類比推理，從“幾個幾”開始

“乘法的初步認識”是人教版二年級數學上冊第四單元第47頁例1及相關內容，是小學階段“數運算”知識的一次跨越。《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，要引導學生“感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識”。周佳泉數學名師工作室團隊多名教師多次執教“乘法的初步認識”，以乘法意義的理解為載體，在促進學生類比推理能力提升方面取得了良好的效果。現撰文記之，與廣大同仁共勉。

一、成人眼光中的“乘法”

在實際教學中，相當一部分數學老師認為“乘法”很容易：無非就是把幾個相同加數的加法算式改寫成乘法算式。這么簡單的內容，甚至都不用老師教，學生自己看看數學例題就能學會。因此，很多老師在現實教學中以“學生是否會把加法算式改寫成乘法算式”為教學的終極目標，一旦學生改寫“成功”，就覺得“乘法的初步認識”這節課的教學已大功告成。接下來，就是海量的練習加以鞏固。到了后續高年級學習小數乘法、分數乘法、比例的相關知識的時候，學生對于乘法意義的擴展（求一個數的零點幾倍是多少？求一個數的幾分之幾是多少？比例中的“恒量”是誰？）的理解卻舉步維艱。究其原因，就是二年級“乘法的初步認識”這節課上飄了。

老師之所以會有“乘法”很容易的想法，主要原因有三個：一是部分教師覺得乘法同加法一樣，在學生的認知經驗中應該是“天生”就會的；二是部分學生在學習乘法的過程中（尤其現行教材不再區分“被乘數”與“乘數”的情況下），對加法與乘法的改寫（僅停留在文字符號層面）確實上手很快，就給老師造成了“乘法”很容易的錯覺；三是部分家長對孩子“乘法口訣”的前置輔導，讓學生很容易落入以“口訣”代“意義”的歧途中——用已知的計算結果來反推算式。這些錯覺，都很容易導致把乘法意義理解簡單化、片面化、淺表化。

因此，“乘法的初步認識”這節“種子課”的價值非同一般，老師眼中的“容易”也未必真的容易。

二、學生學習中的“乘法”

通過細致的課堂教學觀察和課后學業測評反饋，我們不難發現學生對“乘法意義”的理解確實存在諸多困難。主要體現在以下三個方面：

1. “A個B”與“B個A”相混淆

實際教學中，“3個盤子里每盤裝2個蘋果”與“2個盤子里每盤裝3個蘋果”寫成乘法算式都一樣（因為現行教材不再區分兩個因數誰前誰后），都可以用“2×3”或“3×2”來表示。（如下圖）

但是，還原成加法算式卻不一樣：第一幅圖應該表示為“3+3”（也就是2個3相加），第二幅圖應該表示為“2+2+2”（也就是3個2相加）。即兩個情境中，把誰看作“1個單位”和有幾個“單位”是完全不同的。

“幾個幾”區分不清，將會對后續知識的學習產生極其嚴重的負面影響。

2. “算式”與“情境”相脫離

由上述第一個“困難”，就自然生發出學生理解乘法意義的第二個“困難”——只識其“式”，不知其“意”。也就是在具體情境中，學生能理解乘法的含義并用乘法算式正確表示。如：“5個小朋友，每個小朋友發3顆糖，一共要發多少顆糖？”學生能理解是“5個3相加”，用乘法算式表示為“3×5”或“5×3”。但是單獨給出算式“3×5”，讓學生去說出它的含義并描述一個相應的“情境”時，相當一部分學生是困難的：自己界定的含義是“3個5相加”，描述的情境卻是“5個3相加”。

這就反映出教師在教學中，對于“情境—意義—算式”的鏈接是不牢固的，學生對乘法意義的認知是片面的。學生雖然可以熟練地進行乘法運算，但在實際應用情境中，卻難以將數學表達與具體場景結合起來，未能深刻理解乘法的實質。這就是前面談到的以“口訣”代“意義”——根據計算結果反推算式的具體表現。

3. “會寫不會說”是普遍現象

以上兩個問題如果不徹底解決，學生在后續學習中只能依靠大量機械練習“感知”某個問題應該用乘法解決，并且也能夠根據生活經驗判斷解題的結果是否正確，但對于乘法意義的理解卻始終是模糊不清的。這種模糊“感知”的負面影響會在后續學習中被疊加放大。如：

兩幅圖中的問題都可以用“5×３/４”來解決，結果也都是“3.75千克”。但相當一部分學生在“做對”的前提下，也沒有能力把兩道題的真實含義說清楚：第一幅圖表示的意義是“5個３/４的和是多少？”，第二幅圖表示的意義是“5的３/４是多少？”。到了初中和高中，在數學、物理等學科的相關函數學習中，學生對于“恒量”“自變量”“因變量”的理解就更加困難了。

教師在乘法教學中，不僅要注重運算技能的培養，更要幫助學生在具體情境中建構乘法概念，提升他們的數學表達與理解能力。通過更多的實際情境練習與語言表達訓練，學生才能真正掌握乘法的意義，做到“會算、會說、會用”。

“會寫不會說”的“啞巴”數學，著實害人不淺。

三、學習乘法的“橋梁”

針對學生理解乘法意義的實際困難，為學生架設思維的橋梁就成了教好“乘法的初步認識”這節課的必經之路。

1. “一個幾”是認識乘法的基石

通過以上分析不難看出，理解乘法意義的核心是分清楚“幾個幾”，而“幾個幾”的概念建立源自“一個幾”。這對初識乘法的學生來說是困難的——“把3個蘋果裝在一個盤子里”（其實就是看作1個單位）叫作“1個3”，這樣的表述對學生來說是陌生的，理解也是有困惑的——一年級的時候我們明明說“3個一組成3”，現在怎么變成“1個3”了呢？這就需要老師巧設方法讓學生理解，“3個”是一個整體（1個單位），叫作“1個3”。再來這樣的一個單位，就是“2個3”……以此類推。

在變換情境的再認識中，學生逐步認識到：要數清“幾個幾”，先確定“一個幾”（圈出第1份）是個好辦法。在學生能準確找到“一個幾”，并能用標準的數學語言表達出“幾個幾”后，出示不同類型的幾個幾，豐富數學表象。最后，利用想一想、說一說、擺一擺的活動，再次鞏固幾個幾，打牢乘法的基石。

2. “每份數”不變是累加的根本

在正確區分“幾個幾”的基礎上，讓學生逐步理解“每份數”不變是累加的根本。如果第一份數是“1個8”，“照這樣計算”數下去的結果就是“n個8”；如果第一份數是“1個6”，“照這樣計算”數下去的結果就是“n個6”……

在舉一反三的類比中，使學生逐步深入理解乘法的基本含義——同數累加。變化的是加數的個數與最終的積，不變的是“每份數”。在部分題目中雖然沒有直接呈現相同加數累加，但經過類比推理，尋求方法的突破，也可以轉化為乘法計算。例如：3+4+5=？看起來題目中的每份數是不同的，但是經過移多補少，可以轉化為4+4+4，也能滿足乘法的計算要求。

3. 兩個因數的地位其實不一樣

雖然現行教材中不再區分兩個因數的位置和具體名稱（統稱為因數），其實兩個因數的地位是不一樣的。

要數清楚“幾個幾”，“一個幾”至關重要，它規定了我們“數數”的標準（或單位）。也就是說，從因果關系來判斷，是先有了“一個幾”（每份數），我們才有辦法按照這樣的標準數下去，數完了才知道有幾個（份數）這樣的數。因此，把每份數寫在乘號的前面（被乘數的位置），把份數寫在乘號的后面（乘數的位置）是否會更合理一些呢？

當然，從讀寫一致的角度來看，“3個5”寫成“3×5”也更方便學生的記憶。對于這個問題，廣大同仁見仁見智，不可一概而論。

“乘法的初步認識”既是小學數運算意義的一大臺階，更是培養學生類比推理能力的良好載體。善用之，細品之，韻味無窮！

【注：本文系2022年度云南省教育科學規劃項目“基于核心素養的小學生推理意識培養的策略研究”（批號：BFJC22020）階段性研究成果】