“一線三等角”模型的應用

“一線三等角”指的是有三個等角的頂點在同一條直線上，其中有兩個角的一邊與直線重合，這樣就可以形成一對形狀相同的三角形. “一線三等角”模型也被稱為“K字型”，它可分為“直角一線三等角”（如圖1，又叫“三垂直”型）、“銳角一線三等角”（如圖2）和“鈍角一線三等角”（如圖3）三類.因其條件類型的多樣化，近幾年成為各地中考熱門考點之一.

以“三垂直”型為例，當直線繞點C旋轉一周時，會得到如下4種情況：

同側型，如圖4、圖5.

異側型，如圖6、圖7.

模型應用

例 獨立思考.

（1）如圖8，已知直線MN，小明將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放置在直線MN上，作AD ⊥ MN于點D，BE ⊥ MN于點E．猜想線段AD，BE和DE之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論.

變式探究.

（2）將直線繞點C旋轉到如圖9所示的位置時，（1）中的結論是否成立？請說明理由.

（3）將直線繞點C旋轉到如圖10所示的位置時，請直接寫出線段AD，BE和DE之間的數量關系： .

思路：（1）由垂直得∠ADC = ∠CEB = 90°，易證∠DAC = ∠ECB，因此根據“AAS”可以證明△ADC ≌ △CEB，結合全等三角形的對應邊相等即可證得結論；

（2）由垂直得∠ADC = ∠CEB = 90°，易證∠DAC = ∠ECB，然后由全等三角形的對應邊相等、圖形中線段間的和差關系以及等量代換證得DE + BE = AD；

（3）同（2）的方法可得出DE = BE - AD．

分層作業

難度系數：★★★★ 解題時間：10分鐘

在△ABC中，∠ABC = 90°，∠ACB = α（0° lt; α lt; 45°），將線段CA繞點C順時針旋轉90°，得到線段CD，過點D作DE ⊥ BC，垂足為E.

（1）如圖11，求證：△ABC ≌ △CED；

（2）如圖12，∠ACD的平分線與AB的延長線交于點F，連接DF，DF的延長線與CB的延長線交于點P，猜想PC與PD的數量關系，并加以證明.（答案見第39頁）

（作者單位：遼寧省實驗中學初中部）