資源分布視角下區域保障調度模型研究

摘 要：

區域作戰中，裝備保障需求呈現出一定分布特征，保障供應也隨時動態變化，如何匹配供需進而進行保障調度成為提升區域保障能力的關鍵。針對區域資源供需的分布特性，運用最優傳輸理論，建立資源分布視角下區域保障調度模型。首先，構建分布視角下的區域保障調度基本模型，考慮決策層級將其拓展為多分辨率模型，然后基于sinkhorn算法提出保障調度概率方案作為轉換，進而給出多分辨率模型的保障調度方案求解算法。案例分析表明，非指數分布和自由競爭環境下，保障調度方案具有魯棒性。

關鍵詞：

裝備保障; 資源分布; 保障調度; 最優傳輸

中圖分類號：

TJ 02

文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.09.21

Research on regional guarantee scheduling model from the perspective of resource distribution

HU Zhigang1， LOU Jingjun2，*， SHI Yuedong2

（1. Department of Management Engineering and Equipment Economics，Navy University of Engineering， Wuhan 430033， China;

2. College of Naval Architecture and Ocean， Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China）

Abstract：

In regional operations， equipment guarantee needs exhibit distribution characteristics， and guarantee supply also dynamically changes. How to match supply and demand and then guarantee shceduling has become the key to improving regional guarantee capabilities. Based on the distribution characteristics of regional resource supply and demand， the optimal transmission theory is applied to establish a regional guarantee scheduling model from the perspective of resource distribution. Firstly， a basic model of regional guarantee scheduling is constructed from a distributed perspective， and considered expanding it into a multi resolution model at the decision-making level. And then， a guarantee scheduling probability scheme is proposed based on the sinkhorn algorithm as a transformation， and provided a solution algorithm for the multi resolution model. Case analysis shows that under non exponential distribution and free competition environments， the guarantee scheduling scheme has robustness.

Keywords：

equipment guarantee; resource distribution; guarantee scheduling; optimal transmission

0 引 言

裝備保障是通過提供人員人力、備品備件、設施設備、技術資料、法規制度等使得裝備系統保持和恢復規定功能的活動，包括使用保障和維修保障［1］，在作戰實施階段裝備保障能力集中體現為保障資源調度能力。聯合作戰條件下多兵種聯合、跨區域作戰成為常態，裝備保障的“面向區域”特性顯著。區域作戰中，作戰任務、武器裝備和保障環境具有更強的區域約束和不確定性，表現為不確定任務約束、不確定需求約束和不確定環境約束。隨著作戰進程推進，武器裝備和保障單元位置發生動態變化，也表現出不確定位置約束。作戰中保障先行，因此不確定條件下的保障調度能力直接影響甚至決定區域作戰勝負［2］。

基于型號的裝備保障是通過提高保障系統效率更好地恢復單裝的功能狀態，聚焦點主要在于保障系統的分析和建模，通常是根據保障系統組成要素及關系構建定性和定量模型［3］。定性模型主要分析保障系統的基本框架、主要流程和運行機理，定量模型主要進行保障需求預測、保障資源配置、保障任務調度和保障資源調度。保障任務調度和保障資源調度的區別在于保障系統粒度，任務調度是粗粒度層面，資源調度是細粒度層面，也可統稱為保障調度。定量模型主要4類：① 考慮系統目標和資源約束，可建立數學規劃模型，適用于簡單系統;② 考慮任務層次和領域知識，基于確定任務和保障需求，可建立層次任務網絡模型，充分利用決策者認知，適用于大規模復雜系統;③ 考慮人力約束和工序調度，可建立資源受限項目調度模型，適用于人力受限和工序明確的系統;④ 考慮智能體及智能體交互，可建立仿真模型，適用于解析模型難以建立和信息缺失的系統。以上研究的共同點是認為保障資源需求是已知的確定數量或概率分布，并且是從任務裝備的時間視角上看。而區域保障問題中，是多個裝備同時需要保障系統來保障，此時保障系統需要統籌考慮區域裝備任務、技術狀態、環境條件等進行區域保障調度。因此，區域保障調度反映的是一定時間和區域內作戰裝備體系和保障組織體系之間的資源互動，保障資源需求不僅具有時間屬性還具有空間屬性，即具有一定的空間分布特征，相應的保障資源供應也隨著任務進程變化而具有一定的空間分布特征，此時區域保障調度問題即為兩個體系中分布資源的最優匹配。目前，關于區域保障的研究，主要以體系結構、保障流程、保障機制等內容的定性分析為主，定量研究有任務分配模型［4-5］。現有研究存在3個問題：① 基于時間的保障需求反映不出來區域保障需求的空間分布特點，模型缺乏區域整體視角;② 現有保障模型不具有宏觀和微觀的結構一致性，無法滿足不同層級間互動時模型轉換的需求;③ 傳統調度問題中，保障資源數量的準確掌握是模型計算的前提，而由于實際任務中存在大量不確定性往往無法準確預測資源數量，如何基于資源分布特征建立保障調度模型成為面向任務裝備保障中的關鍵問題。

文獻［6-10］ 中指出，需求特征可從需求到達時間間隔和需求到達規模進行分析，分為不穩定需求、平滑需求、塊狀需求和間歇性需求。在區域任務中，保障需求與區域特性、裝備特性、機構功能、使用強度、任務環境等密切相關，是上述4種需求類型的綜合體現，表現出一定分布特征，同時保障供應也隨之呈現一定分布特性。

可以看到，區域保障調度問題的本質是資源的供應分布如何以最優方式匹配到資源的需求分布。近年來，引起廣泛關注的最優傳輸理論，給出兩個分布之間的距離度量，描述兩個分布之間數據傳輸的最優方式，給出不同層級分布數據的信息傳遞路徑，為區域保障調度問題提供新的思路。最優傳輸由推土機問題而來，考慮如何以最小的成本將質量從源分布運輸到目標分布。給定兩個非負質量u和v，在總質量相等的情況下，尋求一種將質量從分布u中移動的傳輸圖T：xay到v使得運輸成本∫C（x，y）dx最低，此時最優傳輸記為T#u=v。這里C（x，y）為從點x到y每單位質量的運輸成本［11］。2013年，Cuturi［12］提出熵正則化的最優傳輸問題，并提出近似算法sinkhorn［13-15］，之后最優傳輸理論廣泛用于圖像處理、機器學習、統計學、故障診斷、資源配置等領域中。

本文的基本思路是基于資源的空間分布特征，運用最優傳輸理論，建立區域保障調度模型，包括區域任務層面的“作戰編組-保障機構”粗粒度模型和具體任務層面的“作戰裝備-保障單元”細粒度模型，然后以案例為基礎進行模型的拓展討論，得出資源分布視角下保障調度的一些新結論。

1 模型構建

1.1 資源分布視角下區域保障調度基本模型

假設區域內有m個保障機構和n個保障對象，如何以最優的方案從保障機構中調度某種資源以滿足保障對象的任務需要。其中，保障機構集合為{X1，X2，…，Xm}，保障機構供應的資源分布為{（x1，u1），…，（xi，ui），…，（xm，um）}，xi和ui分別為Xi的位置和資源數量;保障對象集合為{Y1，Y2，…，Yn}，保障對象需要的資源分布為{（y1，v1），…，（yj，vj），…，（yn，vn）}，yj和vj分別為Yj的位置和資源數量;資源從Xi輸送到Yj的成本為Cij，資源從Xi輸送到Yj的數量為Tij。

從區域資源分布視角看，資源的供應分布為u=∑mi=1uiδxi，資源的需求分布為v=∑nj=1vjδyj。δxi、δyj為狄拉克函數，含義如下：

δxi=1， 區域內xi處有某資源

0， 區域內xi處無某資源

δyj=1， 區域內yj處需要某資源

0， 區域內yj處不需某資源

建立區域資源分布視角下保障調度基本模型如下：

argminT∈U（u，v）∑mi=1∑nj=1CijTij（1）

∑nj=1Tij=ui，i=1，2，…，m（2）

∑mi=1Tij=vj，j=1，2，…，n（3）

式中：模型中資源供應ui、資源需求vj、輸送成本Cij、輸送數量Tij均為非負數;U（u，v）為u和v的聯合分布，u和v分別為資源的供應分布向量和資源的需求分布向量。

顯然，形式上這是一個典型的線性規劃問題，但不同于經典線性規劃。這里的u和v為聯合分布U（u，v）在u和v的邊緣分布，u分布與保障區域劃分、區域機構位置及資源配置有關，v分布與保障區域劃分、區域裝備位置及受擊概率有關。

1.2 資源分布視角下區域保障調度模型內涵

根據保障調度模型，結合最優傳輸理論，從成本結構、分布距離、分布特征和計算結果4個方面進行模型內涵解讀。

（1） 成本結構

成本Cij可以考慮輸送距離、保障關系和重要度等要素。考慮距離時，定義Cij=d（xi，yj）p，d（xi，yj）=|xi－yj|，d（xi，yj）為xi和yj的距離。p為正整數，一般情況下取1和2;如還考慮Xi和Yj之間的保障關系θij，定義Cij=Cij/θij，θij取值集合如設定為{1e－3，1，1e3}，1e－3表示無關系，1表示有關系，1e3表示Yj在Xi具有較高優先級;如還考慮Yj重要度ej，定義Cij=Cij/ej，ej可以由專家打分得到相應重要度分值。

（2） 分布距離

本文中考慮資源分布特征，需要衡量兩個分布之間的距離。兩個分布之間的距離度量一般采用KL（Kullback-Leibler）散度和JS（Jensen-Shannon）散度，KL散度描述兩個概率分布之間差別的非對稱性的度量，JS散度為KL散度的變體，解決了KL散度非對稱的問題，但當兩個分布沒有重疊的時候，KL散度值沒有意義，JS散度為一個常數，梯度消失。此時，這兩個散度無法衡量分布之間的距離，而最優傳輸理論中的Wasserstein距離，可在兩個分布沒有重疊或重疊非常少時，仍然能夠反映兩個分布的遠近。

根據最優傳輸理論［16-22］，分布距離是兩個點云之間的距離，用任意一對點依照一個聯合分布采樣之后其距離的期望的最小值來度量，數學定義如下：

dw（u，v）=infT∈U（u，v）" Ex，y～T［d（xi，yj）］（4）

此時，使得這個期望達到最小值的分布T即為最優傳輸方案。

由此，區域保障調度模型中資源從供應分布到需求分布的距離定義為

Lc（u，v）=defmin∑mi=1∑nj=1CijTij，T∈U（u，v）（5）

當找到最優傳輸T使得模型的目標函數最小時的距離為Lc（u，v），稱為Wasserstein距離［23-26］。當Cij=d（Xi，Yj）p時，Wp（u，v）=defLdp（u，v）1/p，稱Wp（u，v）為p-Wasserstein距離。

（3） 分布特征

供應分布反映的是保障資源配置情況，與所在區域機構及其屬性有關，需求分布反映的是保障資源需求情況，與所在區域裝備及其屬性有關。屬性發生變化時，u和v發生變化，成本Cij發生變化，保障調度方案發生變化。

1.3 資源分布視角下區域保障調度多分辨率模型

區域任務中，不同層次決策者需要建立相應層級保障調度模型。在上述問題背景中，進一步獲得拓展的高分辨率信息：保障機構的所有保障單元的位置和資源數量、保障對象的所有裝備單元的位置和資源數量。問題進一步描述如下：保障機構Xi是保障單元{Xi1，…，Xik，…，XiiK}的集合，保障機構Xi供應的資源分布為{（xi1，hi1），…，（xik，hik），…，（xiiK，hiiK）}，xik和hik分別為Xik的位置和資源數量，hi={hi1，…，hik，…，hiik}為Xi的資源供應向量;保障對象Yj是裝備單元{Yj1，…，Yjl，…，YjjL}的集合，保障對象Yj需要的資源分布為{（yj1，gj1），…，（yjl，gjl），…，（yjjL，gjjL）}，yjl和gjl分別為Yjl的位置和資源數量，gj={gj1，…，gjl，…，gjjL}為Yj的資源需求向量。同樣，有hi=∑iKk=1uiδxik，為gj=∑jLj=1vjδyjl。δxik、δyjl為狄拉克函數。∑mi=1iK=M，∑nj=1jL=N，M和N分別為保障單元和裝備單元總數。資源從Xik輸送到Yjl的成本為Cijkl，資源從Xik輸送到Yjl的數量為Tijkl。

進一步，建立區域保障調度多分辨率模型，包括粗粒度模型和細粒度模型。粗粒度模型同上，細粒度如下：

dw（hi，gj）=arg minT∈U（hi，gj）∑iKk=1∑jLl=1CijklTijkl（6）

∑jLl=1Tijkl=hik，k=1，2，…，iK（7）

∑iKk=1Tijkl=gjl，l=1，2，…，jL（8）

Cijkl=d（xik，yjl）p（9）

其中，粗粒度模型中的Cij無法再用Xi到Yj的歐式距離d（xi，yj）計算，因其各自都包含多個單元，而每個單元位置、供需情況均不同，此時可以用最優傳輸理論的分布距離作為Cij，即Xi中保障單元的供應分布到Yj中裝備單元的需求分布的Wasserstein距離dw（hi，gj）。可以看到，分布距離與成本結構的這種轉換關系，使得粗、細粒度模型之間可以很好地實現信息傳遞，同時由于粗、細粒度模型的結構一致性，改模型在復雜系統層次化調度中具有明顯優勢。

因此，區域保障調度問題用最優傳輸理論來解讀，其本質就是找到供應方資源分布到需求方資源分布的最優傳輸方案。

2 算法設計

2.1 sinkhorn算法

最優傳輸的計算復雜度過高使得應用一直受限［27］。求解最優傳輸的算法主要有3類，一是采用線性規劃可求得精確解，由于線性規劃最優解是從可行域多面體上的頂點中去找，存在無最優解和多個最優解情況，尤其在大規模復雜線性規劃模型中，最優解具有稀疏性，計算效率低，同時計算復雜度為O（n3），即當數據量增大n倍時，計算耗時增加n的立方倍;二是采用最優傳輸設定下的標準優化算法，包括加速梯度下降法和擬牛頓法，該算法十分有效，但是理論分析還有待發展;三是熵正則化方法，該方法通過將目標函數熵正則化，可以使得問題在解空間上更加光滑，增加了問題的凸性，保證有唯一最優解，目前應用最為普遍［28-33］。以粗粒度模型為例，通過傳輸計劃對目標函數進行正則化，即在Wasserstein距離基礎上加入熵正則化項，得到sinkhorn距離，即LλC（u，v）=minT∈U（u，v）∑mi=1∑nj=1Cij·Tij－1/λ·H（T），其中H（T）=－∑mi=1∑nj=1Tij（lnTij－1）。H（T）為T的信息熵，T分布越均勻，信息熵越大。熵正則化參數λ負責調整信息熵的影響程度，λ越大，表示信息熵的影響越小，最終結果受成本矩陣的影響越大，即表示傾向于集中式保障;反之，λ越大，表示傾向于分布式保障。

針對sinkhorn距離LλC（u，v）=∑i，jCijTij－1/λ·∑i，jTij·（lnTij－1），對其求偏導有LλC/Tij=Cij－1/λ·（（lnTij－1）+Tij·1/Tij），得到LλC/Tij=Cij－1/λ·lnTij，令LλC/Tij=0，得到Tij=eλCij。由此得到最優傳輸模型的近似算法，即sinkhorn算法，基本流程如算法1所示。顯然，該算法流程簡單，具有高效性和收斂性，在解決大規模問題上表現出優越性能。

2.2 區域保障調度多分辨率模型算法

在區域保障調度多分辨率模型求解時，還需考慮量綱差異和不均衡調度問題。針對信息在粗、細粒度模型傳遞中的量綱差異，如歐式距離、分布距離等，采用歸一化處理;針對粗、細粒度模型中的資源數量不均衡調度，采用概率化處理，將其轉化為概率層面的均衡調度問題，即供應數量分布轉換為供應的空間概率密度分布，需求數量分布轉換為需求的空間概率密度分布。概率化處理后，首先通過sinkhorn算法計算得到保障調度概率方案，然后乘以資源的需求總量和配置總量分別得到相應的保障調度方案。模型算法步驟如下。

步驟 1

輸入數據xik，yjl，hik，gjl，概率化處理hik，gjl得到各供需點的概率向量phi，pgj。

步驟 2

根據細粒度模型計算Xi到Yj的分布距離dw（phi，pgj）及其保障調度概率方案PTij。

步驟 3

得到粗粒度模型的成本Cij=dw（phi，pgj）。

步驟 4

輸入數據Cij，ui，vj，概率化處理ui，vj得到概率向量u，v。

步驟 5

根據粗粒度模型計算得到dw（u，v）及其保障調度概率方案PT。

步驟 6

計算粗粒度模型保障調度方案T。

最少資源配置T1=PT·sum（v）和最多資源輸送T2=PT·sum（u）。若sum（u）≥sum（v），此時需求可以滿足，最優保障方案為T1;若sum（u）lt;sum（v），此時需求部分滿足，最優保障方案包括兩部分，前方調度方案T2和后方調度方案sum（T1－T2，2）。

步驟 7

計算細粒度模型保障調度方案Tij。

最少資源配置T1ij=PT·sum（gj）和最多資源輸送T2ij=PT·sum（hi）。

若sum（hi）≥sum（gj），此時需求可以滿足，最優保障方案為T1ij;若sum（hi）lt;sum（gj），此時需求部分滿足，最優保障方案包括兩部分，前方調度方案T2ij和后方調度方案sum（T1ij－T2ij，2）。

步驟 8

輸出粗粒度模型保障調度方案T和細粒度模型保障調度方案Tij。

根據以上算法，可以得到基于一定供需分布的粗、細粒度模型保障調度方案。

3 案例驗證

3.1 案例背景

某次任務前，根據計劃，執行作戰任務共4個編組20型裝備，參與保障任務共5個保障機構12個保障單元，編組和機構的單元、位置、資源供需量等信息如表1和表2所示，保障關系如表3所示，制定任務前保障調度方案。表1和表2中方括號內數據前兩個為位置坐標，后一個為資源數量。

進一步的保障關系，由表3得到，各保障機構與裝備編組內部所有保障單元與裝備單元之間的保障關系相同，并且為該機構與編組的保障關系值，如X1 和Y1的保障關系都是1e-3。

3.2 計算結果

本案例中總供需平衡，取p=2，λ=1，迭代次數為300次，計算結果如下。

（1） 采用sinkhorn、admm、線性規劃3種算法的粗粒度模型結果T如圖1所示，行表示保障機構，列表示裝備編組。

（2） sinkhorn算法細粒度模型結果Tij如圖2所示，行表示各單元內保障單元，列表示各單元內裝備單元。

3.3 算法性能及相關討論

（1） 不同算法性能比較

admm算法是一種求解具有可分離的凸優化問題的重要方法，處理速度好，收斂性能好。本案例模型正則化處理后雖然是凸優化問題，但可分離特點不明顯，因此需要尋找新的算法。前面論證過sinkhorn算法可行性，這里主要用admm算法檢驗sinkhorn算法的計算準確性。從誤差迭代曲線看，二者差異很小;從計算結果看，二者粗粒度模型相差幾乎相同，細粒度模型在局部區域有一定差異。驗證結果表明，所建模型用sinkhorn算法具有較好優勢。后續采用sinkhorn算法求解模型并進行討論。

（2） 不同成本結構比較

本案例中，當p=1時，計算結果不變。當保障關系矩陣從現有數據（保障關系1：固定組合保障關系）調整為矩陣元素全為1（保障關系2：自由競爭保障關系）時，計算結果對比如圖4所示，行表示保障機構，列表示裝備編組。p=1和p=2前后不變是因為細粒度模型成本矩陣發生極微小變化，沒有對粗粒度模型計算結果產生影響。后者變化是因為細粒度模型成本矩陣中前3行的對角線元素發生很大變化，導致粗粒度模型計算結果中前3行元素產生較大影響，尤其是對角線元素影響最大。說明成本矩陣對計算結果的影響具有輻射效應，即某個Cij變化大，相應Tij變化也大，同時相應行列均發生一定變化。

（3） 不同分布函數比較

以粗粒度模型為例，固定成本矩陣進行不同供需分布條件下的計算結果分析。

在小規模模型條件下，如案例中5個供應點和4個需求點，成本為Cij=dw（phi，pgj），分別考慮固定供應分布和固定需求分布兩種情況下的模型求解。第一種情況下，供應分布為正態分布，需求分布分別為正態分布、指數分布和均勻分布，計算結果如圖5所示。第二種情況下，需求分布為正態分布，供應分布分別為正態分布、指數分布和均勻分布，計算結果如圖6所示。

從圖5和圖6可以看到，當供需分布中有指數分布時，保障方案差異較大，當供需分布為正態分布、均勻分布組合時，保障方案變化很小，尤其在供需均為正態分布時，保障方案幾乎無變化。因此，在供需位置和保障關系不變條件下，供需均為正態分布時，保障方案穩定;供需無指數分布時，保障方案相對穩定;供需有指數分布時，保障方案偏差很大。兩種情況下誤差均值如表4所示。在大規模條件下，將本案例擴展為50個供應點和40個需求點，成本矩陣采用repmat（Cij，10，10），也分別考慮固定供應分布和固定需求分布兩種情況下的模型求解。限于篇幅，這里未給出計算結果誤差圖，兩種情況下誤差均值如表5所示。

綜上，得到3點結論：① 供需不同分布函數對保障方案的影響和小規模條件下的規律相同;② 隨著規模增大，余弦距離的誤差基本不變，方差的誤差明顯變小，保障方案越具有穩定性;③ 指數分布在大規模條件下雖然方差的誤差明顯變小，但余弦距離的誤差無明顯變化，仍然很大，保障方案不具有穩定性。

（4） 綜合分析

進一步擴展，將成本矩陣調整為元素全為1（自由競爭保障關系）時，在小規模和大規模兩種條件下進行不同供需分布的計算結果分析，綜合分析如圖7所示。橫軸分布類型中1、2、3分別對應正態分布、均勻分布和指數分布。

從圖7中可以得到如下結論：① 因供需分布引起的保障方案誤差，大規模條件下小于小規模條件下，誤差從小到大依次為正態分布、均勻分布、指數分布，正態分布和均勻分布誤差相近，指數分布誤差遠遠大于前兩者;② 因保障關系引起的保障方案誤差，保障關系1總體大于保障關系2，小規模條件下誤差更大。

4 結 論

本文基于資源空間分布視角，運用最優傳輸理論，建立區域保障調度多分辨率模型，有效挖掘保障供需與保障方案之間的關聯關系。主要貢獻和結論在于：

（1） 提出資源分布視角下的區域保障調度模型。傳統模型的前提假設是已準確預測資源數量，實際任務中資源數量無法準確預測，但可以獲得分布特征。本文運用最優傳輸理論，將區域保障調度問題轉化為如何以最優方式實現區域中保障需求分布與保障供應分布的匹配。

（2） 解決區域保障調度模型層級結構一致性問題。傳統模型粗細粒度模型結構差異較大，信息傳遞復雜，導致復雜系統層次化調度問題難以解決。本文模型所建立的區域保障調度粗、細粒度模型，具有結構一致性、分布距離與成本結構轉換方便的特點，使得在分辨率轉換時模型切換自如。

（3） 根據所建立模型的案例分析，得出關于保障調度的一些新結論。供需中有指數分布時，需要單獨制定方案;供需中無指數分布時，保障方案具有穩定性，尤其在大規模條件下更具有穩定性;固定組合保障關系時，保障方案在小規模條件下具有較大敏感性，自由競爭保障關系時，保障方案在大小規模條件下均具有穩定性。

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作者簡介

胡志剛（1983—），男，講師，博士研究生，主要研究方向為裝備保障、數字化建模。

樓京俊（1976—），男，教授，博士，主要研究方向為裝備保障、數字化建模。

史躍東（1982—），男，副教授，博士，主要研究方向為裝備保障。