師對知識特點、結構、邏輯關系等認識不到位，導致教學過程中難以準確把握教學重點與難點，無法設置具有啟發性的問題，由此大大降低了教學實效.

基于以上分析，教師作為課堂的執教者，首先應豐富自己的認知，在授課前就要追本溯源，對教學內容的形成與發展過程產生明確的認識. 教師一旦擁有扎實的知識基礎，那么在教學時則能“信手拈來”，讓學生領悟知識的精髓. 由此可見，理解數學是教學的基礎. 本節課教學之前，研究者就針對章節知識結構與二次函數概念特征等進行了深入剖析，為課堂教學奠定了堅實的基礎.

2. 理解學生是教學的關鍵

學生是課堂真正意義上的主人，若想讓教學達到事半功倍的效果，就要對學生的實際認知水平、思維層次等產生明確的認識. 以“二次函數”的知識為著力點，該怎樣讓學生自主領略“二次”這一特征，并自主抽象出相應的概念呢？此為教師需重點關注的內容. 本節課之前，學生已經掌握了一次函數與反比例函數，若想進一步發展學生的認知，最好的辦法就是引導學生應用類比遷移的方法，自主探索并建構新知，對不同函數間的聯系產生新的認識.

為了達成以上目標，研究者在課堂伊始就展示了一些不同的式子，讓學生通過對式子④⑤⑥⑦的共性分析，獲得“二次”這一核心要素，再結合式子特征，初步形成“二次函數”的概念. 究竟該如何描述這個概念呢？為了提升學生的自主學習能力，教師并沒有直接呈現結論，而是鼓勵學生自主類比一次函數與反比例函數的概念，給二次函數下定義. 這種基于理解學生的基礎上，充分尊重學生的教學行為，讓課堂充滿智慧.

3. 理解教學是教學的核心

針對不同的群體，不同的知識，采取的教學方法也有一定的差別. 不論哪種教學方式的應用，都應以學生的實際認知作為起點. 教師需重點關注的是怎樣引導學生用數學的眼光去觀察，用數學的思維去思考，用數學的語言去描述一些現象，也可設計一些具有啟迪性的情境或問題驅動學生的探索欲，促使學生主動發現并提出問題，為建立數學模型奠定基礎.

本節課就應用了大量的生活實際問題引發學生的思考，學生在潛移默化中形成了“三會”與“四能”. 此為基于理解教學的基礎上設計的教學方案，讓學生進一步體會到數學源自生活，具有為生活服務的作用.

參考文獻：

［1］魏國兵. 學科核心素養導引，積累基本活動經驗——以“函數單調性”的教學設計與實施為例［J］. 中小學數學（高中版），2018（12）：13-17.