新課標(biāo)視域下幾何直觀素養(yǎng)提升新路徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出：幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。以圖助學(xué)，可以使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而達到輕松學(xué)數(shù)學(xué)的目的，提高課堂教學(xué)效率。縱覽小學(xué)一至六年級共12冊人教版數(shù)學(xué)義務(wù)教育教科書，新授課的例題，都附有直觀形象的實物圖、線段圖、幾何圖、解題思路圖等插圖，教師在教學(xué)中若能依據(jù)新課標(biāo)，充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、探究性，引導(dǎo)學(xué)生另辟路徑認(rèn)真解讀并使用好這些插圖，必定能釋放學(xué)生的心智和思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性及創(chuàng)造性，變新知的畏怯為探索的樂趣。

借助圖解可以將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，有助于學(xué)生把抽象變成直觀，把復(fù)雜變?yōu)楹唵危褦?shù)量關(guān)系清晰地呈現(xiàn)出來。也有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問題，并找到解決問題的策略。還可以幫助學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，使解題思路清晰化。

一、實物貼圖，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型

小學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)知識的理解，經(jīng)常會依賴于“看”—視角能力，他們通常會把一些信息量大的數(shù)學(xué)問題想象成一組與自己生活事物為線索或背景的圖像，繼而應(yīng)用視角模型來解決遇到的數(shù)學(xué)問題。只有用更逼近學(xué)生、更圖文并茂的表達方式，學(xué)生才會更輕松理解數(shù)學(xué)概念。因此，教學(xué)中教師可以幫助學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)問題和直觀的圖形聯(lián)結(jié)起來思考，把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成圖形問題，以圖助學(xué)，把復(fù)雜問題簡單化、具體化，引導(dǎo)學(xué)生在實物貼圖中找到解決問題的規(guī)律。

如，在教學(xué)“植樹問題”一課時，放手讓學(xué)生利用學(xué)具動手合作探究，填寫報告單。學(xué)生們將磁性的小樹模型貼在模型小路上，在看、量、數(shù)、貼的過程中，經(jīng)歷“每5米栽一棵”“每5米一個間隔”“一個間隔對應(yīng)一棵樹”三個不同階層的直觀感知，體會了一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，整個合作交流的過程都是圖形與思維、算式的結(jié)合，學(xué)生在參與貼圖的過程中發(fā)現(xiàn)了植樹問題的變與不變，找到了棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系，明白了要求“兩端都栽”的植樹棵數(shù)首先要弄清路長里面有幾個間隔長，也就是間隔數(shù)，若先數(shù)一個間隔對應(yīng)一棵樹，間隔數(shù)再加1就是所要求的棵數(shù)，“+1”加的是起點處的那一棵樹，若先數(shù)一棵樹對應(yīng)一個間隔，間隔數(shù)再加1，這時的“+1”加的就是終點處的那棵樹，凸顯了“兩端都栽”這一植樹問題的本質(zhì)，建構(gòu)了植樹模型。

從“栽”模型小樹到“栽”充滿智慧的植樹模型，學(xué)生用不完全歸納法總結(jié)規(guī)律，經(jīng)歷知識的形成過程，學(xué)得真實又扎實，增強了學(xué)習(xí)的熱情和自信心。

二、多維動圖，把握數(shù)學(xué)知識的核心本質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于幾何圖形的學(xué)習(xí)，理解算理是至關(guān)重要的，但由于小學(xué)生的年齡特點，空間想象力還比較薄弱，只靠單純的剪圖、貼圖、拼圖，有些圖形的計算公式的推導(dǎo)往往只是停留在淺層，而PPT、微課、幻燈片等多媒體輔助性教學(xué)資源在提供直觀、生動、形象方面有不一樣的優(yōu)勢，能展現(xiàn)難于被觀察到的事物及內(nèi)容，比靜止的圖形、模型更有動感、形象、豐富，若能著眼于教材，有效利用多媒體動圖，深入解剖，學(xué)生方能學(xué)得深刻。

如，在教學(xué)“圓的面積”一課時，有了平行四邊形的面積計算公式的轉(zhuǎn)化策略的鋪墊，學(xué)生們也會想著把圓這個曲線圖形轉(zhuǎn)化成直邊圖形。彎曲變平直，學(xué)生們往往依據(jù)直覺，把圓上彎曲的部分剪去轉(zhuǎn)化成直邊圖形，或者把圓片進行分割重疊轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的平面圖形。在動手操作4等分、8等分、16等分的過程中，學(xué)生們通過交流討論明白了不管怎樣剪拼，形狀可以變化，面積大小是不能改變的，并逐漸發(fā)現(xiàn)圖形剪拼變化的趨勢，圓等分的次數(shù)越多曲線就越接近直邊。由于動手等分的局限，所拼圖形的邊仍有弧度，在這個關(guān)節(jié)，教師出示多媒體演示動圖，動圖將圓片繼續(xù)往下切分，平均分的次數(shù)越來越多，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形越來越像一條線段，無限分割后，每個分割而出的圖形變成一根針、一根線，此時拼出的圖形就是一個長方形。經(jīng)歷充分感知的學(xué)生由長方形面積計算公式推導(dǎo)出圓的推導(dǎo)公式就變得水到渠成了。

顯性的數(shù)學(xué)知識學(xué)生們慢慢地會淡忘，但是通過動圖理解掌握重點，拓展思維深度，這個深度帶來隱形的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、數(shù)學(xué)方法思想，更容易提升學(xué)生們的核心素養(yǎng)，讓他們終身受用。

三、實踐剪圖，探索解決問題的創(chuàng)新思路

圖形是一種直觀教具，能給人帶來感性認(rèn)知和整體感知。圖形也是一種特殊語言，比通常的語言更易于讓人接受。數(shù)學(xué)課上有些學(xué)生會覺得數(shù)學(xué)單調(diào)沒趣味，究其原因，主要是害怕數(shù)學(xué)知識的高度抽象性，因此，如何有效幫助學(xué)生主動地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)教學(xué)圖形化的作用是不可估量的。教學(xué)中教師應(yīng)多鼓勵學(xué)生在抽象的數(shù)學(xué)知識和直觀的插圖之間開創(chuàng)一條新路，學(xué)生們在經(jīng)歷動作思維到形象思維再到抽象思維的發(fā)展過程后，必定能領(lǐng)悟把握一些抽象難懂的數(shù)學(xué)概念。

如，在教學(xué)“24時計時法”一課時，教師可以鼓勵學(xué)生把一天時針轉(zhuǎn)的兩圈刻度分開剪下，拉直變成兩把短尺。學(xué)生在短尺上分別標(biāo)出1～12，起點處的刻度線上卻出現(xiàn)了兩種情況：一部分沒有標(biāo)上0；另一部分標(biāo)上0。在這個認(rèn)知沖突處，點撥學(xué)生將短尺還原成鐘表上的圓圈，從而發(fā)現(xiàn)鐘表上不是沒有刻度0，而是刻度0和12重疊在一起了。繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生把兩把短尺接成一把長尺用來表示一天的時間，在剪接圖中，學(xué)生自然悟到長尺中間的12也是0，即鐘表上第一圈結(jié)束的時間也是第二圈開始的時間，再鼓勵學(xué)生關(guān)鍵抓住原來第二圈的刻度1和長尺的刻度13展開討論交流得出，兩把短尺是“12時尺”，一把長尺是“24時尺”，形同我們生活中使用的普通計時法和24時計時法。兩種計時法上午的時刻不變，普通計時法下午的時刻加上12就是24時計時法的時刻。

像這樣引導(dǎo)學(xué)生動手剪圖直觀表征時間，一方面考慮到借用學(xué)生已有的熟練的測量長度的經(jīng)驗，另一方面也是充分考慮到兒童視角需要直觀性。學(xué)生們有了動手剪標(biāo)時間尺這一直觀形象的支撐，學(xué)習(xí)新知的整個過程成為學(xué)生自我溝通、自我建構(gòu)的過程，獲得新知的難點自然得以突破。

四、簡易繪圖，建立數(shù)與形的直觀聯(lián)系

數(shù)感是可以“算出來”，算的過程常常是學(xué)生鞏固、發(fā)展數(shù)感的必經(jīng)過程，這是許多一線老師在實踐中達成的共識。教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)問題中非本質(zhì)的屬性常常會成為學(xué)生認(rèn)知的障礙，這時，教師可以創(chuàng)設(shè)不同形式、不同思維角度的現(xiàn)實載體，多鼓勵學(xué)生進行觀察、比較、分析，引導(dǎo)小學(xué)生充分利用直觀的“形”，保留它們的形狀、大小、位置及數(shù)量關(guān)系等方面的共同屬性，及時抽象、概括，梳理清楚數(shù)學(xué)問題中數(shù)量關(guān)系，讓抽象的概念內(nèi)涵凸顯出來，使之直觀化。

如，在教學(xué)“平均數(shù)”一課時，教師設(shè)計投籃比賽活動情境，小明連續(xù)3次投中5個球，小亮分別投了4個、6個、5個，引導(dǎo)學(xué)生借助××同學(xué)一分鐘投籃成績統(tǒng)計圖（如圖1），表示情境中提供的數(shù)學(xué)信息，再通過“一次比5多1，一次比5少1”啟發(fā)式講解，逐步引導(dǎo)學(xué)生得出“這樣倒不如直接將6這邊多的1給4，就都是5個”，這時，師揭示像這樣通過移多補少后得到的同樣多的這個數(shù)，數(shù)學(xué)上就叫作求原來這幾個數(shù)的平均數(shù)。接著，師出示三幅圖（如圖2），讓學(xué)生認(rèn)真觀察，獨立思考，仔細(xì)計算，互相交流，說出自己的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生在直觀圖的輔助下，思維活躍起來了，說出了多種的想法：（1）前三次不變，最后一次變化，平均數(shù)也跟著變化。（2）平均數(shù)會隨著其中的一次的變化而變化。（3）總數(shù)多4個，平均數(shù)并沒有多4個，而是只多1個。（4）如果每次多4個，平均數(shù)就多4個。（5）平均數(shù)總比最大的數(shù)小，比最小的數(shù)大……其中（1）、（2）點正是平均數(shù)的“敏感易變性”，（3）、（4）點正是平均數(shù)的“齊次性”，第（5）點正是平均數(shù)的“均差之和為0”。

清晰計算的數(shù)據(jù)加上生動的直觀圖，輔助學(xué)生從各個不同層次，進一步達成了對平均數(shù)意義的建構(gòu)，深化了學(xué)生對平均數(shù)這一概念內(nèi)涵的理解與把握。

五、靈活變圖，明晰思維的分析路徑

當(dāng)復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題中遇到直觀形象的線段圖，往往不需要過多的話語，學(xué)生自己就會一覽了然、心領(lǐng)意會，這就是圖形無窮的魅力。當(dāng)學(xué)生的思維有了圖形的支撐，思考起來也就收放自如。圖形化讓數(shù)學(xué)知識變得靈動起來，讓學(xué)生們的眼里蹦出智慧的火花。借助圖形來思考數(shù)學(xué)問題，不僅可以從圖中清晰地看見題中的數(shù)量關(guān)系，還能快速找到解題路徑。若學(xué)生能把一個特定的問題轉(zhuǎn)變成一個個不同的圖形，那就說明學(xué)生對問題已經(jīng)有了自己的思路，甚至是一種新想法。

如，在教學(xué)“比的應(yīng)用例2”一課時，在新知學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)有了分?jǐn)?shù)乘除法、比的意義、比的基本性質(zhì)等知識儲備，教學(xué)時，不妨鼓勵學(xué)生參照原圖將題意用不同的圖表示出來。

通過變圖和說理由，學(xué)生們的解題思維活躍起來了，想出多種解法，解法一：依托圖3濃縮液有一份畫1格，水有四份畫4格，500ml是稀釋液共5份。先求每份數(shù)量：500÷（4+1）=100（ml），水的體積100×4=400（ml），濃縮液的體積100×1=100（ml）。解法二：依托圖4或圖5按分?jǐn)?shù)乘法，也就是把稀釋液500ml看作單位“1”，其中濃縮液占1/5，水占4/5。水的體積500×4/5=400（ml），濃縮液的體積500×1/5=100（ml）。解法三：依托圖6用分?jǐn)?shù)除法，1∶4是濃縮液和水的關(guān)系，那么濃縮液就是水的1/4，把水的體積看作單位“1”，500÷（1+1/4）=400（ml）求出單位“1”，400×1/4=100（ml）求出濃縮液。解法四：依托圖4明白水是濃縮液的4倍，是倍數(shù)關(guān)系，可列出方程解，解：設(shè)濃縮液的體積是xml，水的體積是4ml。x+4x=500。也可解：設(shè)水的體積是xml，濃縮液的體積是1/4ml。x+1/4x=500。

真是一石激起千層浪，借助變圖，在圖中尋找新舊知識的聯(lián)系與區(qū)別，尋找數(shù)量關(guān)系，從多個角度分析思考問題，誘發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，激活了學(xué)生的創(chuàng)新思維。

總之，新課標(biāo)視域下，教學(xué)中教師應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，學(xué)會把數(shù)學(xué)問題圖形化，啟發(fā)學(xué)生從中尋找解題規(guī)律，掌握解題方法，開拓解題思路，提高多種思維能力，以期全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【注：本文系莆田市教育科學(xué)2023年度立項課題“新課標(biāo)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的實踐研究”（課題編號：PTMS2023025）階段性研究成果】