二階線性橢圓型方程廣義解的群對稱分析

摘要：Lie群變換方法從研究一般PDE的定性理論，推廣到一般二階線性橢圓型方程廣義解（弱解）的存在性與正則性的研究當中。從一般類型的方程而非最古典、特殊的Poisson方程入手，首次得到一般二階線性橢圓型偏微分方程的Lie群對稱性。并運用相關估計理論，分析其Dirichlet問題的廣義解的存在性所受到方程對稱性的影響，以及保持廣義解的正則性所對應的對稱形式，最終在局部或全局上揭示廣義解與方程對稱性之間的關系。

關鍵詞：二階線性橢圓型方程廣義解群對稱性正則性

中圖分類號：O171

GroupSymmetryAnalysisofGeneralizedSolutionsforSecondOrderLinearEllipticEquations

CHENZebin

ShenzhenMetroGroupCo.，Ltd.，Shenzhen，GuangdongProvince，518040China

Abstract：TheLiegrouptransformationmethodhasbeenextendedfromstudyingthequalitativetheory ofgeneralPDEtostudyingtheexistenceandregularityofgeneralizedsolutions（weaksolutions）ofgeneralsecondorderlinearellipticequations.StartingfromgeneraltypesofequationsratherthanthemostclassicalandspecialPoissonequations，theLiegroupsymmetryofgeneralsecondorderlinearellipticpartialdifferentialequationsisobtainedforthefirsttime.RelevantestimationtheoryisappliedtoanalyzetheinfluenceofequationsymmetryontheexistenceofgeneralizedsolutionsofDirichletproblems，aswellasthesymmetricformcorrespondingtomaintainingtheregularityofgeneralizedsolutions.Finally，therelationshipbetweengeneralizedsolutionsandequationsymmetryisrevealedlocallyorglobally.

KeyWords：Secondorderlinearellipticequation;Generalizedsolution;Groupsymmetry;Regularity

當前有關PDE的群分析理論已十分完備，取得的成果顯著，尤其是關于熱傳導的拋物型等發展方程的對稱性[1]。橢圓型PDE為不隨時間演化的穩態方程，目前對最古典、特殊的Poisson方程或Laplace方程的對稱性亦有完整的認知，但一般的二階線性橢圓型方程的對稱性卻少有研究，仍未有確定的結論。[2]

使用求和約定，遵循重復指標1，2，，的求和。為保持各類條件的形式一致，如對（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）等作為變系數的函數，以及形式函數（）或測試函數（）求導，則以右下角加“”或“”表示；如對廣義函數求導，則以表示。參數與常數無特殊說明時，在各個公式內可各不相同[3]。

1一般二階線性橢圓型方程的群對稱性

考慮如下形式的個自變量及單個因變量的一般二階線性橢圓型方程

式（1）中：算子L=（），且=（）屬于中的一個有界區域，。假設（）（），另有（），（），（）有界，其中（）0。系數矩陣正定，算子L在上是橢圓型的，即若用（）及（）分別表示的最小和最大特征值，則

對于所有的=（）成立，且假定L在中一致橢圓型的，即在中有界，并且有附加條件

方程（1）的對稱性或不變性即是尋找從（，）空間到（，，）空間上變換的延拓問題。

定理1方程（1）具有六種Lie群對稱性，且無窮小生成元依賴于變系數函數。

證明現將方程（1）變形為以下形式

則有Lie群變換

若此變換只有一個參數，其無窮小變換作用在（，）空間上時，具有無窮小（）=（（），（），，（））以及（，），那么相應的無窮小生成元為

單參數變換群，是方程（1）所容許的，當且僅當其所確定的二階延拓保持曲面F（）=0不變。如此根據無窮小生成元的二次延拓，有

從而得到決定方程

將作為一個獨立變量，比較系數后合并同類項，最后求得

其中（）、（）、（）、（）為任意函數。這樣便可整理無窮小生成元，可見一般二階線性橢圓型方程（1）的無窮小對稱性的Lie代數可展開為6個向量場：

所以，一般二階線性橢圓型方程（1）具有6種Lie群對稱性，其中、、與為拉伸群。只有當、與為1時，、、才是平移群。另外、為投影變換群。決定方程的所有解集組成一個向量空間L，這是一個Lie代數。由于方程（1）的無窮小對稱包含了6個常數，從而形成了～等線性無關算子生成的6的有限倍數維Lie代數，其關于Lie括號運算是封閉的。又無窮小生成元依賴于變系數函數，故定理1得證。

2一般二階線性橢圓型方程廣義解在群對稱下的正則性

考慮廣義解在群不變性下的正則性，即Lie群對稱是否保持廣義解的正則性。

定理2如果，則在拉伸群對稱下具有全局正則性，即，且有

成立。

證明對每一點，存在使，且

由于有有限開覆蓋，，可令，則為閉集，所以，使得，那么，有

根據單位分解定理，若，是從屬于，的單位分解，即有：1；，。可得

如此可得到拉伸群不變解在全局上具有保持正則性，同理，亦如此。

現考慮投影變換群的保持正則性，令

那么有

這里依賴于、、、，同時令，即。所以

又因為

令式，，則有

考慮任意方向的差分算子，則有，然而有以下形式

這里出現非線性項，由與之間的逼近以及空間的完備性所產生。因為，所以若要推出的形式，當且僅當，即

此時保持一般二階線性橢圓型方程廣義解的正則性，退化為保持Poisson方程的Dirichlet問題廣義解的正則性[4]。所以，投影變換群僅在Poisson方程或Laplace方程的情況下保持正則性，對于一般二階線性橢圓型方程無此效應[5]。

3結論

一般二階線性橢圓型方程展現出6種Lie群對稱性，且其無窮小生成元與變系數函數相關。在拉伸群對稱作用下，群不變解能夠維持廣義解的內部及全局正則性；然而，在投影變換的群對稱下，廣義解的正則性會發生退化，僅在特定情況下如Poisson方程或Laplace方程時得以保持。

在局部或全局上揭示廣義解與方程對稱性之間的關系，旨在把一般二階線性橢圓型方程廣義解納入Lie群對稱分析的框架中，為研究一般二階線性橢圓型方程廣義解的性質提供更多參考方法。

參考文獻

[1]郭雅萌.幾類非線性橢圓型方程解的存在性研究[D].伊犁：伊犁師范大學，2023.

[2]靳振峰.幾類非局部橢圓型方程解的存在性[D].蘭州：蘭州大學，2022.

[3]韓亮.無界區域上兩類橢圓型方程解的存在性研究[D].恩施：湖北民族大學，2023.

[4]歐陽宏昊.橢圓型方程多解問題的深度學習方法[D].大連：大連理工大學，2022.

[5]李鵬菲.幾類橢圓型方程解的存在性研究[D].恩施：湖北民族大學，2022.