一般觀念引領下的初中“線段”教學建議

［摘 要］ 一般觀念在數學教學中具有方向標的作用，以其為綱，能夠教會學生如何用相似的方法學習同質內容. 文章立足一般觀念，提煉圖形性質學習的一般框架，并以人教版（2011年版）七上的“線段”教學為例，探討如何在具體教學中滲透一般觀念，引領學生感悟知識的來龍去脈，培養其遷移能力和應用意識.

［關鍵詞］ 一般觀念；圖形性質；線段教學

引言

伴隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課標”）的頒布，知識的結構性和整體性再次引發熱議. 課標指導我們在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系［1］. 事實上，數學知識的結構性和整體性早已不再局限于教學內容本身，一般觀念引領下的教學框架和研究方法也開始得到越來越多人的討論和關注.

數學一般觀念是對內容及其反映的數學思想方法的進一步提煉和概括，是對數學對象的定義方式、幾何性質指什么、代數性質指什么等問題的一般性回答，是研究數學對象的方法論［2］. 數學一般觀念可以揭示學科本質，用其統領教學，能起到“綱舉目張”的效果，能幫助學生把知識理解為連貫的整體，是落實整體性教學和深度學習的重要途徑.

“一般觀念”融入初中圖形性質

教學的意義

對數學學習而言，融入一般觀念的圖形性質教學，能夠幫助學生構建結構化的數學知識體系. 從一般觀念的角度分析，圖形與幾何的研究手段基本是“通過尺規作圖和圖形變換建立幾何直觀—通過演繹推理構建幾何邏輯結構—初步量化表達”. 這些內容比較抽象，在具體課堂教學中的操作性不強. 立足一般觀念提煉出數學研究的一般框架，可以有效解決這個問題，能幫助學生明確學習同質內容的一般思路和研究方法.

對教師發展而言，一般觀念引領下的數學教學，能夠有效促進教師專業成長. 一般觀念是數學學習中的頂層思想觀念，以圖形性質教學為例，站位一般觀念的課堂能夠向學生傳達這樣一種理念——不同的幾何圖形只是學習載體，圖形性質的學習本質上是在研究構成圖形的基本元素或者相關元素之間的位置關系與大小數量關系. 因此，教師本身必須明確不同領域和不同學習主題的核心思想和觀念，對課標有更加透徹的理解，從整體性和一致性的角度統籌把握教學節奏，以學促教，提升自身的專業素養.

對學生學習而言，一般觀念引領下的數學課堂，能夠有效達成深度學習. 以圖形性質學習為例，傳統的幾何教學更注重學生幾何研究經驗的積累和相關技能訓練. 在這樣的課堂中，學生或許能明白“如何解題”，但是對于幾何學習的主要內容和一般性方法缺乏系統的認識. 一般觀念引領下的幾何課堂，學生能夠從研究內容、研究思路和研究方法等方面研究學習對象，梳理學習圖形性質的一般框架和思路，構建完整的知識體系.

定題“線段”的緣由

在下文中，筆者將以人教版（2011年版）七年級上冊第四章“幾何圖形初步”中的“線段”為例，探討一般觀念引領下圖形性質教學的實施策略. 之所以以“線段”為題，主要是基于以下兩個原因.

第一，大部分學生，甚至包括一些老師，都忽視了“線段”的重要性. 學生在小學階段積累了“線段”的部分學習經驗，大家容易對初中“線段”的學習產生這樣的誤解：“線段”的學習只是在小學已有基礎上，增添了表示方法、尺規作圖等內容，淺顯易懂，學生不需要花費太多精力，只要通過技能訓練，就能達成學習目標.

第二，“線段”這部分內容設置在人教版（2011年版）七年級上冊“幾何圖形初步”這個章節，不僅是學生在初中階段第一次正式接觸幾何學習，也是圖形性質教學的開端. 如果教師能夠站位一般觀念，引導學生從“構成元素”的角度思考和理解“線段”的不同學習環節，就把握住了一個很好的契機，能幫助學生構建對后續幾何學習有支撐意義的結構化研究框架.

一般觀念引領下，“線段”教學

的實施建議

（一）立足一般觀念，提煉圖形性質教學的一般框架

圖形性質學習的一般框架可以從研究內容、研究思路和研究方法三個角度進行梳理，如圖1所示.

（二）“線段”主要環節的教學建議

1. 線段的定義及表示法

問題1 線段的定義：直線上兩點及兩點間的部分.

追問：如果從“構成元素”的角度分析，線段定義可以提煉出幾個元素？

問題2 線段的表示方法：用一個小寫字母或者兩個大寫字母表示，如圖2所示.

追問1：結合定義中提煉的“元素”，嘗試說明線段命名的依據.

追問2：你能仿照線段的命名方式，從“構成元素”的角度給射線命名嗎？

設計意圖 圖形性質本質上是在研究構成圖形的基本元素或者相關元素之間的位置關系與大小數量關系. 教師應該借著“定義”，跟學生明確線段的兩個構成要素：直線和點，再通過“用兩個大寫字母表示線段”來強化基本要素的重要性. 因為用兩個大寫字母表示線段就是回歸到了“點”這個要素上. 這樣的解讀方式能夠在學生心中埋下一顆名為“基本元素”的種子，為后續的教學做好鋪墊.

2. 尺規作圖

問題 如何借助沒有刻度的直尺和圓規構造一條線段等于已知線段？

作圖步驟：

（1）畫一條射線；

（2）在射線上截取一條線段等于已知線段.

追問：在定義學習中，我們強調了構成元素的重要性，你能嘗試從這個角度分析作圖步驟與構成元素的關聯嗎？

設計意圖 在尺規作圖教學中，作圖技能的訓練往往是教師關注的重點. 但是站位一般觀念，簡單的技能固化并不能體現學習本質，教師應該從構成要素的角度來解讀作圖步驟：線段指的是直線上兩點及兩點間的部分，那么先畫一條射線相當于構造了一個點和一條線，再用圓規截取則能定位出另外一個點. 這樣的剖析過程能夠幫助學生從構成元素的角度領悟“為何這樣的操作就能構造出一條線段等于已知線段”.

3. 線段的大小比較

問題 你能用哪幾種方法比較線段a，b，c的長短？如圖3所示.

歸納：如表1.

追問：仔細觀察“圖形語言”，有了前面的學習經驗，你能找到線段構成元素與大小比較的關聯嗎？

設計意圖 在進行這個環節的教學時，教師應該引導學生有邏輯地思考這樣一個關聯：“點的位置關系”反映了“線段間的數量關系”. 最后的追問不僅再次回歸到了線段的構成要素——“點”，還幫助學生將“線段大小比較”這個問題，從直觀的圖形感受上升到理性的邏輯結構，培養了他們的推理能力和抽象能力.

4. 線段和差

問題1 如圖4所示，已知線段a，b，求作一條線段，使它等于a +b.

作圖步驟：

（1）畫一條射線；

（2）在射線上依次截取AB=a，BC=b，則有AC=a +b，如圖5所示.

追問1：若a=1，b=2，馬上可以得到a +b=3，為什么在尺規作圖的過程中卻要“先畫一條射線”？

追問2：能不能先畫一條線段AB等于a，再拼一條線段BC等于b，用拼接的方式（點B重合）得到AC呢？

設計意圖 解決上述兩個追問的關鍵就在題目的要求“求作一條線段”. “為什么要先畫一條射線”這個問題是本環節的重難點. 倘若只從數量的角度考慮，線段的長度是可以直接相加減的，學生在三角形周長等內容的學習中，已經積累了豐富的經驗. 但是如果要用一條新的線段來表示兩條線段的和（差），簡單的拼接并不能達成這個目的.

從形的角度來看，線段是直線上兩點及兩點間的部分，用拼接的方式沒辦法保證兩條線段共線，可見線段和（差）的作圖必須有一個前提，那就是A，B，C三點共線. 所以“先畫一條射線”能夠保證構成元素中的“線”，“依次截取”才能得到另一個元素“點”. 可見，用一般觀念來指導教學，不僅可以有效突破教學的重難點，還能強化學生對圖形性質本質的理解.

問題2 如圖6所示，線段AB可以表示成哪兩條線段的差？

追問：AB=AC-BC和AB=AD-BD這兩種表示方法分別抓取的是哪幾個點？

設計意圖 這個追問有一個非常重要的引導價值：在復雜圖形中，我們需要關注什么？學生通過思考會發現，無論是哪一種方案，最后抓取的點只有3個，進而提煉出線段和差的基本圖形，如圖7所示. 借助這個問題的思考，依托構成圖形的基本元素提煉基本圖形結構，不僅能夠讓學生的幾何學習起到策略性的指導作用，還能再次強化圖形性質的研究內容，發展學生的一般觀念.

5. 線段等分點

問題1 如圖8所示，如果讓圖7中的點C動起來，有沒有哪個點C的位置值得你特別關注？為什么？

線段中點：若點C把線段AB分成相等的兩條線段AC和CB，點C叫線段AB的中點，如圖9所示.

設計意圖 線段等分點的教學承載著幾何學習中濃墨重彩的一筆——點的位置的特殊化能夠帶來圖形的特殊化. 這個現象如果從一般觀念的角度來看，就很好理解. “點”作為構成圖形的基本要素，它的位置一旦特殊，勢必會帶來圖形的特殊化. 因此，在教學中教師要讓學生充分體驗點C的位置變化過程，讓學生直觀感悟線段等分點的特殊，積累豐富的數學活動經驗.

問題2 判斷“若線段AB=BC，則點B是線段AC的中點”這句話是否正確，并說明理由.

設計意圖 線段的構成基本要素是“點”和“線”. 除了強調“點”，怎么體現“線”的重要性呢？設置一個數學情境讓學生去辨析，是非常有效的手段. 學生在構圖的過程中會發現，要讓點B成為AC的中點，必須滿足線段AB和BC共線，進而意識到“線”的重要性. “共線”更是后續輔助線添加的重要因素.

思考與啟示

數學知識的發生發展有其內在邏輯基礎，不同領域的數學學習內容有很多共性的部分. 對幾何圖形而言，我們主要研究的是圖形構成要素和相關要素之間的關系（位置關系、大小關系等）. 倘若我們能站位一般觀念，積極地去思考如何在不同幾何內容的教學中滲透和提煉共性的研究路徑，教會學生研究幾何圖形的一般思路和基本方法，學生就能逐漸意識到：不同的幾何圖形只是載體，它們的研究內容、思路和方法都有共通之處. 這樣不僅能幫助學生整體把握知識，更能有效地完成知識遷移，還能培養他們的應用意識，落實核心素養，達成深度學習.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍. 學會提問（之五）［J］. 中小學數學（高中版），2022（3）：64+66.