壓實黃土壓縮變形規律及其數學模型

亢佳玉，王麗琴，鞏江峰，等.壓實黃土壓縮變形規律及其數學模型[J].西安科技大學學報，2024，44（5）：942-952.

KANG Jiayu，WANG Liqin，GONG Jiangfeng，et al.Compression deformation law of compacted loess "and its mathematical model[J].Journal of Xi’an University of Science and Technology，2024，44（5）：942-952.

摘要：黃土高填方是巖土工程領域的熱點問題，其地基穩定與沉降也是填方地區的重點關注問題，而要準確地預測填方區的地基總沉降量或工后沉降量數據，就需要對壓實黃土的壓縮變形規律進行研究。通過大量室內側限壓縮試驗研究高填方地區壓實黃土的壓縮變形規律，分析不同地區壓實黃土在不同條件下的應力-應變曲線，討論其壓縮特性及變化規律，通過復合冪-指數（CPE）模型建立了描述壓實黃土側限條件下應力-應變曲線的表達方法。結果表明：側限條件下，壓實黃土的應變隨豎向應力的逐級增加而增加；不同場地、沉積時代壓實黃土的壓縮變形規律基本相似，施加相同豎向應力時，應變隨含水率的降低而減小，隨壓實度的增加而減小；隨著壓實度的增加，試樣抵抗變形的能力越來越強；而隨著含水率的增加，土體抵抗變形的能力被削弱。考慮到含水率與壓實度，將不同沉積時代下CPE模型參數進行定量描述，壓實黃土在側限條件下的應力-應變曲線數學模型在呂梁Q3黃土中的應用，說明了該模型的準確性與合理性，為研究壓實黃土的壓縮變形提供了新思路。

關鍵詞：壓實黃土；側限壓縮試驗；變形規律；數學模型；沉積時代

中圖分類號：TU 43

Compression deformation law of compacted loess

and its mathematical model

KANG Jiayu1，WANG Liqin1，GONG Jiangfeng2，WANG Xindong3，CHENG Fanghui3，XU Chong3

（1.School of Civil Engineering and Architecture，Xi’an University of Technology，Xi’an 710048，China；

2.China Railway Economic and Planning Research Institute，Beijing 100039，China；

3.China Railway First Survey and Design Institute Group Co.，Ltd.，Xi’an 710048，China）

Abstract：The high fill of loess is a hot issue in the field of geotechnical engineering，and its foundation stability and settlement are also the key issues in the filling area.To predict the total settlement or post-construction settlement data of the foundation in the filling area，it is necessary to study the compression deformation law of compacted loess.Through a large number of indoor confined compression tests，the compression deformation law of compacted loess in high fill area are examined.The stress-strain curves of compacted loess in different areas under different conditions are analyzed，and the compression characteristics and variation rules are discussed.The expression method of stress-strain curve under confined condition of compacted loess is established by Composite Power Exponent（CPE）model.The results show that the strain of compacted loess increases with the increase of vertical load under the condition of lateral restriction.The compression deformation law of compacted loess in different sites and sedimentary ages is basically similar.When the same vertical load is applied，the strain decreases with the decrease of water content and decreases with the increase of compaction degree.As the degree of compaction increases，the ability of the sample to resist deformation becomes ever stronger；with the increase of water content，the ability of soil to resist deformation is weakened.Considering the water content and compaction degree，the parameters of the CPE model are quantitatively described.The application of the mathematical model of the stress-strain curve of the compacted loess under lateral confinement in Lvliang Q3 loess"shows the accuracy and rationality of the model，which provides a new idea for exploring"the compression deformation of compacted loess.

Key words：compacted loess；lateral compression test；deformation law；mathematical model；depositional age

0引言

隨著人類活動與工程施工的大量開展，黃土地區的公路、隧道、基礎工程等填方工程也日益增多。作為高填方體的填筑材料，壓實黃土的性質受原狀黃土的影響，并且壓實過程中的各種人類活動、壓實完成后的濕度變化等都會造成高填方地區黃土的不穩定[1-3]。高填方地基穩定與沉降一直是填方地區的重點關注問題，而要準確地預測填方區的地基總沉降量或工后沉降量數據，就需要對壓實黃土的壓縮變形規律進行研究[4-5]。

學者們對于壓實黃土的壓縮特性展開了眾多研究，分析了壓實黃土的物理指標與壓縮指標之間的具體關系，特別壓縮變形系數、壓縮系數、壓縮模量等隨含水率、壓實度等因素的變化規律。李旭東、王博等分別對延安新區的Q2，Q3壓實黃土進行高壓固結試驗，發現增減濕和壓實度的變化會直接影響壓實黃土的壓縮特性[6-7]；謝星等通過單軸壓縮試驗與常規三軸試驗對比西安Q2與Q3黃土，發現相同條件下，Q2黃土的強度大于Q3黃土[8]；陳存禮等對一定含水率及干密度下具有不同結構性的壓實黃土試樣進行側限壓縮試驗，揭示了結構變化對壓實黃土壓縮特性的影響[9]；陳開圣等通過引入壓縮變形系數，分析壓實黃土的物理指標對壓縮變形系數、壓縮系數的影響，室內壓縮試驗的壓縮指標可以很好的反映黃土的壓縮性[10]；唐斌鵬使用單軸壓縮機，發現酸濃度在0～3 mol/L時，壓縮系數增加，而壓縮屈服應力降低，酸蝕黃土的壓縮性更強[11]；李宏儒等為研究不同添加劑對黃土壓縮性能的改良效果，對試驗土進行壓縮試驗，得到相應的壓縮曲線進行分析[12]；簡濤等通過壓縮試驗研究黃土不同顆粒組構的壓縮性能，發現黏粒含量對壓縮性能影響最大[13]。

國內外學者對于壓實黃土的壓縮特性研究較多，但在壓實黃土的應力-應變關系方面的研究仍存在不足。劉保健等發現側限條件下，壓實黃土的應力-應變曲線符合雙曲線模型[14]；

PESTANA等從側限條件的土體壓縮試驗得到有效應力、孔隙比、壓力等相關參數之間的擬合關系，并結合約束模量與有效應力在雙對數坐標值中進行擬合，建立土體的壓縮模型[15]；LIU、GAO和TENGATTINI等基于側限固結壓縮試驗結果、變形塑性功與有效應力間的相互關系提出了土體壓縮分析模型，該模型僅能簡單反映土體側限固結壓縮過程中總孔隙比與有效應力之間的關系[16-17]；ZHANG等通過各向同性壓縮試驗分析壓實黃土在水力耦合作用下的壓縮性能，推導出了壓實黃土的荷載-破壞屈服曲線[18]；楊晶等在研究壓實黃土壓縮應力-應變曲線時，采用冪函數進行擬合[19-20]；胡長明等在研究呂梁地區壓實馬蘭黃土時，發現應力-應變關系符合冪函數[21]；黃雪峰等基于試驗數據與理論分析，提出了Gunary模型，更加準確地描述側限條件下的壓實黃土的應力-應變曲線[22]；喬俊義等針對延安地區Q2、Q3壓實黃土展開室內側限固結試驗，改進了Gunary模型，使其實用性更強[23]。關于壓實黃土側限條件下的應力-應變關系的擬合方法主要為雙曲線模型、冪函數、Gunary模型，但這3種方法都有其各自的局限性。雙曲線模型得到的割線模量與應力的線性關系不能反映高壓實度下的實際情況，冪函數對應力-應變曲線的擬合在在高壓實度下具有較高的精確性，隨著壓實度的降低，由于割線模量與應力呈線性關系，冪函數的擬合形式不再適用[24]，Gunary模型在對壓實黃土的應力-應變曲線描述時，試驗參數具有不確定性。

王麗琴等通過6個場地對不同含水率的原狀黃土進行側限壓縮試驗，發現同一沉積時代的原狀黃土應力-應變曲線具有歸一性，并通過復合冪-指數（Composite Power-Exponential，CPE）模型提出了原狀黃土的應力-應變曲線表達式，在此基礎上，思考不同沉積時代的壓實黃土是否具有歸一性[25]。因此，文中對西安、蘭州3個場地的不同壓實度、含水率下的Q2、Q3壓實黃土進行側限壓縮試驗，分析不同壓實度、含水率下壓實黃土應力-應變曲線的變化規律，建立壓實黃土的應力-應變曲線的數學模型。

1試驗方案

1.1試驗用土

土樣部分取土場地如圖1所示，根據GB/T 50123—2019《土工試驗方法標準》，對各土樣分別進行基本物性指標測定，并通過輕型擊實試驗測試土樣的擊實指標。試驗黃土的基本情況與物性指標見表1。

1.2壓實黃土結構性指標測定方法

取3個不同場地的黃土，分別制作不同壓實度（K=80%，85，90%，95%，100%）與不同含水率（w=2%，5%，10%，13%，15%，18%，20%，23%，25%，28%，wop，飽和）的重塑試樣共160個，為制備不同含水率的試樣，在最優含水率試樣的基礎上加水或減水，使試樣達到試驗所需的含水率，再進行側限壓縮試驗，儀器采用南京土壤儀器場生產的WG單杠桿固結儀，壓力分別為25，50，100，200，400，800，1 600，3 200 kPa，試樣高為20 mm，面積30 cm2。

2試驗結果分析

2.1試驗結果

3種場地下，同一壓實度下不同含水率壓實黃土的應力-應變曲線如圖2～圖4所示，其中p為軸向應力，kPa，ε為軸向應變；K為壓實度，%。

2.2應力-應變曲線

從圖2～圖4可以看出，在側限壓縮條件下，不同場地、不同沉積時代的壓實黃土在不同條件下應力-應變曲線的形狀基本相似，隨著豎向荷載的逐級增加，試樣的應變隨之增大，試樣的孔隙比減小，土體變得更加密實，隨著豎向荷載的進一步增加，土體的顆粒骨架結構被進一步破壞，骨架結構失去支撐荷載的能力，土體被壓實，土體抵抗變形的能力越來越強。

對于同一壓實度的試樣，在同一荷載下，隨著含水率的增加，試樣的豎向應變增加，變形增加，這是由于土中水分增加會使粘粒表面水膜增厚，顆粒間引力減小，使得顆粒間膠結強度減弱，達到相同應變所需的荷載減小。黃土的骨架結構被破壞后，隨著豎向荷載的增加，內部破壞更加嚴重，應變增大，壓縮變形越來越大。這表明在側限條件下，壓實黃土的壓縮變形會隨著含水率的增大而增大。

根據圖2～圖4，繪制同一含水率下，不同壓實度下3種壓實黃土的應力-應變曲線，由于篇幅限制，僅列出w=18%時曲線，如圖5所示。

對比同一土樣在不同壓實度下的應力-應變曲線，以西安Q3黃土為例，如圖2所示，結合圖5可知，對于同一含水率的試樣，隨著壓實度的增加，應力-應變曲線整體呈現出整體下移的趨勢，在同一荷載作用下，高壓實度的土樣應變較小，這說明初始孔隙比的大小直接影響壓實黃土的壓縮變形，隨著壓實度的增加，試樣內部的顆粒逐漸密實，顆粒之間的孔隙比隨之減小，顆粒之間的接觸，排列方式更加穩定。并且在相同豎向荷載作用下，土體內部顆粒之間的移動與滑移作用受壓實度增加影響，顆粒移動較小，變形更小。高壓實度的試樣骨架破壞，發生變形所需的荷載相較于低壓實度土樣更大，且高壓實度的試樣受含水率的影響較小，因而高壓實度試樣的壓縮特性更加穩定。

結合圖5，通過對比西安與蘭州兩地的Q3壓實黃土試樣在側限條件下的應力-應變曲線，發現對于同一沉積時代，不同地區的壓實黃土變形特征不同。通過對比西安地區的Q2、Q3壓實黃土試樣在側限條件下的應力-應變曲線，發現不同沉積時代的壓實黃土的壓縮變形特征存在差異，由于Q2黃土位于Q3黃土下層的埋深黃土層，沉積時代更加久遠，這使得其初始結構更加密實。而Q3黃土存在大孔隙結構發育，質地疏松。重塑后在相同條件下Q2壓實黃土的密度大于Q3壓實黃土，孔隙比小于Q3壓實黃土，因此在進行側限壓縮試驗時，同一壓實度Q2黃土豎向變形更小。

2.3應力-應變曲線關系

土體的應力-應變關系一直是土力學研究中的重要課題，由于土體本身的復雜性，受地域、形成時代等因素的影響，應變-應變關系很難確定。近年來，國內外眾多學者在土的壓縮及變形特性等方面取得了顯著的進展。

王麗琴等[25]在分析原狀黃土的壓縮曲線特性時，通過CPE模型對原狀黃土側限條件下的應力-應變曲線描述為

ε=n01－Aexp－αppaβ

（1）

式中Pa為標準大氣壓，kPa；n0為初始孔隙率；A為與壓縮階段有關的系數，原位壓縮階段Agt;1，再壓縮階段A=1；α，β為與土性及含水率有關的系數，α，β均大于0。

根據式（1），對3種土樣在不同條件下的應力-應變曲線進行擬合，式（1）中的各參數及相關系數見表2～表4，擬合結果如圖6～圖8所示，擬合曲線基本穿過實測點，擬合效果十分好。

從表2～表4可以看出，采用上述方法對側限條件下的應力-應變曲線進行擬合，相關系數均在0.90以上，并且西安Q3黃土與蘭州Q3黃土的擬合參數A、β相同，即A=1.02，β=0.41；而西安Q2黃土的擬合參數A=1.02，β=0.46。同一沉積時代壓實黃土的參數A和β相同，α則與壓實黃土的含水率，壓實度相關，α隨含水率的增大而增大，隨壓實度的增大而減小。

通過觀察α隨壓實度與含水率的變化，發現α與含水率w呈正相關關系，與壓實度的平方K2呈負相關，繪制α-w/K2的曲線如圖9所示。西安Q3黃土與蘭州Q3黃土的關系曲線基本重合，所以根據形成年代，將這2種不同地區，同一沉積時代的壓實黃土進行歸一處理，并進行擬合，可以看出α與w/K2呈線性關系。具體關系分別為西安、蘭州Q3黃土

α=0.43wK2

（2）

西安Q2黃土

α=0.02wK2

（3）

將式（2）、式（3）代入式（1），得到不同沉積時代壓實黃土在側限條件下的應力-應變曲線表達式為

西安、蘭州Q3黃土

ε=n01－1.02exp－0.43wK2ppa0.41

（4）

西安Q2黃土

ε=n01－1.02exp－0.02wK2ppa0.46

（5）

通過以上分析可知，壓實黃土在側限條件下的應力-應變曲線可以根據沉積時代劃分，根據土體的含水率w、壓實度K、孔隙率n0可計算出不同豎向壓應力下的豎向應變，從而得到應力-應變曲線，為工程上計算地基沉降量提供了新思路。

3壓縮指標的應用

3.1側限壓縮模量Es

當豎向荷載p→+∞時，→n0，即在側限條件下應變不能無限增長，最大值為孔隙率n0。且側限壓縮模量Es=dpdε，對式（1）求一階導數得

Es=dpdε=pan0αβppa

1－βexpαppaβ

（6）

3.2切線壓縮系數av

在式（6）的基礎上，結合式（7）

Es=1+e0av

（7）

式中e0為初始孔隙比，e0=n01－n0

切線壓縮系數為av=1+e0Es=e0αβpappaβ－1exp－αppaβ

（8）

3.3e-lgp曲線

土樣的側限固縮試驗本質上是指土在豎向壓力和側限約束的作用下，土顆粒本身不被壓縮，土體孔隙被壓縮，進而使土體孔隙中的氣體與水被排除，土體孔隙的體積不斷減小[26-27]，根據這一關系，可得到式（9）

h01+e0=h0－Δh1+e

（9）

式中h0為側限條件下，施加豎向荷載前試樣的初始高度，mm；Δh為施加豎向荷載后試樣的壓縮變形量，mm；e為施加豎向荷載后，試樣穩定后的孔隙比。

因此，式（9）可轉化為式（10）

1+e1+e0=h0－Δhh0=1－Δhh0=1－ε

（10）

ε=e0－e1+e0

（11）

將式（11）與n0=e01+e0代入式（1）可得

e=e0Aexp［－α（p/pa）β］

（12）

4文獻實例驗證

胡長明等給出了山西省呂梁地區Q3黃土的相關指標以及不同壓實度下的豎向應變隨壓力的變化關系，加壓等級分別為50，100，200，300，400，600，800，1 000，1 200 kPa[21]。土樣相關物理指標見表5。

擊實指標是通過重型擊實試驗得到的，取ρdmax=1.85 g/cm3，不同壓實度下的黃土呂梁Q3黃土在各級壓力下的豎向應變，記為實測值，將式（4）計算出的應變值記為計算值，具體見表6。

相關系數和平均絕對百分比誤差是2種不同的評估模型預測能力的方法，R2側重模型整體對實際數據的預測能力，而MAPE更側重是實際值與預測值單個數值之間的準確性，從表6可以看出，R2均大于0.97，且MAPE均小于10，一般認為MAPE值小于10%的模型是比較好的預測模型。說明了這一方法描述Q3黃土應力-應變曲線具有可行性。基于此，可以嘗試在高填方工程與地基工程中可以對地基沉降進行計算。

未找到可用于驗證Q2壓實黃土側限條件下應力-應變曲線與壓縮模量、壓縮系數的相關文獻。試樣所用黃土與驗證Q3壓實黃土數量有限，需在今后的研究中不斷驗證。

5結論

1）側限條件下，不同場地、不同沉積時代的壓實黃土試樣的應力-應變曲線變化規律相同：隨著豎向荷載的逐級增加，應變隨之增加，土體抵抗變形的能力越來越強。

2）隨著壓實度的增加，試樣抵抗變形的能力越來越強；而隨著含水率的增加，土體抵抗變形的能力被削弱，這是由于水會破壞土體內部架空顆粒結構，使得試樣骨架結構支撐荷載的能力減弱。

3）對側限條件下的應力-應變曲線分析得到不同沉積時代下，壓實黃土在側限條件下的應力-應變曲線表達式，并將其應用于文獻中的壓實黃土，驗證了此關系的準確性與適用性。

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（責任編輯：劉潔）

收稿日期：2024-06-29

基金項目：中國國家鐵路集團有限公司科技研究開發計劃項目（N2023G077）；陜西省自然科學基礎研究計劃項目（2022JM-216）

第一作者：亢佳玉，女，山西臨汾人，碩士研究生，E-mail：3274574131@qq.com

通信作者：王麗琴，女，山西平遙人，博士，副教授，E-mail：wanglq@xaut.edu.cn