羅士琳與勾股數

清代中期，乾嘉學派對傳統算學典籍文獻進行了許多發掘與整理工作，其宗旨是“興復古學、昌明中法”，目的是復興和發展傳統算學。繼吳派、皖派之后，以阮元為代表的揚州學派崛起，有一批學者與阮元亦師亦友，或為弟子和門生，其中有數學家羅士琳、焦循等。

羅士琳（1784—1853），清代揚州府甘泉人，除了具備深厚的國學基礎外，他也是一位中國數學史的研究學者。《清史稿·卷五百七·列傳·卷二百九十四·疇人二》（編者注：“疇人”指的是算學家）曾有傳：“羅士琳，字茗香，甘泉人。以監生循例貢太學，嘗考取天文生……少治經，從其舅江都秦太史恩復受舉業，已乃棄去，專力步算，博覽疇人書，日夕研求數年。”他的舅父秦恩復是藏書家、校勘學家，揚州人，乾隆五十二年（1787年）進士。

令人稱奇的是，羅士琳對勾股定理進行了系統的研究，并提出了推算勾股數的公式，現在被稱為“羅士琳法則”：（1）任取正整數m和n（mgt;n），那么m、n的平方和，m、n的平方差，m、n之積的兩倍是一組勾股數。

（2）如果k是大于1的奇數，那么 k，k的平方減1的差除以2，k的平方加1的和除以2是一組勾股數。

（3）如果k是大于2的偶數，那么 k，k的一半的平方減1，k的一半的平方加1是一組勾股數。

（4）如果 a、b、c是一組勾股數，n是正整數，那么na、nb、nc也是一組勾股數。

我們分別對以上四個法則進行證明：

（1）已知：m和n（mgt;n）為任意兩個正整數。

求證：m、n的平方和，m、n的平方差，m、n之積的兩倍是一組勾股數。

證明：這三個數分別為m2+n2，m2-n2，2mn。

因為mgt;n，所以m2+n2gt;2mn，m2+n2gt;m2-n2，若三者為勾股數，則m2+n2為弦長。

計算（m2-n2）2+（2mn）2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，由此得證。

（2）已知：k是大于1的奇數。

求證：k，k的平方減1的差除以2，k的平方加1的和除以2是一組勾股數。

證明：這三個數分別為k，

[k2-12]，[k2+12]。

因為k是大于1的奇數，所以k≥3，所以[k2+12]gt;[k2-12]，[k2+12]≥[3k+12]gt;

[32]kgt;k，若三者為勾股數，則[k2+12]為弦長。

計算[k2-122]+k2=[k4-2k2+14]+k2=[k4+2k2+14]=[k2+122]，由此得證。

（3）已知：k是大于2的偶數。

求證：k，k的一半的平方減1，k的一半的平方加1是一組勾股數。

證明：這三個數分別為k，[k22]-1，[k22]+1，因為k是大于2的偶數，所以[k2]≥2，所以[k22]+1gt;[k22]-1，[k22]+1≥2·[k2]+1=k+1gt;k，若三者為勾股數，則[k22]+1為弦長。

計算[k22-12]+k2=[k24-12]+k2=[k416]-[12]k2+1+k2=[k416]+[12]k2+1=[k24+12]=[k22+12]，由此得證。

（4）已知：a、b、c是一組勾股數，n是正整數。

求證：na、nb、nc 也是一組勾股數。

證明：因為a、b、c 是一組勾股數，不妨設c最大，因為n是正整數，所以na，nb，nc中nc最大，根據勾股定理，則有c2=a2+b2，而（na）2+（nb）2=n2a2+n2b2=n2（a2+b2）=n2c2=（nc）2，由此得證。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）