變步長微分控制的超聲波換能器共振頻率追蹤

摘 要：超聲波潔牙器在醫療領域，特別是口腔醫學中成效卓越。然而，頻率的突變和漂移對超聲振動系統的穩定性和可靠性構成了挑戰。本文針對醫用口腔超聲波潔牙器的工作特性，設計了一種新的諧振頻率檢測機制，并引入了一種基于最大電流法的變步長微分控制方法。結合相位鎖定技術，筆者提出了一種復合控制方法，旨在提高超聲波潔牙器的清潔效率和可靠性。模擬試驗的結果驗證了該方法的有效性和穩定性，表明新的頻率追蹤方法能在不同工作條件下精確追蹤超聲波換能器的頻率，并具有較高的抗干擾能力。本研究為超聲波設備的頻率控制提供了新的思路，有望為超聲波技術在口腔醫療中的應用提供更可靠和高效的支持。

關鍵詞：超聲波換能器；頻率追蹤；最大電流法；變步長算法；微分控制

中圖分類號：TB 52 " " " 文獻標志碼：A

超聲波潔牙器在口腔醫學中的應用已取得了顯著成效，由于頻率突變和漂移問題，因此其穩定性和可靠性受到了限制，不僅影響了患者的治療體驗，還可能對治療效果產生不良影響。

目前，傳統的超聲波潔牙器普遍缺少頻率追蹤功能。外部干擾（不同的牙質、結石、菌斑和脫礦等）或換能器內部的老化，都可能導致其無法工作在諧振頻率，從而降低輸出效率、振幅變小，進而降低清潔質量，增加牙齒損傷的風險。因此，在設計具有頻率追蹤功能的新型設備階段，需要考慮其多變的工作狀態和特性，并設計合適的追頻算法以保證追頻效果。

截至2023年底，頻率追蹤技術方面的研究已提出了多種方法，包括電流最大法、電壓最小法、阻抗最小法以及復合追頻法等[1-5]。然而，現有的單一追蹤方法普遍存在追蹤精度不高、抗干擾能力較差等問題。

為了解決超聲波頻率追蹤技術中的問題，本文提出了一種基于變步長微分控制的最大電流法，并將其與相位檢測法相結合，形成了一種新的復合控制方法。針對醫用口腔超聲波潔牙器的工作特點，筆者設計了新設備，旨在提高設備的可靠性和有效性，從而為超聲波技術在口腔醫療方面的應用提供參考。

1 方法

1.1 壓電換能器阻抗特性分析

在壓電換能器的等效電路模型（如圖1所示）中，串聯支路包括與頻率相關的等效電容C、等效電感L和等效電阻R。在特定的諧振頻率下，電容性阻抗和感性阻抗的數值相等但是符號相反，從而相互抵消。此時，電路等效為電阻，輸入阻抗最小，電壓與電流相位相同，輸入電流達到最大值。這個特定頻率就是壓電陶瓷的諧振頻率。當壓電陶瓷工作時，通過施加交變電場使其周期性振動，從而實現能量的互換。選擇合適的工作頻率，使其接近諧振頻率，可以最大程度地提高壓電陶瓷的工作效率。

1.2 最大電流法頻率追蹤

最大電流法頻率追蹤是一種用于超聲波換能器的頻率控制方法。通過調節輸入電流，使換能器在諧振頻率附近工作，從而實現精確的頻率追蹤。

1.2.1 原理

在超聲波換能器中，當施加交流電壓時會產生機械振動。換能器的機械振動與輸入電流之間存在非線性關系。根據最大電流原理，當電源輸出頻率與換能器共振頻率匹配時，機械振動的幅值將達到最大值。因此，通過測量換能器輸出電流的幅值，可以實時跟蹤其頻率，并通過調節輸入電流實現頻率的追蹤。超聲振子的頻率-電流曲線如圖2所示。

1.2.2 優勢與局限性

最大電流法頻率追蹤算法具有以下2個優勢。1）算法步驟簡單，實用性強。2）通過實時測量電流幅值，可以實現對頻率變化的快速響應。

該算法存在以下2個方面的局限性。1）受換能器本身非線性特性的影響，追蹤精度可能受限。2）對換能器負載變化敏感，可能影響電流幅值的測量和頻率追蹤效果。

1.2.3 算法步驟

最大電流法頻率追蹤算法包括6個步驟。1）初始化。設置初始電流值，開始試驗。2）測量電流幅值。通過傳感器或電流測量裝置，實時監測換能器輸出電流的幅值。3）比較幅值。將實時測得的電流幅值與預先設定的最大電流值進行比較。4）調節電流。根據比較結果，逐步調節電路頻率，使其逐步逼近最大電流值。5）追蹤頻率。當電流幅值達到最大值時，換能器工作在諧振頻率附近，即可認為頻率追蹤成功。6）反饋控制。根據實時測得的電流幅值與最大電流值之間的差異，持續調節輸入電流以實現頻率的穩定追蹤。

1.3 變步長算法

1.3.1 原理

變步長算法是一種自適應調節步長的優化算法。它可以根據誤差函數的變化動態調整每步的搜索步長，從而實現快速有效的尋優。傳統的最大電流法當實現頻率追蹤時通常采用固定步長。然而，由于超聲波換能器的工作狀態可能因不同工況而發生變化，因此固定步長可能無法滿足精確的頻率追蹤需求。變步長算法通過實時監測換能器的頻率追蹤狀態來動態調整步長大小，以適應不同工況下的頻率追蹤需求。與固定步長相比，該方法更符合超聲波換能器的特性，并能對不同負載工況進行自適應調整。參考超聲波換能器的阻抗特性，本文設計了一種諧振頻率檢測機制和相應的誤差函數，以指導步長調整，實現高效穩定的變步長頻率追蹤。

1.3.2 變步長最大電流追頻算法流程

變步長算法在頻率追蹤中的流程如圖3所示。初始化頻率掃描的上下限Freqmax和Freqmin，并將當前頻率設定為最小頻率。然后，進入迭代調諧過程，根據當前頻點的電流值I和電流對頻率的微分值dI來動態調整下一步的步長Δy。

如果Ilt;預設的閾值1，就說明當前頻率遠低于諧振頻率，須采用大步長δ來加速逼近目標頻率。

如果I較大且dIgt;0，那么以電流對頻率的微分值為自變量的變步長函數來確定ε，才能更精細地進行調諧。計算過程如公式（1）所示。

（1）

式中：α、β為步長極值參數；σ、μ為曲線形狀橫向調節參數。在實際應用中，可以根據設備處理器精度來選擇ε的多項式近似擬合函數，以降低運算復雜度。

如果dIlt;0，則計算電流最大值Imax與當前I的差值是否﹥閾值2。如果是，就說明已找到諧振頻率，結束掃頻程序。

返回最后確定的諧振頻率。通過上述自適應變步長過程，可以快速精確地鎖定諧振頻率。

1.4 復合控制策略

為提高追蹤精度，確保超聲波潔牙器在工作中遇到快速變化的負載時能夠及時調整諧振頻率，本文將最大電流法與相位檢測法相結合。在掃頻程序結束后，利用相位檢測法來實現后續的頻率追蹤。相位檢測法通過跟蹤鎖相環內的電流與電壓相位來鎖定振子頻率，具有精度高、響應快、穩定性高和易于實現等優點[6-7]。然而，由于超聲換能器存在多個諧振頻率點，單純的相位檢測法無法直接鎖定未知振子的諧振頻率[8]，因此其效果并不理想。為了解決這個問題，本文首先采用最大電流法來確定諧振頻率，隨后在確定的諧振頻率附近使用相位檢測法來跟蹤相位差。

鎖相技術能有效抑制噪聲干擾，而最大電流法則輔助判斷諧振頻率。此外，通過引入變步長算法，實現了自適應頻率調諧。這三者相互協同工作，形成了穩定的復合控制策略。

2 試驗

為驗證所提出方法的有效性，本文搭建了模擬測試平臺，該平臺包括信號發生器、鑒相器和峰值電流檢測電路等模塊。筆者向壓電換能器輸入不同頻率的信號進行測試，并記錄響應電流值，從而得到頻率-電流曲線。如圖3所示。

從圖4（峰值電流檢測電路）可以看出，輸入信號經過二極管進行半波整流后為充電電路充電，二極管在正半周期導通，負半周期截止，使電容可以存儲正半周期的峰值電壓。3.3 μF電容儲存的峰值電壓被送入模數轉換器進行采集，以實時檢測信號中的最大電流值。同時，在設計中并聯了一個電阻R（阻值為10 kΩ），使電容可以持續放電，從而實現動態捕捉最大電流的功能。通過該電路，可以在頻率掃描過程中測量每個頻點的電流峰值，為鎖定諧振頻率提供依據。

3 結果

圖5（a）顯示了當頻率未達到共振頻率時，超聲振子的電流和電壓信號以及二者的相位差；采用本文提出的算法進行頻率追蹤后，對應的結果如圖5（b）所示。可以明顯看出，頻率追蹤后，電壓和電流之間的相位差明顯變小，并趨近于零。此時，超聲振子呈純阻性。這說明本文所設計的頻率追蹤算法能夠有效地校正相位差，使輸入頻率逼近輸出信號的諧振頻率，從而驗證了該算法的有效性。

對頻率逐步掃描，并記錄不同頻率下的電流值，獲得了頻率-電流曲線（如圖6所示）。從圖6中可以看出，本次試驗所采用的超聲振子在輸入頻率為42.07 kHz的信號下，振子電流達到最大值。這說明在這個頻率下該振子的阻抗最低，因此，此時鎖定的頻率即為超聲換能器的諧振頻率。

圖7為測試所用壓電換能器的阻抗和相位角隨頻率變化的曲線。測得該換能器的諧振頻率為?p=42 064 Hz，與用最大電流法測得的42.07 kHz一致，進一步驗證了該算法的有效性。可以看出，在諧振頻率附近，壓電換能器的阻抗最小，相位角接近0，這與理論分析和等效電路模型相吻合。后續工作將集中在提高該控制算法的魯棒性上，以適應現實中更復雜的工作環境。

4 結語

本文針對傳統超聲波潔牙器無法追蹤隨負載工況變化的共振頻率的問題，提出了一種基于最大電流法的變步長微分控制算法，通過相位檢測輔助實現頻率追蹤功能。仿真試驗證明，該算法能夠在較大頻率范圍內鎖定所用超聲換能器的共振頻率，并在不同負載條件下穩定工作在諧振頻率附近，從而有效地提高了超聲波潔牙器的清潔效率和控制精度。未來，筆者將進一步在實際設備上驗證該算法的有效性，并探索更多先進的控制算法，為新一代超聲波潔牙器的研發和應用提供參考。

參考文獻

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[8]成志婕.脈沖式超聲波發生器頻率自動跟蹤技術的研究[D].太原：中北大學，2021.

通信作者：馬樹軍（1982—），男，博士生導師，研究方向為微/納機電系統（M/NEMS）的驅動和感知。

電子郵箱：mashujun@me.neu.edu.cn。