一道與含參二次函數(shù)有關(guān)的線段比值問題的解法探究

摘 要：二次函數(shù)是初中階段極為重要的一類函數(shù).近年來，與含參二次函數(shù)有關(guān)的線段比值問題深受中考命題專家的青睞.基于此，筆者以一道含參二次函數(shù)的線段比值問題為例，探究含參二次函數(shù)中的不變量，形成有效的解決策略，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，在潛移默化中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：參數(shù)；二次函數(shù)；線段比值；轉(zhuǎn)化；化斜為直

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0059-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：張欐（1996.12—），女，江蘇省武進(jìn)人，本科，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

以二次函數(shù)為背景的綜合性問題，通常涉及函數(shù)與方程、不等式、幾何圖形等知識，主要考查學(xué)生能否綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想分析問題和解決問題的能力，充分體現(xiàn)了中考試題的選拔功能.筆者以2024年蘇州市九年級陽光指標(biāo)學(xué)業(yè)水平調(diào)研卷第27題為例，探究與含參二次函數(shù)有關(guān)的線段比值問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生分析解決策略，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力 ［1］.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，二次函數(shù)y=ax2-2ax-3a（a為常數(shù)，且a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)D且平行于y軸的直線與x軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F，連接AD，交直線BC于點(diǎn)G．

（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為_______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_______；

（2）試探究DGAG是否為定值，如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由；

（3）若點(diǎn)P為二次函數(shù)y=ax2-2ax-3a（a為常數(shù)，且a＜0）位于第一象限圖像上一點(diǎn)，連接AP，交直線BC于點(diǎn)Q，試求PQAQ的最大值，并求出此時點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

2 試題分析

此題共有三個問題，其由淺入深，層層遞進(jìn).第（1）問涉及求二次函數(shù)的零點(diǎn)，主要考查方程思想.學(xué)生通過求解一元二次方程可得函數(shù)圖象經(jīng)過兩個定點(diǎn)，從而明確此二次函數(shù)的對稱軸是確定的，為后續(xù)的問題作鋪墊.第（2）問與第（3）都是線段比值的問題，此類問題方法較多，最直接的方法是先利用待定系數(shù)法求出含參的一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立二元一次方程組求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間距公式求線段長.另外一種常用的思路是添加輔助線，先設(shè)出含參的點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行構(gòu)造“A型”或“X型”相似三角形，結(jié)合相似三角形對應(yīng)線段成比例的性質(zhì).或利用平行線分線段成比例，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到線段，把斜線段的比值轉(zhuǎn)化為鉛垂線段或水平線段的比值，從而順利得到定值［2］.

3 解法探究

第（1）問解法：令y=0，易得a（x+1）（x-3）=0，解得x1=-1，x2=3，則A-1，0，B（3，0）.

第（2）問解法：

方法1：構(gòu)造“A型”和“X型”相似三角形

如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥x軸，交BC于點(diǎn)M.易知拋物線y=ax2-2ax-3a的頂點(diǎn)D（1，-4a），所以DE=-4a.因為EF∥OC，所以△BEF∽△BOC，所以EFCO=BEBO，即EF-3a=23，所以EF=-2a，所以DF=DE-EF=-2a.因為AM⊥x軸，DE⊥x軸，所以AM∥DE，所以△BEF∽△BAM，所以BEBA=EFAM，即24=-2aAM，所以AM=-4a.因為AM∥DE，所以△DGF∽△AGM，所以DGAG=DFAM=-2a-4a=12（定值）.

方法2：構(gòu)造“X型”相似三角形

過點(diǎn)D作DM∥x軸，交BC于點(diǎn)M.設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），把B3，0，C（0，-3a）代入得3k+b=0，b=-3a，解得k=a，b=-3a，所以直線BC的表達(dá)式為y=ax-3a.因為D（1，-4a），令y=-4a，則-4a=ax-3a，所以x=-1，從而可知M（-1，-4a），則DM=2.因為DM∥AB，所以△DGM∽△AGB，所以DGAG=DMAB=24=12（定值）.

方法3：構(gòu)造“A型”相似三角形

過點(diǎn)G作GM∥DE，交DE于點(diǎn)M. 設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），把A-1，0，D（1，-4a）代入得-k+b=0，k+b=-4a，所以k=-2a，b=-2a，故直線AD的表達(dá)式為y=-2ax-2a.結(jié)合方法2得y=ax-3a，y=-2ax-2a，解得x=13，y=-83a，故G（13，-83a），所以GM=-83a.因為GM∥DE，所以△AGM∽△ADE，所以AGAD=GMDE=23，所以DGAG=12（定值）.

方法4：平行線分線段成比例

過點(diǎn)G作GM∥x軸，交DE于點(diǎn)M.由解法3得G（13，-83a），所以DM=DE-ME=-4a--83a=-43a.因為GM∥x軸，所以DGAG=DMME=-4a3·-38a=12（定值）.

方法5：兩點(diǎn)之間的距離公式

由方法3得G（13，-83a），由此易得DG=231+4a2，AG=431+4a2，故DGAG=12（定值）.

第（3）問解法：

方法1：構(gòu)造“A型”和“X型”相似三角形

過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，PH交BC于點(diǎn)K.設(shè)P（m，am2-2am-3a），則OH=m，BH=3-m.因為KH∥OC，所以△BHK∽△BOC，所以BHBO=HKOC，即3-m3=HK-3a，所以HK=-a（3-m），所以PK=PH-KH=am2-3am.因為PH∥AM，所以△BOC∽△AQM，所以PQAQ=PKAM，即am2-3am-4a=m2-3m-4，當(dāng)m=32時，PQAQ有最大值，最大值為916，此時xP=32.

方法2：平行線分線段成比例

過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F.過點(diǎn)Q作QE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E.設(shè)直線AP的表達(dá)式為y=kx+1，（k≠0），易知P（m，am2-2am-3a）.將點(diǎn)P代入km+1=am2-2am-3a，整理得km+1=a（m+1）（m-3）.因為m>0，所以k=a（m-3），所以直線AP的表達(dá)式為y=a（m-3）·x+1，結(jié)合解法2易得y=ax-3a，y=a（m-3）（x+1），解得xQ=m4-m.因為QE∥PF，所以PQAQ=EFAE=-14m-322+916.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)m=32時，PQAQ有最大值，最大值為916，此時xP=32.

方法3：構(gòu)造同高三角形

如圖3，連接AC、CP、BP，過點(diǎn)P作PK⊥x軸，交BC于點(diǎn)K.因為△ACP與△PCQ同高，所以PQAQ=S△PCQS△ACQ.易知PQAQ=S△PBQS△ABQ，PQAQ=S△PCQ+S△PBQS△ACQ+S△ABQ=S△BCPS△ABC.設(shè)P（m，am2-2am-3a），由上題得直線BC的表達(dá)式為y=ax-3a，則K（m，am-3a），得PK=am2-3am，所以S△BCP=12PK·OB=32（am2-3am）.因此PQAQ=-14m-322+916.當(dāng)m=32時，PQAQ有最大值，最大值為916，此時xP=32.

4 解題反思

4.1 精準(zhǔn)審題，提升學(xué)生理解問題的能力

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要養(yǎng)成認(rèn)真讀題的習(xí)慣，因沒看清題目或沒讀懂題意就貿(mào)然作答易造成解題失誤.有不少學(xué)生將題目中的參數(shù)a取特殊值代入運(yùn)算，其實這是不良的審題習(xí)慣，把填空或選擇題的“套路”用在解答題上，教師需要引導(dǎo)學(xué)生正確處理“特殊”與“一般”的關(guān)系.此外，在解答本題的過程中，學(xué)生在讀題之后，能否得出二次函數(shù)的對稱軸是固定的、函數(shù)圖象經(jīng)過某些定點(diǎn)，這些信息的解讀，往往是后續(xù)解題的突破口.

4.2 精細(xì)演繹，提升學(xué)生把握問題核心的能力

不少含參二次函數(shù)問題都有多種解法，一類是以“形”助“數(shù)”，另一類是以“數(shù)”馭“形”. 以“形”助“數(shù)”是從幾何的角度，添加輔助線，分析函數(shù)圖象的幾何特征，在變化中尋找不變的關(guān)系后代入計算求解，體現(xiàn)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；以“數(shù)”馭“形”蘊(yùn)含解析幾何思想，基于題目給出的條件而設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照題意列出代數(shù)式或等式求解，體現(xiàn)學(xué)生代數(shù)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，思維分析過程較淺顯.

4.3 精心反思，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

解后反思是數(shù)學(xué)解題活動的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生通過對問題的歸納類比、抽象概括，對所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的再認(rèn)識，達(dá)到解題反思的目的.解題反思有助于學(xué)生對此類問題有一個整體的認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生串聯(lián)知識、獨(dú)立提煉模型、運(yùn)用模型的能力.反思包括對問題所涉及的數(shù)學(xué)思想方法、總結(jié)解題策略、比較多種解決方法的優(yōu)缺點(diǎn)、適度拓展，從而達(dá)到“做一題，會一類，通一片”的效果.

5 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地滲透含參二次函數(shù)問題，讓學(xué)生熟悉此類問題的求解策略，不斷提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 張志鋒.例談含參二次函數(shù)教學(xué)的一點(diǎn)體會［J］.理科考試研究，2016，23（18）：3.

［2］ 陳紀(jì)韋華，周美蘭.駐足含參二次函數(shù)指向核心素養(yǎng)評價：一道二次函數(shù)壓軸題的命制與拓展［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（7）：7-9.

［責(zé)任編輯：李 璟］