數學建模類教學的設計與實施

一、教學內容

“長方體和正方體的認識”是人教版小學數學五年級下冊的內容，其利用生活中常見的元素，如紙巾盒、文具盒以及魔方等物品，引導學生通過觀察、比較、分析不同物體的形狀特點，進而構建長方體和正方體模型特點的認知，將抽象的數學概念轉變為直觀的圖像（生活中常見的事物），降低了學生的學習難度。

二、教學目標

1.通過比較，歸納出長方體與正方體的基本特征，掌握其棱、頂點的數量關系。

2.在組建長方體和正方體的過程中，培養空間想象力與觀察力。

3.培養數學模型意識和數學素養，感悟數學魅力。

三、教學重難點

教學重點：

1.理解長方體與正方體的基本特點。

2.掌握長方體與正方體的棱角數量、頂點數量以及彼此間的關系。

教學難點：

1.在對比中歸納和總結長方體與正方體的異同點。

2.培養數學建模意識與空間想象力。

四、教學過程

教師：同學們，大家看老師這里。我這里準備了各種形狀的小盒子和積木，其中有正方體、長方體、圓錐體和四棱錐。請同學們結合之前所學的知識，觀察這些物體的形狀，識別出哪些是長方體，哪些是正方體。

學生仔細觀察講臺上的各種物體。

學生：這些物體中紙巾盒、文具盒是長方體。

教師：你很快找到了長方體。哪位同學可以告訴我，剩下的物體中，哪些是正方體呢？

學生：魔方是正方體。

教師：很好。那么剩下的茶葉盒是什么形狀呢？哪位同學回答一下？并說明你是怎么判斷這個物體不是長方體也不是正方體的（此時舉起桌上圓柱體的茶葉盒）。

學生：茶葉盒的中間是曲面，且兩端是圓形，所以不是長方體或者正方體。

教師：你解釋得非常好。接下來，請同學們來看看這個是什么形狀。（教師舉起一個四棱錐的積木）這個積木為什么不是正方體或者長方體呢？

學生：積木的形狀與正方體和長方體都不一樣，且頂部是尖尖的。

教師：同學們觀察得都很仔細。通過剛剛的觀察，同學們是不是發現長方體與正方體之間有一定的共同點呢？

學生（齊聲）：是！

教師：那么，接下來，我們一同探究長方體與正方體的共同特征。現在，有哪位同學和大家分享一下你認識的長方體與正方體？

學生：我發現長方體與正方體的每個面都是平面，沒有彎曲。

學生：無論是長方體還是正方體，從上、下或者左、右去觀察均能發現其形狀大小一樣。

教師：根據你觀察到的現象，說明長方體與正方體具有怎樣的特征？

學生：長方體與正方體均是由6個面組成，并且每個面的形狀是長方形或者正方形。

教師：大家同意他的說法嗎？

學生（齊聲）：同意。

教師：既然大家都同意，那我們一同來驗證他的說法是否正確吧。

（分別舉起剛才的紙巾盒、文具盒、牙膏盒、魔方等，請學生從不同的角度進行觀察）

教師：同學們，你們數一數，正方體和長方體分別有幾個面？

學生（齊）：6個面。

教師：很好，那我們再看看其他的物體，你們看這個茶葉盒有幾個面？每個面都是什么形狀？

學生：圍成茶葉盒的共有3個面，其中有2個圓形面和1個曲面。

教師（拿起積木）：那積木共有幾個面呢？圍成積木的每個面的形狀分別是什么？

學生：圍成積木的共有5個面，每個面分別為1個正方形與4個三角形。

教師：根據剛才的觀察，同學們能否總結出長方體與正方體的共同點是什么？

學生：長方體和正方體均由6個面組成，長方體的6個面可能都是長方形，也可能有正方形。但是正方體的6個面均是正方形。

教師結合學生的回答板書。

教師：同學們回答得非常好，這就是長方體與正方體的共同特征。這個特征是識別長方體與正方體的重要因素和判斷依據。

教師：既然同學們已經知道長方體與正方體之間的特點，那么請同學們思考一下，為什么紙巾盒、文具盒等都是長方體，只有魔方是正方體呢？

學生：因為魔方的6個面均是正方形。但是在剛才的物體中，紙巾盒、文具盒中有四個面是長方形，兩個面為正方形。

教師：你回答得很好。我們接著觀察，長方體中有兩個面是正方形，那么通常情況下這兩個正方形分別在什么位置上？

學生觀察紙巾盒。

學生：兩個正方形是相對面。

教師：這兩位同學說得都非常好。那么，我們看一下自己手中的長方體或者正方體，仔細觀察是否也能得到同樣的結論。

（學生通過觀察手中的長方體以及正方體的物體進行驗證）

教師板書并回答：根據剛才的觀察，我們可以得出長方體可能所有面都是長方形或者其中有2個面是正方形。而正方體則是所有的面都是正方形。

教師：同學們，除了形狀外，長方體與正方體6個面在大小等方面有什么共同點呢？請同學們以小組合作的方式進行討論，還可以用自己手中的尺子測量、比較。

（學生以小組的方式進行互動、討論，并交流）

小組1代表：我們小組發現長方體每組相對的兩個面不僅形狀相同，大小也完全相等。

小組2代表：以正方體為例，我們小組發現，其六個面都是正方形，且每個面大小完全相同。

教師：剛才兩組同學回答得非常好。你們是如何得到這樣的結論的呢？

小組1代表：我們以手中的長方體橡皮為例。我們在紙上描繪其中一個面，然后將相對面放在上面進行比較，發現這兩個圖形完全重合。然后我們將其他面進行同樣的比較，最終得出橡皮相對面的圖形大小完全相同。

小組2代表：我們測量了正方體魔方的長和寬，最后得出相對面的圖形長、寬相同。

根據學生的回答板書。

教師：上課前，我讓每個小組準備了不同長度的小棒與橡皮泥球，現在請同學們拿出來，嘗試利用這些材料制作長方體與正方體。

學生分組合作，動手制作并展示。

小組1展示：我們選擇了8根3 cm的小棒和4根6 cm的小棒，并用8個橡皮泥球進行拼接，最終形成一個長方體。

教師：你們做得非常好，那么小棒與橡皮泥分別代表長方體中的哪些部分呢？

小組1代表：小棒是長方體的邊，橡皮泥是長方體的每個頂點。

教師：解釋得非常好。通常情況下，我們將長方體或者正方體中的邊稱為“棱”。現在請小組1的同學數一數，長方體共有多少個棱和頂點。

小組1代表：長方體有12條棱和8個頂點。

教師：很好。同學們來看，長方體一共有6個面，每個面相對的兩條棱長度相同，這也是長方體一個非常明顯的特點。現在還有其他小組的同學展示自己的作品嗎？

小組2代表：我們一共使用了12根6 cm的小棒和8個橡皮泥小球。

教師：一個正方體中有多少條棱或者多少個頂點呢？相對的棱的長度是否相等？

小組2代表：在正方體中，有12條棱和8個頂點，相對棱的長度相等。其實，我們小組在制作的時候就發現，正方體的所有棱長度都相等。

教師板書并總結引出后面探討的內容：通過各個小組的作品展示，我們知道了長方體與正方體的棱與頂點的數量。如果想判斷是正方體還是長方體，我們需要知道幾條棱的長度呢？

學生（指著剛完成的模型）：同一個橡皮泥球連接著三根小棒，我們至少知道3條棱的長度才能判斷，否則很容易出現誤差。

教師端起學生的模型：那我們嘗試拿走其他的小棒與橡皮泥球，看看是不是這樣。

教師（指著其中一個頂點連接的三條棱）：同學們，你們能否想象到原來的長方體是什么樣子的呢？

學生（齊聲）：能！

教師總結：知道了同一頂點的三條棱的長度，我們就可以確定這個長方體的大小。我們可以將這三條棱分別稱作長方體的長、寬和高。那么，對于正方體呢？我們需要知道多少條棱的長度？

學生：1條，因為正方體每條棱的長度都相同。

教師：通過對比我們可以理解長方體與正方體的關系。現在我們結合剛才所學習內容，在方格紙上繪制一個長方體或者正方體。

學生以小組的形式嘗試繪圖，后選擇其中典型的圖形，使用投影儀進行展示。

教師：現在老師展示的就是剛才同學們繪制的成果，你們覺得哪些圖形看上去更像是長方體或者正方體呢？

（學生討論并發表自己的看法）

教師隨后向學生展示兩組標準的長方體與正方體圖形，供學生借鑒與參考。

教師：同學們，你們能在圖形中找到長方體或者正方體的6個面嗎？

學生上臺完成。

教師：你們觀察得很仔細。除了面，同學們還能想到什么？請同學們仔細觀察，并以小組的方式進行討論。

（學生分組討論，后進行全班分享）

學生：在這兩組圖像中，有些棱被畫作實線，有些則被繪制成虛線。

教師：圖片中的實線與虛線分別表示什么呢？為什么會有虛線和實線之分呢？

學生：當我們在觀察物體的時候，我們通常只能看到一個面或者是側面，有些面是看不到的，所以將能看到的面畫成實線。

教師：很好。將看不到的一面用虛線來表示，可以很好地呈現我們看到的長方體或正方體的視覺效果。現在，請同學們根據圖示，思考本節課所學的內容，歸納總結長方體與正方體的異同點。

……

五、教學反思

“長方體和正方體的認識”教學中，筆者通過引入生活中最常見的物體，如紙巾盒、文具盒以及魔方等，引導學生在比較、分析中總結長方體與正方體的基本特征以及共同點和差異，以此激發學生的學習興趣。同時組織各類小組活動，通過動手制作等加深學生對長方體與正方體特征的理解，培養學生的空間想象力。在整體教學中，筆者通過實物展示、問題探究以及動手操作等多種方式，讓學生在觀察、對比、思考與實操中形成對正方體和長方體的認識，但未考慮到學生自身的空間想象力較為薄弱，導致部分學生出現了混淆或者是概念不清的問題。因此，以后的教學中，筆者需要不斷地鼓勵學生多觀察、多思考，以更好地理解立體圖形，加深學生對數學模型特征的認識。

（作者單位：大像山鎮柳湖小學）

編輯：常超波