基于大指令變化率下的防空導彈姿態控制方法

摘" 要：

針對防空導彈的目標機動性較強帶來的姿態控制品質變差的問題，提出一種事件觸發控制方法。首先分析了由于目標機動性過強導致的指令變化率未知，以及指令變化率過大導致穩態誤差較大的原因。針對此問題引入非線性最速跟蹤微分器獲取指令變化率，研究指令變化率與姿態角誤差之間關系，定義穩態效應指標，并在該指標基礎上設計了基于事件觸發的新增控制量。采用滑?？刂坪蛿_動觀測器使系統在指令變化率較大條件下的穩態誤差被抑制在5%誤差帶之內。在工程實踐的背景下，數值仿真考慮了氣動參數拉偏以及執行機構限幅，仿真結果驗證了設計的控制系統的有效性。

關鍵詞：

防空導彈; 姿態控制; 觸發控制; 微分器; 穩態效應指標

中圖分類號：

V 448.2

文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.28

Attitude control method of air defense missile based on large command change rate

YAN Shuaihao1，*， WEI Mingying1，2， ZHENG Yongbin1

（1. Beijing Institute of Electronic System Engineering， Beijing 100854， China;

2. Beijing Simulation Center， Beijing 100854， China）

Abstract：

Aiming at the problem of poor attitude control quality caused by strong target maneuverability of air defense missile， an event-triggered control method is proposed. Firstly， the unknown command change rate caused by the strong maneuverability of the target and the reason of the large steady-state error caused by the excessive command change rate are analyzed. To solve this problem， a nonlinear fastest tracking differentiator is introduced to obtain the command change rate， the relationship between the command change rate and the attitude angle error is studied， the steady-state effect index is defined， and the new event-based control quantity is designed based on this index. By using sliding mode control and disturbance observer， the steady-state error of the system is suppressed within 5% error band under the condition of higher command change rate. In the background of engineering practice， the numerical simulation takes into account the deviation of aerodynamic parameters and the limiting of actuator， and the simulation results verify the effectiveness of the designed control system.

Keywords：

air defense missile; attitude control; trigger control; differentiator; steady-state effect index

0" 引" 言

近年來，針對各式各樣的飛行器姿態控制系統的學術研究層出不窮，如乘波體飛行器［13］、吸氣式高超聲速飛行器［4］、高超聲速巡航飛行器［5］和高超聲速變外形［6］等各類飛行器，這些研究都取得了豐碩的成果。為解決各類飛行器遇到的問題和挑戰提出了各種控制方法來增強控制系統的魯棒性，例如自適應控制［78］、H∞控制［9］、模糊控制方法［10］和預設性能控制（prescribed porformance control， PPC）［1112］等。文獻［13］的被控對象為乘波體飛行器，所使用的控制方法為預設性能控制。文獻［1］提出有限時間PPC（finite-time PPC， FPPC），基于FPPC設計了無需近似估計的反步控制;文獻［2］在常規預設性能控制基礎上設計了具備自調整功能的新型性能函數，解決了誤差接近或越過PPC邊界而造成的控制奇異問題;文獻［3］解決了傳統PPC的控制輸入飽和問題。為解決文獻［7］由于高超聲速飛行器故障和執行機構滯環等帶來的模型不確定問題設計了高性能自適應控制器。同理，文獻［8］針對參數不確定、非最小相位特性的柔性吸氣式高超聲速飛行器提出了魯棒自適應控制方案，通過自適應律更新系統的未知參數實現魯棒控制。文獻［9］詳述了為解決干擾和不確定性問題而提出的魯棒控制的發展歷程，最終提出一種多變量控制器和擾動觀測器方案。隨著魯棒控制發展，滑?？刂疲?316］愈發體現出其優勢，有更強的魯棒性，而且具有快速響應無需在線辨識，因此一度成為比較有效的選擇。觀測器也是魯棒控制較為重要的組成部分，文獻［17］提出能夠在時間序列展開中估計高階擾動的廣義擾動觀測器。文獻［18］進一步提出一種結構較為簡單的觀測器，其所需要的不確定性導數信息較少。文獻［19］為進一步提高干擾估計精度使用了高階擾動觀測器。但是在文獻研究中這些飛行器的目標多為固定建筑、艦船或車輛等，這類目標機動性能較小，相較于飛行器的機動性目標可視為靜止（體現在文獻中為其仿真的指令多為階躍信號，頻率較低的方波信號、正弦或余弦信號等），因此飛行器的彈道為已知（即使在末端突防時的彈道也已知），進而飛行器的姿態角指令（攻角、側滑角、傾側角）和指令變化率都是已知的或是小量。而防空導彈則不同，防空導彈［20］相較于其他飛行器有明顯的特點，防空導彈的目標多為機動性較強的飛行器，其彈道是由目標的機動決定的，所以飛行器的指令變化率是未知的，而且又由于目標機動性較強導致飛行器的指令變化率較大，指令變化率將不再是小量而無法忽略，和其他文獻中指令變化率為零或小量不同。在控制系統固有響應特性下指令變化率過快會產生較大的穩態誤差，傳統工程比例積分微分（proportion-integration-differentiation， PID）控制器設計時由于忽略指令變化率因此穩態誤差較大，采用滑模控制等先進控制器時雖然考慮了指令變化率，最終的穩態誤差有所減小，但依舊無法滿足對穩態誤差的要求。

因此，在設計控制器時必須進一步考慮其影響。針對上述問題，近年來出現了直接側向力氣動力復合控制［21］。文獻［2223］對直接力/氣動力復合控制系統的結構進行分析并建模，而后一些研究人員將滑模、動態逆、自抗擾和自適應等方法與其結合設計復合控制方法［2425］。周波華［26］基于直接力氣動力各自特點提出指令分配的復合控制方案。但這也存在相應問題，在飛行時直接力的開啟有一個臨界范圍，若復合控制時間不在這個區間內不但會消耗較多燃料還對制導精度有所影響，而且其仿真使用的指令變化依舊不夠快，還不足以滿足飛行器的高機動性能。觸發控制最初被引入飛控系統主要是為了解決信息傳輸問題［27］，如數據傳輸效率、傳輸信道資源的占用和帶寬瓶頸等問題，隨著觸發控制的進一步發展，又將其用來解決飛行器耦合、干擾和魯棒［2831］等問題。Guo等［28］為解決高超音速飛行器的狀態耦合問題，提出一類結合耦合分析的控制方案，基于Lyapunov函數定義耦合效應指標，將耦合效應分為有害耦合效應和有益耦合效應，再結合觸發控制來去除有害耦合效應，保留有益耦合效應進而提高跟蹤性能。文獻［29］通過干擾估計，定義了擾動效應指標并結合觸發控制設計了擾動觸發控制方案。文獻［30］將跟蹤性能與耦合效應相聯系提出涉及性能的耦合效應觸發魯棒控制。文獻［31］構建了包含耦合效應識別項的觸發魯棒控制解決魯棒和耦合問題。因此，在上述文獻啟發下針對采用傾斜轉彎（bank-to-turn， BTT）的飛行器提出在誤差系統下設計控制系統時給指令變化率添加比例增益再結合觸發控制器設計魯棒姿態控制方案，主要特點如下：

（1） 通過引入非線性最速跟蹤微分器（tracking diffe-rentiator， TD）［32］來解決指令變化率未知的問題，而且TD還可以進行降噪進一步提高系統的穩定性;

（2） 給指令變化率添加比例增益引入控制器中，定義了與穩態誤差相關的穩態效應指標，基于該指標提出一種針對防空導彈姿態系統的穩態效應觸發控制;采用滑模控制將穩態誤差在有限時間內控制在一定范圍內，并引入擾動觀測器以提高控制精度。

1" BTT飛行器數學模型

飛行器姿態系統模型如下所示：

α·=wz－wxcos αtan β+wysin αtan β+

mgcos θcos γv－YmVcos β+Δ1

β·=wxsin α+wycos α+gcos θsin γvV+ZmV+Δ2

γ·v=（wxcos α－wysin α）sec β+Y（tan β+tan θsin γv）mV+Ztan θcos γvmV－gcos θtan βcos γvV+Δ3（1）

w·x=JyJxJy－J2xyMx+JxyJxJy－J2xyMy+Jxy（Jz－Jx－Jy）JxJy－J2xywxwz+Jy（Jy－Jz）+J2xyJxJy－J2xywywz+Δ4

w·y=JxyJxJy－J2xyMx+JxJxJy－J2xyMy－

Jx（Jx－Jz）+J2xyJxJy－J2xywxwz－Jxy（Jz－Jx－Jy）JxJy－J2xywywz+Δ5

w·z=1JzMz+JxyJz（w2x－w2y）－Jy－JxJzwxwy+Δ6（2）

式中：α，β，γv分別是攻角、側滑角和傾側角;wx，wy，wz分別是滾轉、偏航和俯仰角速度;θ為彈道傾角;V為速度;J為轉動慣量（飛行器為面對稱飛行器，因此Jxy≠0）;Δi（i=1，2，…，6）為擾動與被控對象的不確定性總和;Y，Z，Mx，My，Mz分別代表升力、側向力、滾轉力矩、偏航力矩和俯仰力矩，表達式如下：

Y=qScy=qS（c0y+cαyα+cδzyδz）

Z=qScz=qS（cβzβ+cδxzδx+cδyzδy）

Mx=mxqSL=（m0x+mβxβ+mδxxδx+mδyxδy+mδzxδz）qSL

My=myqSL=（mβyβ+mδxyδx+mδyyδy+mδzyδz）qSL

Mz=mzqSL=（m0z+mαzα+mδxzδx+mδzzδz）qSL （3）

式中：模型中力和力矩都有一定的擾動，所以c0y=cy0+cy0·Δf，cji=cji0+cji0Δf，mjk=Δf，Δmmjk0+mjk0Δm。Δf，Δm為小量分別代表力和力矩擾動范圍;q為動壓;S為飛行器參考面積;L為參考長度;δx，δy，δz分別為滾轉、偏航和俯仰舵偏;c0y是升力系數的常數項;cαy為升力對攻角的系數；

cβz為側向力對側滑角的系數;cδzy為升力對俯仰舵的系數;

cδxz，cδyz為側向力對滾轉舵和偏航舵的系數;側向力對側滑角的系數；m0x，m0z為力矩系數的常數項;mβx為滾轉力矩對側滑角的系數;mβy為偏航力矩對側滑角的系數；mαz為俯仰力矩對攻角的系數;mδji（i，j=x，y，z）為力矩對舵偏的系數。

令x1=［α，β，γv］T，x2=［wx，wy，wz］T，u=［δx，δy，δz］T，將式（3）代入式（1）和式（2），飛行器姿態系統模型可表示為

x·1=F11（x1）x2+F12（x1）+d1

x·2=F21（x1）x1+F22（x2）+b（x1）u+d2（4）

式中：

F11（x1）=－cos αtan βsin αtan β1

sin αcos α0

cos αsec β－sec βsin α0

F12（x1）=－qS（cy0+cαy0α）mVcos β+gcos θcos γvVcos β

qScβz0βmV+gcos θsin γvV

qS（cy0+cαy0α）（tan β+tan θsin γv）mV+

qScβz0βtan θcos γvmV－gcos θtan βcos γvV

F21（x1）=0qSL（Jymβx0+Jxymβy0）JxJy－J2xy0

0qSL（Jxymβx0+Jxmβy0）JxJy－J2xy0

qSLmαz0Jz00

F22（x2）=

Jxy（Jz－Jx－Jy）JxJy－J2xywxwz+Jy（Jy－Jz）+J2xyJxJy－J2xywywz

－Jx（Jx－Jz）－J2xyJxJy－J2xywxwz－Jxy（Jz－Jx－Jy）JxJy－J2xywywz

Jxy（w2x－w2y）Jz－Jy－JxJzwxwy

b（x1）=

qSL（Jymδxx+Jxymδxy0）JxJy－J2xyqSL（Jymδyx0+Jxymδyy0）JxJy－J2xyqSL（Jymδzx0+Jxymδzy0）JxJy－J2xy

qSL（Jxymδxx0+Jxmδxy0）JxJy－J2xyqSL（Jxymδyx0+Jxmδyy0）JxJy－J2xyqSL（Jxymδzx0+Jxmδzy0）JxJy－J2xy

qSLmδxz0Jz0qSLmδzz0Jz

d1=Δ1

Δ2

Δ3

d2=Jym0xqSLJxJy－J2xy+Δ4

Jxym0xqSLJxJy－J2xy+Δ5

m0zqSLJz+Δ6

Δ1

Δ2

Δ3=－qSΔf（cy0+cαy0α）mVcos β+Δ11

qSΔfcβz0βmV+Δ21

qSΔf（c0y0+cαy0α）（tan β+tan θsin γv）mV+

qSΔfcβz0βtan θcos γvmV+Δ31

Δ4

Δ5

Δ6=JyqSLΔmJxJy－J2xy（mβx0β+mδxx0δx+

mδyx0δy+mδzx0δz）+Δ41

JxyqSLΔmJxJy－J2xy（mβy0β+mδxy0δx+

mδyy0δy+mδzy0δz）+Δ51

m0zqSLΔmJz（mαz0α+mδxz0δx+

mδzz0δz）+Δ61

式中：Δi1（i=1，2，…，6）為外部擾動。而后，將式（4）轉化為誤差系統，指令xc=［αc，βc，γvc］T，設誤差狀態e1=x1－xc，e2=x2－x2d，xc為姿態角指令，x2d為虛擬輸入x2c的一階低通濾波的輸出，對其求導有：

e·1=F11（x1）x2+F12（x1）+d1－x·c

e·2=F21（x1）x1+F22（x2）+b（x1）u+d2－x·2c（5）

將式（5）進行轉化：

e·1=F11e2+F11x2d+F12+d1－x·c

e·2=F21e1+F21xc+F22+bu+d2－x·2c（6）

由式（6）可知設計控制器時需要已知指令變化率x·c。

本文的主要工作：

（1） 針對目標特性提出一種近似方法近似代替控制器中用到的指令變化率;

（2） 提出一種控制方法以確保控制系統在指令變化率較大和存在未知擾動情況下，攻角α、側滑角β和傾側角γv能夠跟蹤姿態角指令αc，βc，γvc，且將穩態誤差控制在5%的誤差帶以內。

2" 指令變化率相關分析

2.1" 微分器設計

由式（6）可知，無論采用任何控制方法都需要已知指令變化率x·c，指令變化率為姿態角期望值對時間的導數而得到，即

α·c=dαcdt

β·c=dβcdt

γ·vc=dγvdt

這種表達直觀易理解，也被廣泛采用。但是根據函數f（t）在某一時刻的導數定義：

f·（t）=limΔt→0f（t+Δt）－f（t）Δt（7）

由于目標的特殊性可知式（7）中的f（t+Δt）是未知的，而這正是指令變化率未知的原因。

為解決這一問題，引入非線性最速TD［32］：

f·1=f2

f·2=－r2sign（f1－v（t））|f1－v（t）|α－rf2（8）

式中：r為待設計參數；v（t）為輸入信號。狀態f1跟蹤輸入信號v（t），而f2=f·1可以視為輸入v（t）的近似微分，取不同的參數r，0lt;αlt;1跟蹤微分效果不同，通過選取合適的參數使通過TD獲得的微分與真實微分之間差值為小量，而且由TD的性質可知其還包含降噪的作用。在本文中，飛行器的姿態角指令xc為輸入v（t），用f2近似作為姿態角的指令變化率x" ·c，再通過魯棒控制進行穩定控制。

x·c≈x·cT+ε，其中x·c為真實指令變化率，x·cT為xc通過TD獲得的近似指令變化率，ε為小量，此估計x·c≈x·cT+ε可以生效。

TD最初是用來從被噪聲污染的信號中合理提取微分信號，其所用的數據都是當前以及過去時刻的數據，并未涉及未來時刻數據，因此避免了f（t+Δt）未知的問題，本文引入了非線性最速TD對姿態角指令進行處理并獲得其近似指令變化率，通過魯棒控制，進而實現控制系統的設計。

2.2" 指令變化率對穩態誤差影響分析

為抑制指令變化率過大引起的穩態誤差，借鑒近期針對耦合、干擾等項提出的耦合效應觸發控制 （coupling effect-triggered control， CETC）［28，30］，干擾觸發控制［29］等觸發［6］控制方法的思想。針對指令變化率定義指標，并結合觸發控制設計控制器，分析其對姿態模型的影響。

2.2.1" x·c對穩態誤差影響分析

對于式（6）誤差系統按照理論設計控制器為

x2c=－F－111（F11e2+F12+d1－x·c+

K1e1）

u=－b－1（F21e1+F21xc+F22+d2

－x·2c+K2e2） （9）

式中：K1=diag（k1i），K2=diag（k2i）∈R3×3為待設計的正定參數。

控制器設計時按照分層設計如圖1所示。由圖1可知，系統首先通過模型式（1）和式（2）（t時刻）推導獲得式（6）誤差系統，再由誤差系統計算x2c（外環控制器），通過一階低通濾波后計算出內環控制器u。在此過程中，存在τ時刻的延時，在將u帶入彈體模型（t+τ時刻）時，由于指令變化率過大，用于計算控制器的指令變化率x·c（t）與所帶入此刻彈體模型中的x·c（t+τ）不相同（后用x·c1表示），而是存在差值x·c1－x·c=ε。

將式（9）控制器代入式（6）中可得

e·1=x·c－x·c1－K1e1

e·2=－K2e2 （10）

取Lyapunov函數V=1/2 eT1e1，聯合式（6）和式（10）可得

V·=eT1（x·c－x·c1）－12K1eT1e1

當指令變化率為小量時，彈體模型中的x·c1與控制器中的x·c相差較小，即x·c1－x·c≈0，V·=－K1eT1e1lt;0，系統最終穩定。然而，本文所探討的指令變化率較大，這就導致當存在延時時x·c1－x·c不再約等于0，而是x·c1－x·c=ε，則V·=eT1ε－K1eT1e1≤e1ε－λK1e12，引入楊氏不等式可得

V·≤e12+ε24－λK1e12=

－（λK1－1）e12+ε24≤－（λK1-1）V+ε24

式中：λK1=min{K1i}，i=1，2，3。因此，根據Lyapunov穩定理論［33］可知，V在M={V/V≤（ε2）/（4λK1-1）}最終有界，但是由于ε較大，因此給系統的穩態誤差帶來較大影響，最終e1雖然有界，但穩態誤差較大，遠遠超出了5%誤差帶。如圖2和圖3所示，用傳統的滑?？刂圃O計控制器最終的跟蹤效果（指令為攻角），可以看到穩態誤差較大，已經超出5%誤差帶。如果預采取提高系統增益加快響應減小穩態誤差的措施，系統反而發散。

2.2.2" 穩態效應指標

針對上述分析，提出為控制器中x·c增加比例系數并結合穩態效應指標設計觸發控制系統，首先以式（4）姿態角系統分析其對系統的影響，而后揭示指標與Lyapunov穩定性之間的聯系，以此解決穩態誤差較大問題。

取Lyapunov函數：

V=12eT1e1

為控制器中x·c增加比例系數K，則虛擬控制取為

x2c=－F－111（F11e2+F12+d1－Kx·c1+K1e1）

式中：K=diag（k01，k02，k03）∈R3×3為比例系數;K1為正定待設計矩陣。而指令變化率較大導致：

x·c1（t+τ）－x·c（t）≠0

由于延時時間τ較短，所以x·c1－x·c=ε，將虛擬控制帶入Lyapunov函數中得

V·=eT1（Kx·c1－x·c）－eT1K1e1=

eT1（K－I）x·c－eT1K1e1+eT1Kε

式中：－eT1K1e1lt;0。由于其延時時間較短，ε遠小于x·c，相較而言V·中的eT1（K－I）x·c對V·有較大影響，因此需通過設計將eT1（K－I）x·clt;0，以保證最終的Lyapunov穩定。

定義 1" 考慮式（4）姿態角系統，指標定義為

J=sgn（e1）sgn（x·c）

式中：符號表示逐元素乘積;e1是姿態角誤差量;J∈R3×1。為確保V·中的eT1（K－I）x·clt;0，可設計比例參數K為如下形式：

k0i－1lt;0， Jigt;0

k0i－1gt;0， Jilt;0， i=1，2，3 （11）

此設計的數學含義為：通過定義指標，設計參數K以保證V·中的eT1（K－I）x·clt;0，為后續證明系統的Lyapunov穩定作鋪墊;其物理含義為：模型的指令變化率為x·c，當x·cigt;0，e1i=x1i－xcigt;0時，Jigt;0，控制指令繼續增大，此時反饋輸出已經大于指令。為了提高控制品質，設計k0ilt;1使控制器中的k0ix·cilt;x·ci，減小控制器輸出，減緩系統響應，使誤差趨于零。當x·cigt;0，e1i=x1i－xcilt;0時Jilt;0，控制指令繼續增大，此時反饋輸出小于指令，系統跟蹤指令過慢，設計k0igt;1使控制器中的Kx·cgt;x·c，增加控制器輸出，加快系統響應，使誤差趨于零。這里和文獻［28］不同的是，文獻［28］中定義的耦合或干擾效應指標分為有害或有利，在設計控制器時，有害時去除，有利時保留。而本文設計的指標是為了設計比例參數。

定理 1" 對于定義1，下面關系恒成立：

eT1（K－I）x·clt;0（12）

證明" 由式（11）可知，由指標J的取值設計K使得eT1·（K－I）x·clt;0恒成立。

證其穩定性，取Lyapunov函數：

V=12eT1e1

加入比例系數的虛擬控制為

x2c=－F－111（F11e2+F12+d1－Kx·c1+K1e1）

代入誤差系統中得

V·=eT1（Kx·c1－x·c）－

eT1K1e1=

eT1（K－I）x·c－eT1K1e1+KeT1ε=

P1+P2

P1=eT1（K－I）x·c，P2=－K1eT1e1+KeT1ε

首先，對P1分析由定理1可知P1lt;0恒成立;

P2=－eT1K1e1+eT1Kε≤－λK1e12+λKe1ε≤

－λK1e12+λK（e12+ε24）≤

－（λK1－λK）e12+λKε24

≤－λV+λKε24

式中：K∈R3×3為通過指標所設計的比例參數;λK1=min（K1i），λK=min（K0i），λ=min{λK1－λK}。因此，可對比例參數進行設計：當k0ilt;1時取k0ilt;0，以此保證當k0ilt;1時V·lt;0，則e1收斂;當k0igt;1時取1lt;k0ilt;1.5，以此保證當k0igt;1時V·lt;－λV+λKε/4，則在M={V/V≤λKε/（4λ）}有界，而且k0i雖然大于1但并未大很多。因此，可得Jilt;0時，取k0ilt;0使得V·lt;0，則系統收斂;Jigt;0時，取1lt;k0ilt;1.5使得V·lt;－λV+λKε/4，則系統有界，即e1一段時間收斂一段時間有界，最終使e1控制在5%誤差帶中達到控制目的。

證畢

3" 控制系統設計

由于目標的快速機動特性，防空彈主要特征之一就是快速響應和較大的過載，除目標機動性強帶來的穩態誤差較大的問題，而且大過載會導致攻角在短時間內快速增加，大攻角會導致氣動力矩變大，而且氣動力矩變化斜率將不再是線性的而是非線性。另外，氣動參數具有較大的不確定性，這就要求設計的控制系統，不僅要保持良好的動態性能和將穩態誤差控制在5%誤差帶，而且能夠具有適應不確定性（既有外部擾動也有模型的不確定性）的強魯棒性。因此，引入了干擾觀測器綜合設計控制系統。

3.1" 干擾觀測器設計

令ξ=［xT1，xT2］T，D=［DTF，DTM］T=［d11，d12，d13，d21，d22，d23］T，式（4）轉化為

ξ·=Aξ（ξ）+Bξu+D（13）

式中：Aξ（ξ）=F11x2+F12

F21x1+F22∈R6×1，Bξ=0

b，其中F11，F12，F21，F22，b，0∈R3×3為式（4）中的F11（x1），F12（x1），F21（x1），F22（x2），b（x1）。

引入如下擾動觀測器來增強控制系統的魯棒性：

z·=Aξ（ξ）+Bξu+D^（14）

D^=－∑rk=0mkck，ck=z－ξ， k=0

∫t0ck－1dτ， k≥1 （15）

式中：z∈R6×1為觀測器狀態;D^=［D^1，D^2，D^3，D^4，D^5，D^6］T為擾動D的估計值;mk∈R6×6是待設計參數。為解釋設計觀測器的基本原理，將估計量D^1表示為

D^1=－∑rk=0m1，kc1，k，c1，k=z1－ξ1， k=0

∫t0c1，k－1dτ， k≥1（16）

假設 1" 干擾D1和其r+1階導數都是有界的，其中|D（i）1|≤δ（i=0，1，…，r+1），δ為正常數。

引理 1" 對于姿態系統式（4），若假設1成立，將觀測器設計為式（14），參數m1，k為m1，k=Ck+1r+1Λk+1，其中Λgt;1，Cj+1r+1=（r+1）?。╦+1）?。╮－j）！。

則估計誤差最終可收斂到如下區域：

limt→∞|D^1－D1|≤δΛr+1（17）

證明可見文獻［19］。

3.2" 控制器設計

干擾觀測器式（13）給出了不確定性的估計值D=［DTF，DTM］T，然后考慮姿態誤差系統及上述分析設計控制器。

給出姿態控制系統的控制器并對其穩定性進行分析，首先需要做一些準備工作。本文設計的被控對象是面對稱飛行器，在飛行軌跡中保持側滑角為零，而det（F11（x1））=－sec β，因此det（F11）≠0其是可逆的，通過氣動系數可知輸入系數b也是非奇異的。

選擇姿態角系統式（4）中式（1）滑模面［33］為

S1=e1+∫t0（M1e1+C1）dτ

C·1=N1sign（e1） （18）

式中：M1=diag（m11，m12，m13）

N1=diag（n11，n12，n13） 為正的待設計參數矩陣;

e1=［|e11|12sign（e11），|e12|12sign（e12），|e13|12sign（e13）］T。

式（18）采用了超扭矩算法［3435］，當S1進入有界區域，狀態e1到達原點。

由此內環虛擬控制器為

x2c=－F－111（F11e2+F12+D⌒F－Kx·c+

M1e1+C1+K1S1）（19）

式中：K1=diag（k11，k12，k13） （k1igt;0，i=1，2，3）為增益陣。

同理，式（4）姿態角系統中式（2）的滑模面為

S2=e2+∫t0（M2e2+C2）dτ

C·2=N2sign（e2） （20）

式中：M2=diag（m21，m22，m23）

N2=diag（n21，n22，n23） 為正的待設計參數矩陣;

e2=［|e21|12sign（e21），|e22|12sign（e22），|e23|12sign（e23）］T

一階低通濾波器x2d取為

x·2d=－τx2d+τx2c，x2c（0）=x2d（0）（21）

式中：τ=diag（τ1，τ2，τ3）（τigt;0，i=1，2，3）;K2=diag（k21，k22，k23）（k2igt;0，i=1，2，3）。

控制器為

u=－b－1（F21e1+F21xc+F22+D⌒M－x·2c+

M2e2+C2+K2S2）（22）

式中：D^F，D^M由定理1獲取，比例參數K=diag（k01，k02，k03）。整體控制方案如圖4所示。由圖4可得，通過姿態角誤差和指令變化率組成的穩態指標的符號來進一步指導控制器中的控制參數設計：當Jigt;0時，控制指令繼續增大，此時反饋輸出已經大于指令，設計K0ilt;1使控制器中的K0ix·cilt;x·ci，減小控制器輸出，減緩系統響應;當Jilt;0時，控制指令繼續增大，此時反饋輸出小于指令，系統跟蹤指令過慢，設計K0igt;1使控制器中的K0ix·cigt;x·ci，增加控制器輸出，加快系統響應，減小姿態角誤差。其本質是根據指令的變化率和控制品質要求，提前給出需要的控制量，改善系統穩態誤差。

本文主要針對防空導彈目標的特殊性設計控制器，主要解決了：① 指令變化率未知;② 指令變化率過大導致的穩態誤差較大的問題。

系統穩定性證明：

取Lyapunov函數為V=1/2 （ST1S1+ST2S2），由式（16）～式（21）對V求導可得

V·=ST1S·1+ST2S·2=

ST1（Kx·c1－x·c）－ST1K1S1－

ST1d～1－ST2d～2－ST2K2S2=

ST1（K－I）x·c－ST1K1S1+

ST1Kε－ST1d～1－ST2d～2－ST2K2S2

=P1+P2+P3（23）

式中：

P1=ST1（K－I）x·c

P2=－ST1K1S1+ST1Kε

P3=－ST1d～1－ST2d～2－ST2K2S2（24）

首先對P2部分分析可有：

P2=－ST1K1S1+ST1Kε≤－λK1S12+λKS1ε，由楊氏不等式可有：S1ε≤S12+14ε。

P2≤－λK1S12+λKS1ε

≤－λK1S12+

λK（S12+14ε2）=

－（λK1－λK）S12+K4ε2（25）

對P3部分分析可有：

P3≤S12+14d～12+S22+14d～22

－λK2S22（26）

由引理1可知：

P1=ST1（K－I）x·clt;0（27）

由式（23）～式（27）可知：

V·=P1+P2+P3≤-（λK1-λK）S12+λK4ε2+

S12+14d～12+S22+14d～22-λK2S22=

-（λK1-λK-1）S12-（λK2-1）S22+

（d～21+d～22+λKΔ2）4=

-λV+（d～21+d～22+λKΔ2）4（28）

式中：

λK1=min（k1i）;λK=min（k0i）;λK2=min（k2i）;

λ=min{λK1－λK－1，λK2－1}。因此，根據Lyapunov穩定定理［35］可知V是最終有界的。

4" 仿真研究

4.1" 結果分析

在本節中，進行了數值仿真來驗證所提出的控制方法的有效性，飛行器的指令和控制參數都在表1中給出。執行機構的幅值約束為-25°≤δx，δy，δz≤25°，將干擾定義為

d11=0.05sin（2πt）

d12=0.001sin（πt）

d13=0.05cos（πt）

d21=0.5+0.5sin（2πt）

d12=0.1+0.01sin（πt）

d13=0.5+0.5cos（πt）

將各項參數確定后進行仿真校驗結果如圖5～圖9所示。圖5表示三通道最終的跟蹤結果，可看出攻角α、側滑角β和傾側角γv能夠快速、精確跟蹤指令。圖6為干擾估計，可以看出干擾估計能夠較快跟蹤上真值。圖7表示俯仰通道的跟蹤誤差和執行機構曲線，可以看出，在指令變化率較大時最終的穩態誤差抑制在5%誤差帶中。所提出的控制方法本質是根據指令的變化率和控制品質要求，提前給出需要的控制量，在目標機動性較強而且存在外部干擾情況下不僅能提高穩定性，還能實現良好的跟蹤性能。不可避免的是會引起執行機構局部跳變，其原因是穩態效應指標極性變化帶來的設計增益K的變化。圖10為所設計最速TD獲得指令變化率的效果，可以看出，最終通過微分器獲得的近似值與實際值之差為小量。

4.2" 氣動拉偏

為檢驗控制律，將氣動拉偏也考慮進去，拉偏范圍設定為±20%。仿真結果如圖11～圖13所示。

由圖11～圖13可以看出，在正負拉偏情況下能跟蹤指令信號，而且誤差抑制在5%誤差帶內，這說明所設計的姿態控制器能夠適應氣動系數的不確定性變化，有較強的魯棒性。

5" 結" 論

本文討論了防空導彈由于目標機動性過強導致的指令變化率未知，以及指令變化率過大導致的穩態誤差較大的問題，研究了一種基于指令變化率下的高品質姿態控制方法。針對此問題引入了非線性最速TD獲取指令變化率，并基于指令變化率和姿態誤差物理量，定義了穩態效應指標，結合觸發控制提前給出需要的控制量，改變控制器中控制參數，提高了系統穩定性，而且使穩態誤差抑制在5%誤差帶之內。仿真結果驗證了閉環系統具有良好的控制品質。

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作者簡介

閆帥豪（1998—），男，碩士研究生，主要研究方向為飛行器穩定控制方法。

魏明英（1966—），女，研究員，碩士，主要研究方向為飛行器總體設計和制導控制。

鄭勇斌（1978—），男，研究員，碩士，主要研究方向為導航、制導和控制。