APOS理論指導下的初中數(shù)學概念教學

［摘 要］ 概念教學是數(shù)學教學的重中之重，概念教學的質量直接關系著學生數(shù)學思維能力的發(fā)展和學生學習能力的提升. 研究者以“實數(shù)”概念教學為例，將APOS理論與實數(shù)概念教學相結合，通過經歷“活動—過程—對象—圖式”四個階段呈現(xiàn)概念的形成、展示與深化過程，在建構與完善概念的過程中提升概念教學品質，發(fā)展學生數(shù)學思維能力.

［關鍵詞］ 數(shù)學概念教學；教學品質；思維能力

在傳統(tǒng)數(shù)學概念教學中，教師容易忽視概念的形成和發(fā)展過程，使得學生對概念的本質把握不清，影響學生數(shù)學應用能力的提升和數(shù)學思維能力的發(fā)展. 為了打破這一局面，基于APOS理論的概念教學應運而生. 基于APOS理論的概念教學倡導自主探究學習，以期通過自主探究喚醒已有知識和新知聯(lián)系，逐步完善學生知識結構，提升學生分析和解決問題的能力.

APOS理論概述

APOS理論將數(shù)學概念教學分為四個階段，分別為：活動、過程、對象、圖式. 所謂“活動”，指的是借助教學情境直觀感知概念的過程；所謂“過程”，指的是通過自主探究，提煉概念共同特征的過程；所謂“對象”，即抽象概念本質屬性，形成概念的過程；所謂“圖式”，指的是溝通新知與舊知的聯(lián)系，建構數(shù)學知識體系的過程. 這樣通過經歷以上四個階段的建構，可以讓學生對概念形成更深刻、更系統(tǒng)的理解，促進學生思維能力的發(fā)展與提升.

教學案例

在“實數(shù)”概念教學中，教師結合APOS理論四個階段的特征，引導學生經歷概念抽象的全過程，實現(xiàn)APOS理論與實數(shù)教學的有效融合，培養(yǎng)學生勤于思考、樂于探究的學習品質，提升概念教學質量.

1. 活動階段

該階段教師結合教學實際創(chuàng)設有效的教學情境，以此化抽象為直觀，讓學生更好地走近新知，提升學生參與課堂的積極性. 在本課教學中，教師結合教學內容引導學生“動手做”，讓學生在做的過程中感受新知.

課前準備：兩張面積為1的正方形卡紙（要求：兩張卡紙顏色不同）；剪刀.

問題1 將兩張卡紙拼在一起，可以拼成什么圖形，圖形的面積是多少？請寫出關于面積的等式.

學生回答：可以拼成一個長方形，其面積為2，令兩張卡紙的面積分別為S，S，則長方形的面積為S+S=2.

追問1：若將兩個正方形拼成一個大的正方形，可以怎么拼（可以裁剪）.

師生活動：在教師的啟發(fā)和指導下，學生沿正方形的對角線將正方形卡紙平均分成兩份，得到四個面積相等的等腰三角形，從而拼出如圖1所示的正方形.

追問2：如圖1所示的正方形面積是多少？邊長是多少？

學生回答：正方形面積是2；邊長是.

追問3：到底有多大呢？

師生活動：教師引導學生利用計算器計算.

追問4：根據(jù)計算結果，你認為是一個怎樣的數(shù)呢？

學生回答：它是一個無限不循環(huán)的小數(shù).

問題2 請利用計算器將如下各數(shù)轉化為小數(shù)：，-，，.

追問5：這些數(shù)是什么數(shù)？轉化為小數(shù)后呢？

學生回答：以上各數(shù)都是有理數(shù)，轉化后有的是有限小數(shù)，有的是無限循環(huán)小數(shù).

教學說明：從學生已有的學習經驗出發(fā)，引導學生通過動手操作獲得無理數(shù)的直觀感. 教學中教師沒有直接給出無理數(shù)的概念，而是引導學生借助計算器計算的大小，發(fā)現(xiàn)它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，在此基礎上，教師引導學生與有理數(shù)相類比，發(fā)現(xiàn)無理數(shù)均可以轉化為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，由此引發(fā)認知沖突，學生自然會形成這樣的困惑“到底是一個怎樣的數(shù)？”這樣通過經歷如上探究活動，使學生的情感態(tài)度發(fā)現(xiàn)轉變，即由“要我學”向“我要學”轉變.

問題3 我們把，等這樣無限不循環(huán)小數(shù)稱之為無理數(shù). 說說無理數(shù)有何特征？

學生回答：無限不循環(huán)小數(shù).

問題4 無理數(shù)與有理數(shù)有何區(qū)別與聯(lián)系？

師生活動：教師引導學生從性質、結構、范圍等方面進行比較，進一步理解無理數(shù).

教學說明：通過問題1和問題2的探究，學生對無理數(shù)已經建立了初步感知，而借助問題3和問題4的探究可以進一步加強學生對無理數(shù)概念的理解. 另外，在此過程中引導學生與有理數(shù)概念相類比，通過區(qū)別進一步加深對無理數(shù)概念的理解，通過聯(lián)系自然引出實數(shù)的概念.

2. 過程階段

該階段是學生對活動階段的深度思考過程，通過對現(xiàn)有問題的反復思考與實踐探究，提煉概念的共同特征. 該階段教師不妨以學生的已有認知為出發(fā)點，設計由淺入深，環(huán)環(huán)相扣的問題，引導學生通過問題的解決知曉實數(shù)概念的特征，提高學生數(shù)學概括能力.

問題5 你是否能夠在數(shù)軸上表示無理數(shù)呢？

結合已有的有理數(shù)學習經驗，學生認為無理數(shù)也能在數(shù)軸上表示出來，不過該如何表示，學生感覺一片茫然. 為了解決這一問題，教師設計了這樣一個實驗活動，首先畫一個數(shù)軸，在數(shù)軸上找到“2”，記為點A，過點A作數(shù)軸的垂線，并在垂線上截取AB=1，連接OB，以點O為圓心，OB長為半徑作圓，圓O與數(shù)軸的正、負半軸分別交于點C和點D，問點C和點D表示的數(shù)是什么？

學生根據(jù)以上過程分別得到點C和點D，并根據(jù)勾股定理知曉點C表示的數(shù)為，點D表示的數(shù)為 -.

追問1：點C到原點和點D到原點的距離分別是多少？

學生回答：.

問題6 根據(jù)以上結果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動：教師預留時間讓學生回顧問題5的探究過程，并對探究結果進行總結歸納，形成結論：無理數(shù)也能在數(shù)軸上表示，無理數(shù)有絕對值和相反數(shù).

教學說明：該環(huán)節(jié)教師引導學生與有理數(shù)相類比，通過由表及里，由淺入深的逐層探究引導學生參與概念的生成過程，提煉概念的共同特征，發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng). 該環(huán)節(jié)教師充分利用學生的茫然與困惑，通過動手操作幫助學生將新知與舊知搭建互通的橋梁，引導學生通過實際操作知曉無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示，在此基礎上進一步推廣，得出結論：數(shù)學上的點與實數(shù)是一一對應的.

3. 對象階段

該環(huán)節(jié)教師要預留足夠的時間讓學生進行反思、交流，明晰概念的本質屬性和非本質屬性，發(fā)展學生數(shù)學抽象能力及思辨能力. 在具體設計中，教師可以結合教學實際設計多樣化的操作活動，引導學生進行思考辨析，以此讓學生深刻地理解知識，促進知識的內化.

問題7 請按照要求將表1的內容補充完整. （教師PPT出示表1）

師生活動：教師讓學生獨立完成表格的填寫，然后展示學生的結果.

問題8 結合表1所填內容，你有何發(fā)現(xiàn)？

師生活動：教師讓學生以小組為單位展開討論. 該問題為開放性問題，其答案并不唯一，有的學生提出無理數(shù)和有理數(shù)的相反數(shù)是一樣的，若無理數(shù)為正數(shù)，那么它的相反數(shù)就是負數(shù)，反之依然成立；有的學生提出無理數(shù)和有理數(shù)的絕對值也是一樣的.

教學說明：數(shù)學概念的形成是一個過程，而學生對概念的理解同樣需要一個過程. 在實際教學中，學生雖然已經經歷了實數(shù)概念的形成過程，但是若想讓學生理解和掌握概念依然需要一個過程，因此教師有必要創(chuàng)造機會讓學生進行深入的探究，以此進一步加強對概念的理解. 該環(huán)節(jié)，教師充分借助表格直觀的優(yōu)勢，引導學生在類比歸納中逐步掌握實數(shù)的本質特征，從而讓學生真正理解和掌握概念，為概念的靈活運用打下堅實的基礎.

4. 圖式階段

周知，概念具有高度的抽象性和概括性，學生在圖式階段很難做到一步到位，因此圖式階段可以理解為一個不斷完善、不斷發(fā)展的過程. 如在本課教學中，在活動階段，學生頭腦里儲存的是實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)；在過程階段和對象階段，通過對第一階段的發(fā)展，學生知曉無理數(shù)是一個無限不循環(huán)小數(shù)，其與有理數(shù)相同，有正負之分，也有絕對值. 這樣通過一步步探索，一步步細化，使學生對實數(shù)概念的理解更加詳盡，逐步形成更復雜、完整的圖式.

問題9 你能用圖形來表達本課所學內容嗎？

師生活動：教師提供時間讓學生對以上階段的探究結果進行歸納總結，形成個體完善的認知.

追問1：請將圖2和圖3的內容補充完整，并簡述一下自己的理解與發(fā)現(xiàn).

問題10 求實數(shù)a的絕對值.

a=a（a>0），

0（a=0），

___（a<0）.

教學說明：通過生生和師生互動交流的方式構建和完善知識網絡圖，體會各部分知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學生形成清晰的知識脈絡圖. 在此過程中，教師要扮演好課堂組織者和指導者的角色，在學生遇到障礙或出現(xiàn)遺漏時進行及時的指導和補充，以此幫助學生形成完整的圖式.

5. 鞏固練習

通過前面四個階段的學習，學生對本課內容已經形成了清晰的知識脈絡，接下來教師有必要通過練習幫助學生進一步鞏固知識，以此增強學生解題信心.

練習1：請按照要求將下列各數(shù)填寫到括號內.

，3.1415926，，-8，，，

無理數(shù)（ ）；

有理數(shù)（ ）.

練習2：求下列各式中的x值.

（1）x=；（2）x=；（3）x=0；（4）x=；（5）x-3=1.

該階段教師以生為主，讓學生獨立完成求解，以此讓教師更好地了解學生、了解教學，以便教師結合學生的實際反饋調整教學預案，優(yōu)化教學策略，提高教學水平和教學質量.

教學說明：針對本課學習內容，教師設計針對性練習，這樣一方面可以檢測本課教學效果，另一方面可以借助練習幫助學生鞏固知識，提高學生應用知識解決問題的能力.

6. 課堂小結

該環(huán)節(jié)教師預留時間讓學生對所學內容進行歸納總結，并提供機會讓學生提出自己的所想、所惑，以此進一步優(yōu)化學生的認知結構，逐步將知識內化為能力.

教學說明：個體差異是客觀存在的，不同的認知水平對新知的理解程度也會有所不同，因此在課堂小結環(huán)節(jié)，教師既要提供時間讓學生獨立歸納反思，又要創(chuàng)造空間讓學生互動交流，以此讓不同思維碰撞出火花，拓寬學生的視野，升華學生的認知.

教學思考

1. 循序漸進，逐步建構

數(shù)學概念教學關注概念形成、發(fā)展及應用的全過程，其為概念教學提供了新方向. 在四個階段的教學中，教師分別從學生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設符合學生認知規(guī)律的問題情境，讓學生在問題的解決中逐漸認識、理解、掌握和應用概念，逐步提高學生的認知水平和思維能力. 例如，在本課教學中，在活動階段，教學結合學生的認知特征與概念內容特征創(chuàng)設情境，讓學生通過動手做獲得對無理數(shù)的直觀感知，從而建立對實數(shù)的初步認識；在活動階段和對象階段，教師結合教學內容精心創(chuàng)設問題鏈，讓學生在問題的引領下體會有理數(shù)與無理數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，進而通過遷移讓學生明白無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也有相反數(shù)和絕對值；在圖式階段，教師啟發(fā)學生進行新舊對比，逐步將新知識納入原有認知體系中，自然完成對本課所學知識的整體建構. 在整個概念教學中，沒有機械的灌輸，也沒有生拉硬拽，而是通過創(chuàng)設符合學生認知規(guī)律的探究活動引導學生進行實數(shù)概念的自主建構，有效溝通新舊知識的聯(lián)系，抽象概念的本質屬性，以此讓學生掌握研究概念的方法，提升學生數(shù)學素養(yǎng).

2. 自主探究，逐步完善

課堂教學的主體是學生，只有學生參與的課堂才是有價值的、有意義的，因此在課堂教學中，教師應適當?shù)貙W會放手，讓學生體會數(shù)學發(fā)現(xiàn)的樂趣，感悟數(shù)學魅力，樹立正確的情感態(tài)度和價值觀. 教師作為課堂教學的主導者，應結合教學內容創(chuàng)設符合學生認知發(fā)展規(guī)律的探究活動，讓學生在探究中逐漸理解概念，逐步完善個體認知體系. 例如，在實數(shù)概念教學中，教師沒有直接將概念拋給學生，而是借助有效的問題串引導學生經歷概念形成過程，讓學生理解引入新數(shù)的重要性和必要性，讓學生學會用發(fā)展的眼光看待數(shù)學學習. 相信經歷以上探究過程后，學生勢必還會有這樣的疑惑，是否存在實數(shù)以外的數(shù)呢？這樣不僅為后面虛數(shù)的學習埋下伏筆，而且可以讓學生體會知識的建構是一個逐步完善的過程，以此幫助學生樹立正確的學習觀，提升學習品質.

總之，在數(shù)學概念教學中，教師應以發(fā)展學生為目標，倡導獨立思考與合作探究，讓學生在探究中理解概念本質并建構概念知識體系，落實數(shù)學核心素養(yǎng).