探矛盾之“因” 還運動之“本”

摘 要：以電磁感應知識為背景的“雙桿問題”通常涉及導體桿做較為復雜的變加速運動，需運用微元法來處理問題。然而，試題中時間的賦值需要命題者嚴格求解和驗證，才能避免導體桿運動速度或位移不自洽的矛盾。以一道高三質檢壓軸題為例，深入探討引起矛盾的原因，還原雙導體桿在磁場中運動的本來面目。

關鍵詞：電磁感應；雙桿問題；變加速；數據自洽

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）10-0073-4

收稿日期：2024-06-01

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2023年度“協同創新”專項課題“指向物理觀念形成的高中物理大概念教學實踐研究”（Fjxczx23-371）；福建省教育科學“十四五”規劃2023年度課題“基于科學思維的高中物理模型建構能力培養的課堂實踐”（FJJKZX23-100）。

作者簡介：顏輝（1986-），男，中學高級教師，主要從事中學物理教學工作和命題解題研究。

雙導體桿在勻強磁場中做切割磁感線運動，因兩根桿的相對速度不斷改變，而使得導體桿中的感應電流和安培力不斷變化，故“雙桿問題”是典型的變加速模型問題。對變加速模型問題，設置數據時，由于所用知識超出高中物理范疇，或命制試題時隨意杜撰數據導致數據不自洽，影響了試題的科學性［1］。近期某市高三質檢壓軸題考查勻強磁場中雙導體桿的運動問題，試題中兩個“時間”引起很多師生的質疑和討論，以下深入探討引起矛盾的原因，還原雙導體桿的真實運動規律。

1 引起質疑和討論的兩個“時間”

如圖1（甲）所示，兩平行長直金屬導軌水平放置，間距L=0.8 m。PQ右側區域有勻強磁場，磁感應強度大小B=0.5 T，方向豎直向上。t=0時，磁場外的細金屬桿M以v0=12 m/s的速度向右運動。t=1 s時，細金屬桿M恰好到達PQ處。同時，對磁場內處于靜止狀態的細金屬桿N施加一與軌道平行的水平恒力，其大小F=0.8 N。N桿運動2 s后兩桿速度相等，兩金屬桿與導軌接觸良好且運動過程中始終與導軌垂直，細金屬桿M速度隨時間變化的v-t圖像如圖1（乙）所示。兩桿質量均為m=0.2 kg，與導軌間的動摩擦因數相同，在導軌間的電阻均為R=0.2 Ω，感應電流產生的磁場忽略不計，取重力加速度g=10 m/s2。求：

（1）金屬桿與導軌間的動摩擦因數μ；

（2）為保證兩桿不發生碰撞，初始時金屬桿N到邊界PQ的最小距離Δx；

（3）金屬桿N最終運動的速度大小vt，并作出金屬桿N的速度隨時間變化的v-t圖像（無需過程說明）；

（4）若從金屬桿N開始運動達到穩定運動狀態經歷Δt時間（Δt已知），求整個過程兩根金屬桿產生的總焦耳熱Q。

時間1 “N桿運動2 s后兩桿速度相等”。M桿進入磁場后，N桿也隨之開始運動，兩根桿的受力情況如圖2所示，對M、N桿組成的系統進行受力分析有F=2μmg，因此，滿足動量守恒mv1=2mv，得v=5 m/s。對N桿運用動量定理

Ft+BILt-μmgt=mv-0

其中，BILt==

代入過程經歷的時間2 s，易得兩根桿共速前1～3 s內的相對位移Δx=xM-xN=0.5 m。再運用圖像法進一步分析，因為M、N桿的質量相等，且分析發現它們所受合力總是大小相等、方向相反，所以N桿的運動和M桿的運動是對稱的關系，兩根桿均做加速度減小的變速直線運動。在第（3）問中畫出N桿的v-t圖像如圖3所示，其中陰影部分的面積即為兩根桿的相對位移，而該面積明顯大于0.5 m。兩種方法得出的結論出現了矛盾，究竟是哪里出了問題？

時間2 “從金屬桿N開始運動達到穩定運動狀態經歷Δt時間”。M、N桿共速后，N桿的速度反超M桿，回路中的電流反向，各自受到的安培力也隨之反向，最終兩根桿會以不同的速度做勻速直線運動。然而，試題中并未給出一個具體的時間，而用Δt表示，難道雙導體桿達到穩定狀態的時間真的無法確定嗎？

2 探討矛盾之“因”

電磁感應中的“雙桿問題”涉及兩導體桿做變加速運動，變加速階段的位移、速度和時間受特定條件制約，三個數據總是一一對應，它們的變化遵循一定的運動規律［2］。然而，時間賦值錯誤引起不自洽矛盾的根本原因是，在高中物理知識范疇里解決“雙桿問題”時，將安培力的沖量表示為I=Ft=（vM-vN）t=，對導體桿運用動量定理I=Δp，合外力的沖量使得導體桿的動量發生變化。雖然初末狀態是正確的，但是如果題干中的時間賦值出錯，就會導致其他力（摩擦力、拉力等）的沖量出錯，最終通過運算會得到一個錯誤的安培力沖量，從而引起不自洽的矛盾。要解決這一問題需要將兩根桿的速度隨時間的變化關系細致地刻畫出來。

3 還原運動之“本”

3.1 兩導體桿的真實運動規律

研究M桿進入磁場后兩根桿的運動規律，兩桿共速前vM>vN，俯視導軌中的回路有逆時針方向的電流，I=，F=（vM-vN）=

0.4（vM-vN）。兩桿的受力情況如圖2所示，取向右為正，根據牛頓第二定律，對M桿分析有

F+f=-mM（1）

代入題給數據得

0.4（vM-vN）+0.4=-0.2（2）

兩桿構成的系統所受合外力為0，由動量守恒mM v1=mM vM+mN vN得

10=v+v（3）

由（2）（3）式整理得

4v-18=-（4）

分離變量得

-4dt=（5）

不定積分得

v=（4.5+Ce-4t） m/s（6）

將M桿剛進入磁場的速度v

=10 m/s代入（5）式得C=5.5。（7）

結合（3）（6）（7）式可得兩桿的速度隨時間變化的函數關系為

vM=（4.5+5.5e-4t） m/s（8）

vN=（5.5-5.5e-4t） m/s（9）

共速時，由動量守恒mv1=（m+m）v得v=

5 m/s，代入（8）式解得t= s≈0.599 s。因此，M桿進入磁場后經歷約0.6 s，兩桿就共速了，而不是題給的2 s。將正確的時間0.6 s代入計算M桿進入磁場后到兩根桿共速的過程，兩桿的相對位移為Δx=vdt-vdt≈1.90 m≠0.5 m。

由（8）（9）式可知，當t→∞時，5.5e-4t無限接近0，M桿的速度無限趨近v=4.5 m/s，N桿的速度無限趨近v=5.5 m/s。運用數學函數繪圖工具“幾何畫板”可繪制M桿進入磁場后兩根桿的速度v和v隨時間變化的圖像（圖4）。將題干中t=2 s代入得v≈4.502 m/s，v≈5.498 m/s，顯然兩根桿在2 s時并非是共速，而已經是接近穩定的狀態了。

接下來，筆者用微積分的方法進一步用兩根桿達到穩定狀態的過程中回路中產生的焦耳熱進行驗證。從N桿開始運動，到最終兩桿達到穩定狀態的過程中，回路中的電流大小為

整個回路中的熱功率為

P=2I2R=（121e-8t-22e-4t+1）×0.4（11）

整個回路的電熱為

Q=Pdt=［6.05×（1-e-8t）-2.2×（1-e-4t）+0.4t］ J（12）

兩桿達到穩定的時間趨于無窮，得Q=（0.4Δt+3.85） J，求解結果與第（4）問的參考答案用系統動能定理所得結論是吻合的。從上面的理論分析我們發現，兩根桿到達穩定狀態的時間是趨于無窮的，而非一個確定的時間。

3.2 拓展兩類典型的“雙桿問題”

高中物理還有兩類較典型的“雙桿問題”，兩導體桿構成的系統除了受到安培力外，一類是無外力作用，還有一類是有恒定外力作用，表1為這兩類“雙桿問題”的對比和分析。

4 小結與啟示

通過以上三類高中物理常見的“雙桿問題”的對比和分析后發現，導體桿的速度隨時間的變化均是含有以自然常數e為底的指數函數關系。理論上，當時間t→∞時，兩桿的運動狀態才趨于穩定，而如果各個物理量給定了具體的數值，則可認為某時刻起雙桿的運動狀態近似達到穩定。因此，教師在命制電磁感應雙桿切割的相關試題時，給出的具體數據應遵循科學性原則，邏輯自洽、結構嚴謹的試題可以培養學生正確的物理觀念、科學思維和科學態度［3］。

物理教學需要培養學生敢于質疑和創新的思維品質。無論是新課教學還是復習備考，教師要有意識地創設質疑環境，主動提出引發疑問的思維問題［4］，而試題中的賦值錯誤則是培養學生質疑和創新的很好的教學資源。教師要善于捕捉學生質疑的火花，引導學生在遇到現階段暫時無法解決的問題時，勇于突破學科和知識的邊界，大膽進行跨學科實踐和探索，在解決質疑問題的過程中提升自己的高階思維和創新能力。

參考文獻：

［1］王懷賓.“變加速模型”試題命制探討［J］.物理教師， 2022，43（1）：64-66.

［2］李萬杰.深度學習視域下一道電磁感應試題的探討［J］.物理教學，2022，44（12）：53-56.

［3］華星亮，曾長興.從“相對誤差”談收尾速度的合理性設問——以導體棒平動切割磁感線為例［J］.物理教學探討，2023，41（7）：56-58，62.

［4］武長青.基于質疑創新的五個水平談科學思維的培養策略［J］.物理教學，2020，42（4）：7-11.

（欄目編輯 蔣小平）