新課標背景下小學分數教材體系的重塑

摘 要 分數是小學數學公認的學習難點。現行分數教材存在分數概念與整數概念缺乏實質貫通、分數運算與整數運算缺乏整體溝通、分數認識與分數運算缺乏系統融通等問題。在新課標實施、新教材修訂的背景下，重塑小學分數教材體系，是教材修訂者面臨的一大挑戰，也是一線教師關注的熱點問題。前移簡單分數乘除，促進分數認識與運算系統融通；強化分數度量意義，實現分數概念與整數概念本質貫通；運用計數單位工具，推動分數運算向整數運算整體轉化，可以實現對小學分數教材體系的重塑。

關 鍵 詞 新教材；新課標；分數與運算；教材體系

分數是小學數學公認的學習難點，也是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）的改革重點。重塑分數內容的教材體系，以充分體現新課標改革精神、有效化解分數學習難點，是教材修訂者面臨的一大挑戰，也是一線教師關注的熱點問題。本文從反思現行分數教材、研讀《新課標》出發，在合理吸收中外分數教材及其研究成果的基礎上，提出小學分數教材體系重塑的構想。

一、 現實反思：我國小學分數教材的主要問題

1.分數概念與整數概念缺乏實質貫通，導致整數知識向分數遷移不暢

分數概念的內涵非常豐富。我國現行小學數學教材中，分數主要包括比率、度量和除法三種意義。

分數的比率意義，意即將一個整體均分成若干等份，分數即為所表示的部分量（一等份或幾等份）與整體的比率；分數的度量意義，意即將均分整體得到的單位分數（一等分）作為度量單位，分數即為所表示的量用單位分數測量所得的結果，也即分數表示單位分數的迭代（累加）結果（即為單位分數的個數）；分數的除法意義，意即將分數視為兩個整數相除所得的商。

雖然比率意義是分數意義生成的根本[1]，但度量意義更能體現分數作為數的本質意義[2]。在分數的比率意義中，整體就是用作比較的標準量，實質上被當成了計數單位，也即分數可以表示成比率與計數單位的乘積。但比率一般不是整數，所以分數的比率表征與整數的計數模式（即整數都可表示成計數單位與所含個數的乘積）不相一致。而在分數的度量意義中，單位分數被當成了計數單位，也即分數可以表示成計數單位與所含個數的乘積，所以分數的度量表征與整數的計數模式一致，即與整數一樣都是數（shǔ）的結果，因此，分數的度量意義更能體現分數作為數的本質意義。

但我國現行各種版本小學數學教材中，過分強調比率意義、相對忽視度量意義，導致一些教師和學生將分數的意義等同于分數的比率意義。因為分數概念與整數概念未能實質貫通，造成整數知識向分數知識遷移受阻。

2.分數運算與整數運算缺乏整體溝通，導致分數乘除算法未能數學化

整數運算法則本是分數運算法則的知識基礎和重要支撐，但我國現行各種版本小學數學教材除分數加減運算外，在分數乘除運算法則的探索中，未能將其與整數乘除整體溝通。

現行各種版本的小學數學教材都將分數乘除運算內容安排在第三學段，除“分數乘整數”“分數除以整數”等特殊情形外，對“分數乘分數”“數（整數、分數）除以分數”等一般情形的算法探索主要依賴直觀和情境，而非基于分數概念和邏輯規則，將其轉化為整數運算。如對于“分數乘分數”，現行教材大多通過對長方形模型進行兩次均分，借助直觀操作得出算法；對于“數（整數、分數）除以分數”，現行教材大多通過均分操作或速度模型，借助具體情境得出算法。

對直觀操作和具體情境的過度依賴，不僅在思維層次上明顯滯后于第三學段學生的認知發展水平，而且得到的算法未能達到數學結論應該具有的一般性要求，即數學化，其算理也未能實現與整數運算本質上的一致性[3]。

3.分數認識與分數運算缺乏系統融通，導致分數內容的教學低質高耗

“數的認識與數的運算具有密切的聯系”“數的認識是數的運算的基礎，通過數的運算有助于學生更好地認識數。”[4]但《義務教育數學課程標準（2011年版）》將分數的認識與分數的運算分別歸入“數的認識”“數的運算”兩個學習主題，導致在內容安排與教學實施上，分數的認識與運算缺乏系統融通和必要呼應，造成分數內容教學低質高耗。

一方面，在分數學習的第一階段（3～4年級），內容安排主要集中于分數的初步認識，除了借助面積或數線等分數直觀模型，安排了分母不超過10的同分母分數加減運算外，分數的其他運算概未提及。因缺少足夠數量和類型的分數運算體驗，不少學生對分數的理解停留在分數比率意義的初始階段。由于對分數的度量意義缺乏認知，他們常常無法解釋現實生活中常見的非標準形式分數。如某同學在滿分為100的數學考試中得到85分，不少學生并不認可85是一個分數。因為它取的是分數的度量意義，沒有分數的標準外形，即分子、分母及分數線，所以一些學生不予認可。另一方面，分數學習的第二階段（5～6年級），在分數乘除運算法則的探索中，由于未能將其建立在分數概念本質意義（即計數單位的個數）的基礎之上，致使整數乘除運算法則的支撐作用不能充分發揮，導致分數乘除算法的探索只能從原始的直觀實物（模型）均分情境起步，極大影響了教學效率。

二、課標研讀：小學分數課程內容的改革要點

1.確立素養導向的課程目標

《新課標》確立了以“三會”為核心素養導向的課程目標，“把學生的數學學習提升到對現實世界的觀察、思考與表達的新境界，使得數學課程目標直接指向學生未來社會生活和職場情境中的思維模式和行事方式”[5]。在“分數與運算”教學中，“三會”主要表現為數感、量感、符號意識、運算能力、推理意識五種數學關鍵能力（見表1）。

因此，創設面向現實世界的問題情境，讓學生“在探索真實情境所蘊含的關系中”[6]，逐步發展以上五個數學關鍵能力為重點的“三會”核心素養，是《新課標》對小學分數教學目標提出的新要求。

2.構建整體貫通的內容結構

結構化整合是新課標關于課程內容組織的改革重點[7]。新課標將數與代數中的“數的認識”“數的運算”合并為一個主題“數與運算”，并提出“感悟數的概念本質上的一致性”“感悟數的運算以及運算之間的關系”“體會數的運算本質上的一致性”[8]（簡稱“兩感悟、一體會”）等具體要求，就是對數與代數內容進行結構化整合的重要體現。具體到“分數與運算”，“兩感悟、一體會”就是要求感悟分數概念與整數、小數概念的一致性，以及分數四則運算之間的關系，體會分數運算與整數、小數運算本質上的一致性，構建“整”“分”“小”數概念縱向貫通、“加”“減”“乘”“除”四則運算橫向融通的“分數與運算”內容結構。

3.突出計數單位的基礎作用

計數單位是建立數的概念的基礎，數的概念又是進行數的運算的基礎，也即計數單位在“數與運算”中具有基礎性作用。《新課標》在“分數與運算”的第一階段增加了“感悟分數單位”、第二階段增加了“感悟計數單位”，而分數單位本質上就是分數的計數單位，因此，增加上述內容就是為了突出計數單位的基礎性作用。一方面，借助分數的計數單位，每一個分數都可視為分數計數單位的累加結果，也即分數單位的個數，分數概念也就因此獲得了與整數概念本質上的一致性；另一方面，運用分數的計數單位，可將分數的四則運算順利轉化為整數的四則運算，分數運算也就因此獲得了與整數運算本質上的一致性。

三、體系重塑：小學分數教材內容的基本構想

1.在內容架構上，前移簡單分數乘除，促進分數認識與分數運算的系統融通

現行分數教材中分數的認識與分數的運算分屬兩個學習主題，兩者之間缺乏必要呼應。由于分數認識與分數運算的內在聯系被削弱，導致分數知識的學習低質高耗。因此，小學分數教材內容架構的重塑重點是促進分數認識與分數運算的系統融通。

依據將“數的認識”與“數的運算”合并為“數與運算”的內容重組思路，以及對3～4年級學生認知發展階段的基本判斷，可將5～6年級 “分數乘整數”與“整數乘分數”（積為真分數）、“同分母分數相除”（除數分子能夠整除被除數分子）、“分數除以整數”等簡單的分數乘除內容前移至3～4年級。通過前移上述內容對分數教材內容架構進行重塑，既具有可行性又具有科學性。

2=4，也即“同分母分數相除，用兩個分數的分子直接相除”。在實際教學中，可借助實物（模型）的均分操作，將相對抽象的分數單位用具象易感的一等份實物（模型）“小塊（片）”代替。借助這樣的實體“小塊（片）”，抽象的分數乘除運算問題就變為賦予具體情境的整數乘除運算問題，完全能夠被3～4年級學生理解和接受。

之所以說前移上述運算具有科學性，是因為適當采用螺旋式方式呈現課程內容是小學數學課程的一個重要理念[9]，前移簡單的分數乘除內容，不僅可為后續分數運算教學進行必要鋪墊，分散5～6年級分數運算的學習難點，提高5～6年級分數內容的教學層次，還可使3～4年級學生借助簡單分數四則運算法則的探索過程，獲得對分數概念多重含義的全面體驗，促進分數認識與分數運算的整體融合。

2.在分數認識中，強化分數度量意義，實現分數概念與整數概念的本質貫通

現行分數教材因未能實現分數與整數概念的實質貫通，導致整數知識向分數遷移不暢。因此，小學分數教材分數認識的重塑重點是實現分數概念與整數概念的本質貫通。

關于分數概念教材的已有研究，主要分歧在于分數概念的引入方式以及應該強化分數的何種意義。

在分數概念的引入方式上，雖然有學者建議從“商”定義入手，以此為核心逐步給出分數的其他定義[10]。但中外現行各種教材幾乎都以“比率”（“份數”“部分/整體”）定義作為分數學習的起點。從數學的觀點看，“商”的定義源自整數除法推廣的需要，也是創造分數的內在動力，用它引入分數定義似乎更為科學。但從認識的角度看，學生在接受正式的分數教育前，已經具備了分割計數的生活經驗，借助分割計數的直觀操作引入分數，更容易完成個體對分數概念的初步構建。因此，沿用現行教材以部分/整體的“比率”定義引入分數更為可行。

在應該著重強調的分數意義方面，各國不同版本教材存在差異：中、美等國教材突出“比率”意義，日本、新加坡等國教材重視“度量”意義[11]。但學者們對這個問題的看法比較一致，即要強化分數的度量意義。如不宜過分強調“份數”（“比率”）定義，在數直線上對分數作幾何解釋（“度量”定義）非常重要[12]；認識分數之初強調“比率”意義會給學生學習帶來困難，要強化分數作為數（量）的涵義[13]，等等。

事實上，分數的度量意義，是溝通分數各種表征形式、促進分數理解的有力工具。從分數度量意義的視角去觀察，分數概念與整數概念在本質上具有一致性，它們都可視作計數單位的迭代（累加）結果。因此，強化分數的度量意義，可以實現分數與整數的概念貫通，打通整數知識向分數知識遷移的通道，把“整數偏向”[14]對兒童學習分數的抑制因素，轉化為整數知識對兒童分數學習的支撐因素，進而提高分數學習的質量和效率。

強化分數度量意義遇到的現實問題是，教學時間從何而來？現行教材分數比率意義的時間安排較為充裕，但壓縮其教學時間，可能會影響小學生對分數比率意義的理解。由于單位“1”概念的引入，導致小學生理解分數的比率意義變得困難。根據本文第一部分的分析，在分數比率意義中，被均分的整體實質上被當作了單位量，即用來計數的比較標準，將其稱為單位“1”本身沒有問題，但要讓小學生在更短時間內，理解整體所具有的“單位”屬性，客觀上并不容易。

一個可行的做法是，在分數比率意義教學中，刪除單位“1”的概念，為分數度量意義的強化騰出時間。事實上，單位“1”概念對分數的比率意義并非不可或缺。如現行北師大版、滬教版等教材在表達分數的比率意義時，就沒有出現單位“1”而是直接使用“整體”這個概念。如果沒有單位“1”，有些教師可能擔心，在后續解決與一個整體比率有關的分數應用題時，小學生不能理解為什么可將整體視為“1”。其實，借助與整體比率有關的具體問題情境，讓小學生明白這一點并不難。因為說到一個量相對于一個整體的比率時，實質上是將這個整體作為比較標準，看這個量占整體的幾分之幾。求整體相對于自身的比率，就是將自身作為比較標準，用整體與自身相比。不管問題情境中的整體被分成了多少等份，表示整體比率的分數中分子與分母都相等，都是將均分整體得到的各個等份全部取出的總份數，也即整體相對于自身的比率為“1”，因此可將整體視為“1”。

分數度量意義的強化，消除了分數概念與整數概念之間的隔膜，使得分數問題轉化成整數問題成為可能。但要順利實現上述轉化，最大的挑戰來自分數的計數單位。因為分數的計數單位與整數的計數單位內在性質不同，整數的任意兩個相鄰計數單位之間具有統一的十進關系，而分數的計數單位之間沒有這樣的進率關系。因此，根據分數的度量意義，雖然分數問題一般都可轉化為整數問題，但對于含有兩個以上不同計數單位的分數問題，如何處理計數單位，往往成為能否成功解決問題的關鍵。

3.在分數運算中，運用計數單位工具，推動分數運算向整數運算的整體轉化

現行分數教材因分數運算與整數運算缺乏整體溝通，導致分數乘除算法未能實現數學化。因此，小學分數運算教材的重塑重點是實現分數乘除算法的數學化。

關于分數運算教材的已有研究，重點指向分數除法。在實現分數除法算法數學化方面，主要有三種思路[15]：第一種（日本教材），先討論“分數除以整數（整數能夠整除分子）”這一特殊情形，再依次將“分數除以整數（整數不能整除分子）”轉化為“分數除以整數（整數能夠整除分子）”（分數的分子與分母同時乘以整數）、“數（整數、分數）除以分數”轉化為“分數除以整數”（被除數與除數同時乘以除數分數的分母）；第二種（美國教材），先討論“同分母分數相除”（借助分數的計數單位，轉化為整數包含除法，參見本文第三部分（一）），再依次將“整數除以分數”化為“同分母分數相除”（整數寫成與除數分數分母相同的分數）、“異分母分數相除”化為“同分母分數相除”（通分）；第三種（學者觀點），先通過形式化的邏輯推理得出：“在整數除法中，除以一個數等于乘以這個數的倒數”（簡要過程：由“被除數÷除數=？”得到“被除數=？×除數”；由“被除數×除數的倒數=？×除數×除數的倒數”得到“被除數×除數的倒數=？”，從而有“被除數÷除數=被除數×除數的倒數”），再將這個結論推廣到分數除法中去。

上述三種思路雖然都能實現分數除法算法的數學化，但第一、三種思路主要依據相關的數學關系、性質及基本事實，屬于基于邏輯規則的抽象化形式推演；第二種思路直接運用計數單位將分數化為“整數”，從而將分數除法轉化為整數除法，屬于對已有運算模式的關聯性意義轉換。兩者比較，雖然第一、三種思路能夠訓練和發展學生的抽象思維能力，但第二種思路更能實現對分數概念本質的深度認識，更能體會分數與整數除法本質的一致性，更能感悟分數除法算法與分數加減算法思考方法的相似性。因而是重塑分數除法內容的理想選擇。

作為《新課標》在“分數與運算”中著重強調的課程內容，計數單位是分析和研究分數運算的絕佳工具。運用這個工具，可以推動分數運算向整數運算的整體轉化，充分體現分數與整數四則運算本質的一致性。以分數乘法為例，說明運用計數單位推動分數運算向整數運算轉化的基本思路，并據此實現分數乘法算法的數學化，完成對分數乘法教材內容的重塑。下面按分數學習的兩個階段分別陳述：

第一階段（3～4年級），安排“分數乘整數”“整數乘分數”（積為真分數）等特殊情形。借助計數單位，將其轉化為整數相關運算，具體的轉化思路與同分母分數除法類似，參見本文第三部分（一）。

對小學分數教材體系的重塑，為分數教學落實《新課標》精神提供了重要支撐。在教學實施中還需要建立分數學習內容與五種數學關鍵能力的關聯，確立核心素養立意的學科育人思維。只有這樣，以五種數學關鍵能力為主要表現的“三會”導向課程目標才可能在“分數與運算”學習中有效實現。

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