面向永磁同步電機無傳感器控制的新型已知回歸項有效磁鏈全階模型

摘要：針對內嵌式永磁同步電機（IPMSM）全階模型未知轉速回歸項導致的轉速自適應觀測器局部穩定問題，提出一種具有已知轉速回歸項特性的IPMSM有效磁鏈全階模型。首先，重新定義IPMSM有效磁鏈全階模型的狀態變量，并根據新狀態變量推導IPMSM動態方程以滿足Brunovsky標準型，同時使新型模型的轉速回歸項僅由已知量構成。然后，提出針對該模型的非線性高增益觀測器算法，以實現全局穩定的轉子位置和轉速估計。最后，通過0.75 kW IPMSM加載測試平臺，驗證了所提無傳感器控制算法的有效性和實用性。實驗結果表明：新型全階模型提升了IPMSM無傳感器控制系統的動態性能，擴展了全階觀測器的穩定運行區間；全階觀測器克服了降階觀測器的局部穩定缺陷，同時便于系數整定；相比于傳統方案，所提觀測器算法的角度估計誤差收斂速度提高約42%，誤差幅值減小約44.4%；在穩態時，交軸電流波動幅值減小約35%；所提出的無傳感器控制算法實現了5 r/min轉速下的額定負載擾動抑制。

關鍵詞：永磁同步電機；無傳感器控制；有效磁鏈；自適應觀測器；全局穩定性

中圖分類號：TM301 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202411014 文章編號：0253-987X（2024）11-0147-09

Novel Known Regressor Active Flux Full-Order Model for

Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motors

LIN Qilian，LIU Ling，LIU Siyuan

（School of Electrical Engineering，Xi’an Jiaoting University，Xi’an 710049，China）

Abstract：To address the issue of local stability in the speed-adaptive observer stemming from unknown speed regressors in the full-order model of interior permanent magnet synchronous motors （IPMSM），a novel active flux full-order model incorporating known speed regressors for IPMSM is proposed. Initially，this paper redefines the state variables of the active flux full-order model of IPMSM and formulates the dynamic equations of IPMSM based on these new state variables to conform to the Brunovsky canonical form，ensuring that the speed regressors in the new model are solely comprised of known measured values. Subsequently，a tailored nonlinear high-gain observer algorithm is introduced for this model to achieve globally stable rotor position and speed estimation. The effectiveness and practicality of the proposed sensorless control algorithm are then validated through experimentation on a 0.75 kW IPMSM test platform. The results indicate that the new full-order model enhances the dynamic performance of the sensorless control system for IPMSM，extending the stable operational range of the full-order observer. The structure of the full-order observer overcomes the local stability limitations of reduced-order observers while simplifying coefficient tuning. In fast reversing test，compared to conventional methods，the proposed observer achieves approximately a 42% faster convergence speed in position estimation errors and reduces error magnitudes by about 44.4%. In steady-state conditions，the fluctuation amplitude of the quadrature current decreases by roughly 35%. Notably，the proposed sensorless control method successfully suppresses disturbances under rated load at 0.15% of rated speed （5 r/min）.

Keywords：permanent magnet synchronous motor；sensorless control；active flux；adaptive observer；global stability

永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）受益于永磁體制作工藝的突破，有著功率密度高、調速范圍廣等優點，在電動汽車、電梯與船舶推進等高可靠要求場合愈發獲得廣泛關注和應用^［1-2］。PMSM無傳感器控制旨在消除對機械機構復雜、易受干擾的機械式位置傳感器的依賴。無傳感器控制算法則大大增強了PMSM驅動的系統魯棒性，降低了安裝與維護成本，精簡了線路連接，促進了PMSM的應用推廣^［3］。

根據電機控制系統動態方程的不同，無傳感器控制算法可分為降階傳感器和全階傳感器。全階觀測器是指基于PMSM電流-反電勢全階模型設計的狀態觀測器，與降階觀測器相對應。目前，PMSM無傳感器控制方案中，轉速自適應觀測器方案多為降階觀測器設計^［4］，即以觀測器輸出的估計電流或估計反電動勢為輸出矢量，直接產生部分狀態變量，從而降低轉速觀測器的階數^［5-7］。同時，存在另一種采用混合無傳感器控制的解決方案，結合基于電機凸極性質和基于電機基頻模型的方法，將兩個局部穩定的方案結合以達到全速域轉速觀測穩定的效果^［8-9］。降階觀測器只需對一個二階微分方程實施數值積分，但該設計無法直接獲取估計轉速，且無法設計轉速自適應的降階觀測器^［10］。這意味著對于轉速降階觀測器而言，不存在全局穩定的設計。文獻［11］指出，由于轉速誤差的Lyapunov函數中不可避免地包含未知的不可測量值（轉子磁鏈），因此轉速降階觀測器能穩定的必要條件為：磁鏈降階觀測器的估計誤差必須為0。基于傳統PMSM模型的全階轉速自適應觀測器在基于Lyapunov穩定性理論分析時需提前假設轉子磁鏈的估計誤差始終為0^［1］，而基于Popov超穩定性分析需要假設轉子磁鏈的估計誤差收斂速度快于定子電流^［12］。然而，在實際控制過程中，以上兩個假設皆無法嚴格實現，故而極大程度限制了轉速降階觀測器的動態性能和應用范圍。

由于未知轉速回歸項的存在，基于傳統電機模型的全階轉速觀測器設計無法被證明全局穩定，因此文獻［13］采用降階轉速觀測器重構轉速回歸項。文獻［14］首先提出在單輸出非線性系統中，線性參數化的未知回歸項嚴重影響了全局穩定的轉速自適應觀測器設計，正是該未知回歸項導致轉速誤差對應的Lyapunon函數不存在。從非線性系統擴展至傳統感應電機模型，文獻［15］首次驗證了全局穩定的全階轉速自適應觀測器受限于未知的轉速回歸項，同時指出，對傳統感應電機模型引入全局微分同胚可以轉換電機模型的狀態，從而變換轉速回歸項的結構^{［10，15-16］}。

目前，對于永磁同步電機的傳統全階模型（包括有效磁鏈模型和擴展反電動勢模型），缺乏關于改變永磁同步電機模型轉速回歸項結構，從而設計全局穩定的全階轉速觀測器的討論。為此，針對內嵌式永磁同步電機（IPMSM）的有效磁鏈全階模型，本文通過引入基于已知參數的新狀態變量，建立一類以電流-等效反電勢為狀態的新型IPMSM有效磁鏈全階模型。該模型中的轉速回歸項僅由已知量構成，從而滿足實現全局穩定的全階轉速自適應觀測器的必要條件。進而，通過設計高增益非線性觀測器，構建了全局穩定的全階自適應觀測器。所提出的全階自適應觀測器擺脫了傳統IPMSM模型中的未知轉速回歸項，能夠滿足Lyapunov穩定性與持續激勵條件的約束。最后，對所提IPMSM全階觀測器進行了參數敏感性數值仿真，量化分析了轉速觀測的收斂區間。實驗結果驗證了所提模型和所提非線性算法的有效性，表明控制系統在極低速區間、寬速域工況下都對負載擾動、參數擾動具有優異的魯棒性。

1 IPMSM數學模型

1.1 有效磁鏈全階模型

在αβ靜態坐標系下，IPMSM的有效磁鏈四階模型可被寫為

式中：u_s=u_sαu_sβ^T、i_s=i_sαi_sβ^T分別表示定子電壓、定子電流；e_active=e_{ac_α}e_{ac_β}^T表示有效反電動勢在α、β軸上的分量；K_active為有效磁鏈幅值；θ_d為轉子位置；t為時間；R為定子電阻；L_q為交軸電感；ω為電機的電角頻率。定義I=I_2×2=1001，J=0－110，則式（1）可改寫為矩陣形式

式中：x=L_qi_se_active^T為狀態矢量；A_C=－RI－I00為同質項矩陣；Φ_C=0Je_active^T為轉速參數的回歸項矩陣。應注意到式（2）中的轉速回歸項中含有不可測狀態e_active。

1.2 局部穩定性問題

未知轉速回歸項所引起的穩定性問題，體現在Lyapunov穩定性證明過程中。假設存在任一正定對稱矩陣P，使得A^T_CP+PA_Clt;0，則可以選擇一個Lyapunov函數為

式中：上標～表示估計誤差，定義為真實值減去估計值，如=ω－（^ 表示估計值）；γ_ω為正定的轉速自適應增益。式（3）的時間導數為

由式（4）可知，轉速自適應律設計應為

然而，由于式（5）依賴于未知回歸項Φ_C，該轉速自適應律嚴格意義上是不可用的。因此，所有基于傳統IPMSM全階模型的轉速自適應觀測器都不能被證明全局穩定。為了在實驗中實現該方案，現有的轉速觀測器算法通常采用3種改進方法：證明特定工況下的局部穩定^{［12，17-19］}，強行假設回歸項已知^［1，20］，采用降階觀測器設計^［4，21］。以上3種穩定性補救方法只能稱得上是妥協方案，只有將傳統IPMSM全階模型轉換為轉速回歸項已知的形式才能從根本上解決不可用的轉速自適應律問題。

1.3 新型已知回歸項有效磁鏈全階模型

為了將傳統模型轉化為能夠滿足全局穩定必要條件的形式，重新定義模型的狀態變量為ζ（i_s，e_active，ω），可得

假設IPMSM模型中的電阻R、交軸電感L_q和直軸電感L_d已知。式（6）中，ψ_σ=ψ_ασψ_βσ^T、χ=χ_αχ_β^T為新模型中定義的狀態矢量，分別被定義為等效轉子磁鏈矢量和等效反電動勢矢量。由此，新的IPMSM模型可被寫為

同時，在計算估計轉子位置過程中，需要推導狀態變量的反變換ζ^－1（ψ_σ，χ，ω），有如下形式

式（7）的矩陣形式為

由式（9）可知，在所提出的IPMSM模型中，轉速回歸項Φ_C僅由可測量的電壓矢量u_s和電流矢量i_s組成。由于模型具有已知轉速回歸項的特性，根據Lyapunov穩定性分析過程（式（4）），本文所提的IPMSM全階模型可組成可用的轉速自適應律。

2 轉速自適應全階觀測器設計

2.1 自適應全階觀測器

定義輸出誤差ε=ψ_σ－_σ，根據所提出的IPMSM全階模型，設計的非線性自適應觀測器為

式中：λ₁、λ₂為正定的反饋補償系數；增益矩陣S為對稱正定陣，由以下Riccati方程的特解得到

由式（5）可知，根據Lyapunov穩定性證明過程可得該全階觀測器的轉速自適應律為

式中：γ_ω為正定的轉速自適應系數；_d為估計的轉子位置。由于式（13）的方程右側所有分量都由已知量構成，因此該轉速自適應律可用。本文所設計的無傳感器控制算法的原理框圖如圖1所示。

2.2 持續激勵條件

所提出的非線性觀測器具有全局漸進穩定性，需滿足2個條件：參數回歸項Φ_C只由已知量構成^［22］，且經過濾波的轉速回歸項矩陣ν₁滿足持續激勵條件，即對于所有的tgt;0，存在正定常數T_a、a、b，有

其中第一個條件已在所提出的IPMSM全階模型中解決；在電機靜態時，轉速自適應的持續激勵條件由濾波回歸項矩陣ν₁的動態方程給出

式中：p為時間導數算子；u_s、i_s在αβ坐標系中可被視為正弦激勵信號，因此很難分析ν₁在時間尺度上的積分情況。因此，需要通過在dq旋轉坐標系下計算ν₁。首先定義下標d、q分別表示各個狀態在dq坐標系的分量，有

式（16）引入相應輔助變量

ψ_A=λ₁λ^－1₂（u_ds－Ri_ds）－λ^－1₂ω（u_qs－Ri_qs）+ψ_dσ

ψ_B=－λ₁λ^－1₂（u_qs－Ri_qs）－λ^－1₂ω（u_ds－Ri_ds）－ψ_qσ

同時，定義K₀=λ^－1₂ω，K₁=1－λ^－1₂ω²以及K₂=λ₁λ^－1₂ω。根據式（16）可知：要達到持續激勵條件式（14），只需保證轉速ω和負載轉矩不同時為0，即該無傳感器控制方案需要避免持續的零速、空載運行。

2.3 模型參數敏感性分析

為了進一步討論所提出的無傳感器控制算法對于電機參數擾動的魯棒性，引入電機模型參數敏感性分析過程。首先，將所有電機模型中的參數都視為未知量，將動態方程重寫為

式中：v^ψ和v^χ表示所設計的反饋項。在本文中，有

將式（17）代入式（7），并忽略高階參數誤差耦合項，可得估計誤差的動態方程為

式中：=ψ_σ-_σ，=χ-。由此，對應的歸一化參數誤差的敏感性分析結果可表示為

式中：Ψ是模型中的擴展參數向量（包括未知狀態χ）；_N為歸一化的參數誤差向量；φ_N是對應于_N的回歸矩陣的一階等效形式。φ_N中每一列的范數反映了對應的參數誤差在觀測誤差向量ε中的占比，由此體現觀測器算法輸出的觀測誤差對該參數誤差變化的敏感程度。在對應的工況下，參數誤差敏感性越低表示越難以對該參數進行觀測。圖2中，橫縱坐標為歸一化相對值的百分比（橫坐標為額定轉速的百分比，縱坐標為額定負荷的百分比），額定轉速和額定轉矩分別為3 000 r/min與2.39 N·m。由圖2可知，在低速區域，由線性反饋項設計得到的算法對于的敏感性極低，且與_q相近。

如圖3所示，在非線性反饋設計中，由于電機全階模型的動態方程已知，未知狀態χ在充分收斂后可從觀測誤差向量ε中提取后消除，從而其模量在觀測誤差中占比很低。將系數矩陣設置為ν₁=［100 500］^T后，以降低其余參數敏感性的代價提升了轉速觀測的敏感性。圖3表明非線性反饋項設計可通過改變轉速的參數敏感性以增強轉速觀測效果。

3 實驗結果

3.1 實驗平臺配置

為驗證所提出的基于已知回歸項有效磁鏈全階模型的轉速自適應觀測器在各種工況下的有效性，在某IPMSM加載測試平臺上進行測試，實驗平臺配置方式如圖4所示。被測IPMSM的額定值為：功率0.75 kW，轉速3 000 r/min，電壓220 V，電流3 A，該電機通過一個電壓源逆變器驅動，其電參數見表1。通過離散參數辨識算法，獲取了電機驅動系統整體結構（電機本體、逆變器、導線）的參數，所得數值更符合電機實際工況。實驗過程中，轉速環的執行頻率為2 kHz，脈寬調制的載波頻率為10 kHz，脈寬調制方法為空間矢量脈寬調制（SVPWM）。電機驅動的采樣頻率為10 kHz，遠大于電機運行頻率。因此，所提出算法的穩定性分析結果能被直接推廣至離散模型中。同時，數值求解采用四階龍格-庫塔法，并與歐拉法進行對比，發現在很大程度上消除了截斷誤差，并且在數字信號處理（DSP）芯片中斷中僅增加33.3%的計算量。本文所采用的轉速/電流控制策略為傳統最大轉矩電流比控制（MTPA）方案，即i_d≠0。

3.2 寬速域無傳感器控制驗證

在實驗開始前，通過電機強制角定位的方式，向給定的電機d軸注入50%額定電壓，將電機轉子的初始位置與給定的0°相匹配，保證電機的初始位置確定^［23］。在實驗過程中，同時采樣了電機的三相定子電流與定子電壓，這樣可以避免由逆變器非線性導致的相關問題。圖5為本文所提IPMSM無傳感器控制方案在寬速域范圍內的實驗結果。在空載狀態下，被測電機由靜止加速至2 000 r/min，在大約t=3 s時進行突加額定負載的抗擾實驗。由實驗結果可知，所提出方案對負載擾動有較強的魯棒性。在約t=10 s時額定負載被移除，本文方案在-500 r/min 面對階躍的負載擾動依然有良好的魯棒性。同時，空載時q軸電流不為0，該現象可歸因于電機轉軸的黏性摩擦和轉子位置估計誤差。

圖6（a）中為采用文獻［24］提出的基于擴展反電動勢模型的降階反電動勢觀測器算法的實驗結果，其估計位置由觀測的擴展反電動勢得出，其轉速自適應律由降階擾動觀測器補償得到。可以看出，擴展反電動勢降階觀測器方案在中高速工況下動態性能與所提出全階觀測器方案相當，但其局部穩定的特性使得系數整定過程必須與估計轉速相關，從而實現電機的快速反轉。

圖6（b）是基于傳統IPMSM模型的全滑模觀測器算法的實驗結果，其觀測的反電動勢由滑模觀測器重構，轉速自適應律由Lyapunov穩定性證明推導得到。由于該方案采用不穩定的轉速自適應律，因此在零速附近運行時能直接觀測到估計轉速的發散。

3.3 低速域運行性能驗證

圖6中，由于轉速指令由1 000 r/min階躍至-500 r/min，快速的反轉指令使得無傳感器控制方案能勉強保持穩定，然而在慢反轉實驗以及低速域實驗中以上兩種方案皆無法穩定運行。正是由于傳統全階模型的未知回歸項導致了該穩定性缺陷，而強行引入不可用的轉速自適應律極大惡化了全階觀測器的動態性能。通過量化分析實驗數據，得到以下結論：相比于傳統方案，當電機轉速指令階躍變化（由1 000 r/min突變至-500 r/min）時，本文所提觀測器算法的角度估計誤差收斂速度提高約42%，角度估計誤差尖峰的幅值減小約44.4%；當電機運行在穩態時，交軸電流波動幅值減小約35%。

圖7為IPMSM在階躍額定負載擾動下，給定轉速區間為±200 r/min時的實驗結果。值得強調的是，該結果中包括了極低轉速無傳感器驅動運行的情況。在給定轉速由-200 r/min階躍至5 r/min 時，雖然無傳感器驅動中出現了較大幅度的低頻抖振現象，但整體動態性能良好，且當額定負載轉矩突然被移除時能夠保持穩定。

4 結 論

本文針對IPMSM有效磁鏈全階模型，消除了該模型中存在的未知回歸項問題，建立了一個全局穩定的轉速自適應全階觀測器方案。不同于基于傳統IPMSM模型的降階觀測器方案，所提出的新型全階模型提升了IPMSM無傳感器控制系統的動態性能，同時提出了全局穩定的系數整定過程。在新型全階模型中，估計位置與估計轉速可在同一觀測器設計中得到，大大減少了無傳感器控制算法的復雜度。

本文的主要結論如下。

（1）針對有效磁鏈模型中轉速辨識的局部穩定問題，通過改變系統狀態消除了不可測量狀態（反電動勢），使新型IPMSM全階模型滿足已知轉速回歸項的形式。該形式解決了傳統有效磁鏈全階觀測器的全局穩定性證明缺陷，有利于一系列成熟的現有全階觀測器算法的引入。

（2）依據歸一化參數敏感性分析結果，對本文提出的IPMSM全階模型以及非線性觀測器算法的參數可辨識性進行了可視化分析。指出該模型對于多參數在線辨識的可行性：在滿足一定約束條件時，通過整定所提出的非線性觀測器系數，可以保證定子電阻R、轉速ω和等效反電動勢χ三者聯合辨識的指數收斂。

（3）在實驗過程中，本文所提無傳感器控制方案在全速域范圍下實現了突加、突減負載實驗和快速反轉實驗；在低速域范圍運行時，實現了5 r/min極低速工況下的抗擾動實驗。通過重新定義IPMSM有效磁鏈全階模型的狀態變量，消除模型的未知狀態量，可以改善IPMSM無傳感器控制驅動的動態性能，擴展全階觀測器的穩定區間。

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（編輯 亢列梅）