從“特例”到“普例”

【編者按】

推理意識是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中小學階段核心素養的主要表現之一。推理意識作為數學學習的重要思維模式，對提高小學生的數學邏輯思維能力具有不可替代的重要作用，學生能否形成良好的推理能力，不僅僅會對數學這門學科的學習造成直接影響，同時也在一定程度上關系到學生未來的發展。云南省“興滇英才支持計劃”周佳泉小學數學名師工作室、昆明市第二批“春城計劃”周佳泉小學數學名師工作室、盤龍區第四屆周佳泉小學數學名師工作室歷時兩年，對小學生“推理意識培養”專題進行了深入探討和積極的課堂教學實踐。現將周老師團隊的一些研究成果分享出來，供廣大一線教師參考。

“數與形”是人教版六年級上冊數學廣角中的內容，形式新穎、趣味性強、思維難度大。既是代數知識與幾何知識相互融合的有效途徑，更是培養學生推理意識難得的載體。教材上面的例題只有兩個，配套的練習卻五花八門。教材似乎已經在暗示我們，本節課的教學，要讓學生理解掌握普遍的通式、通法，而非專門探尋一種問題形態的特例、特式。

結合本工作室多位老師的執教體會，試析如下：

一、“數”與“形”的學習難深入

數形結合思想的核心就是將二者結合起來，用“形”的直觀演繹“數”，用“數”的精準把握“形”，促進學生對于知識的理解和問題的有效解決。怎樣將數與形有機結合給學生講清楚，對于師生來說確實是一個艱巨的挑戰。

1. “數”與“形”相分離。在教學中，有的問題借助圖形能講得更清楚，但不同的題方法都不同，都要帶領學生從頭去分析，于是有教師索性偷個懶，直接帶著學生找數字規律，數出每個圖的個數，變“形”為“數”，從數字的角度來發現規律；要么直接將圖形依次畫出來，找到規律或結果。這樣的教學將“數”和“形”分離開，學生并不理解結果背后蘊藏的數學道理，對圖形的特點和規律的挖掘欠缺，丟失了數形結合的意義。

“數”與“形”相分離，就讓這節課明珠蒙塵，索然無味了。

2. 把“現象”當“規律”。有的老師在教學例題1的時候，從幾個有限的奇數列中觀察得出“規律”——“有幾個連續奇數相加就是幾的平方”，就把這個所謂的“規律”當成了本節課的研究結論。匆匆運用這樣的結論去海量解題，讓學生的思維停留在了膚淺的“現象”層面。當學生遇上類似“1+3+5+7+……+393+395+397+399=（ ）2”這樣復雜的奇數列求和的問題時，學生無從知曉一共有多少個奇數，頓時束手無策。甚至在面對“1+3+5+7+9+11=62”這樣簡單的奇數列求和問題，也只能從所謂“規律”的角度去解釋“因為有6個連續奇數相加，所以等于6的平方”，卻沒有辦法解釋背后的本質“為什么幾個奇數相加就會是幾的平方”。

把“現象”當“規律”，就讓這節課失去了應有的深度，留于淺嘗輒止的膚淺。

3. “例”與“題”難貫通。從教材的編排來看，例題與練習確實“不配套”。它不再像以往的單元那樣，例題長什么樣，后面的習題基本跟它長得“八九分像”。這個單元是個例外，每一題都藏著不同的規律，每道練習都像是在新授課，要一題一題地去發現規律，面對題型復雜、變化較多的練習，學生難以實現舉一反三，倍感困難，難以對數與形進行更深入的探究。

二、“特例”到“普例”的進階難貫通

要突破“數與形”的教學瓶頸，貫通從“特例”到“普例”的學習進階是一條有效途徑。學生循著這個學習進階步步登高，“數形結合思想”的滲透和“推理意識”的發展才有章可循。然而，從“特例”到“普例”的學習進階的構建也是充滿了挑戰：

1. “平方數”只是“特例”。從“1+3+5+7+……”的探究中，得出的“從1開始，有幾個連續奇數相加就是幾的平方”，我們稱其為“平方數”。在奇數列的世界中，這條規律無往而不勝。但是到了偶數列、自然數列和其他普通等差數列時，這個規律卻不靈了。

究其原因，就是奇數列只是眾多等差數列中的一個特例，它不具有普遍性。

2. “梯形數”才是“普例”。通過數形結合的策略，學生不難發現：其實奇數列、偶數列、自然數列和其他普通等差數列都是“梯形數列”。（如下圖）

自然數列" " 奇數列" " "偶數列

都可以用梯形面積計算公式來求和。即：（首項＋末項）×項數÷2。這樣的思路讓學生眼前一亮——原來梯形的面積計算公式還能這么用！

“特例”只是一枝獨秀，“普例”才是天下皆春。

3. 從“特例”到“普例”的阻礙。從“特例”到“普例”的學習進階中，最困難的地方就在于“特例”的首因效應。它會讓學生誤以為所有的等差數列之和都應該是一個平方數，在狹窄的視域中雖“苦苦追尋”卻仍“一無所獲”。打破這一阻礙的有效手段就是畫圖——一旦畫圖，學生就會豁然開朗。“數”與“形”結合起來的必要性昭之若揭。（如下圖）

由此，再一次證明“數”與“形”不能分離，結合起來才能相得益彰。

三、“形”與“數”的融通探索

“數”與“形”相融通，只要運用恰當，難題往往迎刃而解。

1. “形”的直觀讓“數”的理解更容易。還是那個老問題“為什么幾個連續奇數（從1開始）的和就會是幾的平方？”“你如何判斷一個比較長的連續奇數列（1開始）中奇數有多少個？”一旦把“數”與“形”相結合起來思考，問題瞬間變得很簡單：

正方形的最外一層“拐彎”數就對應著奇數列中的最后一個數。把最外一層“拐彎”數“添1”再“均分”，就非常容易知道這是一個幾行幾列的正方形，也就是這個奇數列的和是幾的平方。回到算式中，把最后一個奇數“加1再均分”，就能想出它的和是幾的平方。

把“數”當做“形”，也能很容易地想出一個奇數列中有多少個數：

當我們把數列“補全”之后，原來的最后一個奇數是n，整個數列就一共有“n+1”個數，其中奇數的個數占一半，就是“（n+1）÷2”個。

當抽象的“數”化作具體的“形”，復雜的數學問題也就不難了。

2. “數”的無窮讓“形”的想象無邊界。再怎么畫，“形”總是有限的，“數”卻是無窮的。用“數”表“形”，則形也變得無邊無界，可以表示同類問題的所有情況。如下圖，在“數”的加持下，這樣的形千變萬化，可以表示任意一個奇數列的最后一項。既使學生突破了圖形想象的邊界，又深入理解了“（末項+1）÷2”的道理所在。

3. “數”“形”結合讓難題解決更簡單。在后續練習中，關于圖形中“最外圍”的“數”的問題，一旦把它轉化為“面積差”來理解就非常容易了：

它們都可以用“整體面積”減去“內部面積”。并且通過算式的代數整理（如第2題）得到最簡形式：當有n個綠色小正方形時，藍色小正方形的個數為“3（n+2）-n=2n+6”。在“數”的解析下，“形”的特征也更顯著。

“數”與“形”，如鳥之雙翼，車之兩輪。執其一端，則不行；并行不悖，則暢通。

【注：本文系2022年度云南省教育科學規劃項目“基于核心素養的小學生推理意識培養的策略研究”（批號：BFJC22020）階段性研究成果】