考慮體積勢能的范氏氣體內(nèi)能公式及說明

摘要：范氏氣態(tài)方程考慮了氣體分子體積壓強(qiáng)和分子引力壓強(qiáng)，所以，范氏氣體的內(nèi)能也應(yīng)考慮分子體積勢能和分子引力勢能，而以往大學(xué)物理教材給出的范氏氣體內(nèi)能公式是沒有考慮分子體積勢能的，顯然是不符合實(shí)際的。下面將在以往大學(xué)物理教材給出的范氏氣體內(nèi)能公式的基礎(chǔ)上，結(jié)合范氏氣體的勢能曲線圖，導(dǎo)出考慮分子體積勢能的范氏氣體內(nèi)能公式的積分式，并進(jìn)行了驗(yàn)證。其作為擴(kuò)展內(nèi)容，在補(bǔ)充說明中又提出了考慮體積勢能的范氏氣體內(nèi)能公式的簡化式，范氏氣體定壓熱容公式，一般氣體定壓熱容公式，一般氣體內(nèi)能方程。

關(guān)鍵詞：范氏氣體內(nèi)能；理想氣體內(nèi)能；體積勢能；引力勢能

1公式的導(dǎo)出

以往大學(xué)物理教材給出的N摩爾范氏氣體內(nèi)能公式為：

U=CVT-N2aV（1）

式中：U——范氏氣體內(nèi)能；CVT——理想氣體內(nèi)能；-N2aV——分子引力勢能。

由范氏氣體勢能曲線可見，式（1）的適用范圍是分子間距離r>d（d為分子有效直經(jīng)）時，如果在r=d時，則式（1）應(yīng)修正為：

U=CVT+E體-N2aV（2）

式中：E體——分子體積勢能。

范氏氣體膨脹時，增加的分子體積勢能，等于反抗分子體積壓強(qiáng)所做的功，而分子體積壓強(qiáng)P體所做的功微分式為：

dA=P體dV=NRTV-bN-NRTVdV=N2bRT（V-bN）VdV（3）

則分子體積勢能的增量為：

dE體=-dA=-N2bRT（V-bN）VdV（4）

對式（4）積分得：

E體=-∫N2bRT（V-bN）VdV（5）

式（5）便是體積勢能E體的公式。

把式（5）代入式（2）得：

U=CVT-∫N2bRT（V-bN）VdV-N2aV（6）

式（6）便是考慮體積勢能的范氏氣體內(nèi)能公式。

2公式的驗(yàn)證

由式（6）可見，分子勢能（體積勢能和引力勢能）為：

E勢=-∫N2bRT（V-bN）VdV-N2aV（7）

E勢VT=dE勢dV=-N2bRT（V-bN）V+N2aV2（8）

在V=2bN，T=a2Rb的情況下，式（8）可簡化為：

E勢VT=-N2aV2+N2aV2=0（9）

因?yàn)樵诘葔鹤畲笾祬⒘縑=2bN，T=a2Rb的情況下范氏氣體可過渡到理想氣體，所以在這種情況下，勢能E勢隨體積V的變化率E勢VT必定等于零（和理想氣體一樣），由式（9）可見，E勢VT=0，這就驗(yàn)證了式（6）是符合實(shí)際的，是正確的（這一驗(yàn)證叫焦耳實(shí)驗(yàn)）。

對于范氏氣體有：

N2aV2=TPTV-P（10）

把式（10）代入式（8）得：

E勢VT=-N2bRT（V-bN）V+TPTV-P（11）

式（11）便是考慮體積勢能的范氏氣體內(nèi)能方程，而范氏氣態(tài)方程可寫為：

P=NRTV+N2bRT（V-bN）V-N2aV2（12）

則TPTV的表達(dá)式為：

TPTV=NRTV+N2bRT（V-bN）V（13）

把式（13）、式（12）代入式（11）得：

E勢VT=-N2bRT（V-bN）V+N2aV2（14）

可見，式（14）就是式（8），這就從氣體的內(nèi)能方程來驗(yàn)證了式（6）是符合實(shí)際的，是正確的。

3補(bǔ)充說明

由式（5）得：

E體=-∫N2bRT（V-bN）VdV=-∫N2bRT1-bNVV2dV（15）

對式（15）直接積分很困難，但在式（15）中，1bNV，所以可把1-bNV近似看作常量，這樣，也就可以把N2bRT1-bNV近似看作常量，則由式（15）得：

E體=-N2bRT1-bNV∫dVV2=-N2bRT1-bNV-1V+C（16）

式（16）中，C為積分常量，如果取氣體無限稀薄時，分子間的勢能為零，則C=0，則由式（15）、式（16）得：

E體=-∫N2bRT（V-bN）VdV=N2bRT1-bNVV=N2bRT（V-bN）（17）

把式（17）代入式（6）得：

U=CVT+N2bRT（V-bN）-N2aV（18）

式（18）便是式（6）的簡化式：

在V=2bN，T=a2Rb的情況下，式（18）簡化為：

U=CVT+N2aV-N2aV=CVT（19）

式（19）正是焦耳實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。這就驗(yàn)證了式（18）和式（6）一樣，是符合實(shí)際的，是正確的。

在式（17）中，求E體對V的導(dǎo)數(shù)得：

dE體dV=dN2bRT1-bNVVdV（20）

在式（20）中，同樣把N2bRT1-bNV近似看作常量，則：

dE體dV=N2bRT1-bNV·d1VdV=N2bRT1-bNV·-1V2=-N2bRT（V-bN）V（21）

在式（5）中，求E體對V的導(dǎo)數(shù)得：

dE體dV=-d∫N2bRT（V-bN）VdVdV=-N2bRT（V-bN）V（22）

可見，式（22）和式（21）相同，則二者的微分均為：

dE體=-N2bRT（V-bN）VdV（23）

可見，式（23）便回歸到式（4），這就說明，前面積分和求導(dǎo)作近似性處理是可以的。

實(shí)際上，范氏氣態(tài)方程本身就有近似性，前面積分和求導(dǎo)的近似性，正好對得住范氏氣態(tài)方程本身的近似性。

前面式（11）又可寫為：

E勢VT+P=TPTV-N2bRT（V-bN）V（24）

由式（24）可得考慮體積勢能的范氏氣體定壓熱容為：

CP=CV+E勢VT+PVTP

=CV+TPTV-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+TPTVVTP-N2bRT（V-bN）VVTP（25）

把前面式（13）代入式（25）得：

CP=CV+NRTV+N2bRT（V-bN）VVTP-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+NRTVVTP+N2bRT（V-bN）VVTP-N2bRT（V-bN）VVTP

=CV+NRTVVTP（26）

式（26）便是考慮體積勢能的范氏氣體定壓熱容公式，式中：

VTP=NRNRTV+N2bRT（V-bN）V-2N2a（V-bN）V3（27）

在等壓最大值參量V=2bN，T=a2Rb的情況下，式（27）簡化為：

VTP=NRNRTV=VT（28）

把式（28）代入式（26）得：

CP=CV+NRTV·VT=CV+NR（29）

而N摩爾理想氣體的定壓熱容公式為：

CP理=CV+NR（30）

因?yàn)樵诘葔鹤畲笾祬⒘縑=2bN，T=a2Rb的情況下，范氏氣體可過渡到理想氣體，所以在這種情況下，范氏氣體的內(nèi)能U必定等于理想氣體的內(nèi)能CVT，由式（19）可見，U=CVT，同時范氏氣體的定壓熱容CP也必定等于理想氣體的定壓熱容CP理，由式（29）和式（30）可見，CP=CP理，由此可見，考慮體積勢能的范氏氣體內(nèi)能公式（6）和式（18）的正確性，與考慮體積勢能的范氏氣體定壓熱容公式（26）的正確性起到了相互驗(yàn)證的作用。

如果用一般氣體的體積勢能E體隨體積V的變化率E體VT來取代式（11）中的-N2bRT（V-bN）V則式（11）成為：

E勢VT=E體VT+TPTV-P（31）

式（31）叫考慮體積勢能的一般氣體內(nèi)能方程，如果用一般氣體的E體VT取代式（25）中的-N2bRT（V-bN）V，則式（25）成為：

CP=CV+TPTVVTP+E體VTVTP（32）

式（32）叫考慮體積勢能的一般氣體定壓熱容公式。

結(jié)語

本文提出了考慮體積勢能的范氏氣體內(nèi)能公式的積分式（6），在補(bǔ)充說明中又提出了考慮體積勢能的范氏氣體內(nèi)能公式的簡化式（18），考慮體積勢能的范氏氣體定壓熱容公式（26），考慮體積勢能的一般氣體定壓熱容公式（32），考慮體積勢能的一般氣體內(nèi)能方程式（31），這5個公式的提出，是物理學(xué)上的一大進(jìn)步。

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作者簡介：王子佳（1953—），男，廣西玉林人，工程師，教師，礦井設(shè)計(jì)師，從事礦井設(shè)計(jì)及物理研究工作。