巧用角平分線解題

同學們學習角平分線性質定理之后，幾何題的難度陡然上升. 下面結合例題介紹利用角平分線性質定理解題的思路.

一、識圖、構圖

我們已經知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸，故我們可用對稱折疊的視角來認識角平分線.

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC + ∠D = 180°，CE ⊥ AB于點E. 請直接寫出線段AB，AD，AE之間的數量關系.

分析：圖形中出現角平分線和一個垂直，可以借助角平分線性質構圖. 如圖2，作CF ⊥ AD，可證△BCE ≌ △DCF（AAS），可以得到BE = DF，∴AB + BE = AD - DF = AE = AF，∴AB + AD = 2AE.

變式：如圖3，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，DE ⊥ BC于點E. 若∠ABC = 60°，∠C = 45°，DE = 3，BD = 6，則△ABD的面積為 ，[S△ABDS△BCD ][=] ，[ABAC=] ，[ADCD=] .

思路：借助三角內角和可得到∠A = ∠ADB = 75°，∴AB = BD = 6，[S△ABD]= [12]AB[?DE=9]；合理借助高底轉換面積，有[S△ABDS△BCD=ABBC=ADCD=63+33=3] - 1.

二、動圖、折圖

例2 將一張寬為4 cm的長方形紙片（足夠長）折疊成如圖4所示圖形，重疊部分是一個三角形，則這個三角形面積的最小值是 .

思路：折疊最顯著的特征是產生軸對稱圖形，折痕往往成為某個角的角平分線，這就使得動圖折疊和角平分線的關系十分密切. 過角平分線上一點作角一邊的平行線，從而構造出等腰三角形，又是一個熱點問題.

由此，圖形中∠ABD = ∠ABC = ∠BAC，得AC = BC.

∴S△ABC = [12]AC[?]h = 2AC.

∵AC的最小值即BC的最小值，即為平行線之間的距離4，

∴當BC = 4時，面積最小為8.

例3 如圖5，在Rt△CEF中，∠C = 90°，∠CEF，∠CFE外角平分線相交于點A，過點A分別作直線CE，CF的垂線，垂足為B，D.

（1）∠EAF的度數為 .

（2）從下面兩個選項中選擇一個證明即可：

選項①：求證點A在∠BCD的平分線上；

選項②：求證四邊形ABCD是正方形.

思路：（1）∠EAF = 90° [- 12]∠C. 借助以下兩式： ∠EAF = 180° - （[α+β]），∠C = 180° - ［（180° - 2[α]） + （180° - 2[β]）］ = 2（[α+β]） - 180°，即可推導出結論.

（2）兩個選項本質一樣，借助角平分線的性質，作AG ⊥ EF，將AG作為橋梁，得到AG = AB = AD，再運用角平分線判定定理，得到點A在∠BCD的平分線上.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：6分鐘

1. 如圖6，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，DE ⊥ AB于點E，點F在AC上，BD = DF，若AB = 13，AF = 8，則CF的長為 .

2. 如圖7，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于點E，AD ⊥ BE，點F為AC 的中點，則線段DF，BC，AB滿足的關系為 .

（答案見第39頁）

（作者單位：江蘇省泰州市汪群初級中學）