正方形半角模型的性質及證明

摘 要：“正方形半角”模型是初中平面幾何中的重要模型，其中蘊含著許多優美的性質，在解題中有著廣泛的應用，熟練掌握此模型有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.基于此，本文對這些結論進行系統梳理并給出嚴謹證明.

關鍵詞：正方形；“正方形半角”模型；性質；證明

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0041-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：彭文鑫（1978.7—），男，福建省泉州人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

平面幾何是初中數學的一個重要模塊，通常以證明題或探索性問題的形式出現在壓軸題的位置.這類問題形式靈活多樣，綜合性強，對學生而言難度較大.基于此，掌握一些常見幾何模型有利于提高解題能力.幾何模型有多種類型，例如“手拉手”模型、“一線三等角”模型、“母子型相似”模型等，筆者重點介紹“正方形半角”模型［1］.

“正方形半角”模型在歷年全國各地中考試題中出現的頻率很高，許多教師對這一模型在解題中的應用作了多角度探討，還有教師從逆向思維角度出發，對這一模型作了逆向思考，其研究角度新穎，給讀者很大啟發.筆者總結了“正方形半角”模型中的12個常見結論，并給出這12個結論的詳細證明［2］，以期為初中數學教學提供參考.

1 模型呈現

如圖 1， 已知四邊形ABCD為正方形，點E和點F分別在邊BC和邊CD上，∠EAF=45°，正方形ABCD的對角線BD與AE相交于點M，與AF相交于點N. 在圖1中，由于∠EAF=45°=12∠BAD，故這一模型稱為“正方形半角”模型.

2 結論的證明

結論1 如圖1，在“正方形半角”模型中，EF=BE+DF.

證明 如圖2，延長CB到點G，使得BG=DF.

因為四邊形ABCD為正方形，所以AB=AD且∠ABG=∠ADF=90°，所以△ABG≌△ADF，所以AG=AF，∠BAG=∠DAF，所以∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=90°-∠EAF=90°-45°=45°，所以∠EAG=∠EAF，又因為AE=AE，AG=AF，所以△AEG≌△AEF，所以EF=EG=BE+BG=BE+DF.

結論2 如圖1，在“正方形半角”模型中，△CEF的周長等于正方形ABCD邊長的兩倍.

證明 由結論1可知，EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=（BE+CE）+（CF+DF）=BC+CD=2AB，即△CEF的周長等于正方形ABCD邊長的兩倍.

結論3 如圖1，在“正方形半角”模型中，EA是∠BEF的角平分線.

證明 如圖2，延長CB到點G，使得BG=DF.

由結論1的證明可知，△AEG≌△AEF，所以∠AEG=∠AEF，即EA是∠BEF的角平分線.

結論4 如圖1，在“正方形半角”模型中，FA是∠DFE的角平分線.

證明 如圖2，延長CB到點G，使BG=DF.由結論1的證明過程可知△ABG≌△ADF，所以∠ABG=∠DAF.因為∠BAD=90°，所以∠GAF=90°又因為∠C=90°，所以∠C+∠GAF=180°，所以A，G，C，F四點共圓，所以∠AFD=∠G.易知∠G=∠AFE，所以∠AFE=∠AFD，即FA是∠DFE的平分線.

結論5 如圖1，在“正方形半角”模型中，△AEF的EF邊上的高等于正方形ABCD邊長［3］.

證明 如圖3，延長CB到點G，使得BG=DF，作AH⊥EF，垂足為H.

由結論1的證明可知，△AEG≌△AEF，所以∠AEG=∠AEF，即∠AEB=∠AEH.又因為∠ABE=∠AHE=90°，AE=AE，所以△ABE≌△AHE，所以AB=AH，即ΔAEF的EF邊上的高等于正方形ABCD邊長.

結論6 如圖1，在“正方形半角”模型中，S△AEF=S△ABE+S△ADF.

證明1 如圖2，延長CB到點G，使得BG=DF.

由結論1的證明可知，△ABG≌△ADF且△AEG≌△AEF.所以SΔAEF=S△AEG=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF.

證明2 如圖3，作AH⊥EF，垂足為H，則S△AEF=12EF·AH.因為AB⊥BC，AD⊥CD，所以S△ABE=12AB·BE，S△ADF=12AD·DF.由結論1可知EF=BE+DF，由結論5可知AH=AB，所以S△AEF=12EF·AH=12BE+DF·AB=12AB·BE+12AB·DF=12AB·BE+12AD·DF=S△ABE+S△ADF.

證明3 設正方形ABCD的邊長為a，BE=x，DF=y，則CE=a-x，CF=a-y.在直角三角形CEF中，根據勾股定理得EF=（a-x）2+（a-y）2=2a2+x2+y2-2ax-2ay. 由結論1可知EF=BE+DF，所以2a2+x2+y2-2ax-2ay=x+y，兩邊平方并化簡得a2=ax+ay+xy.因為S△ABE=12AB·BE=12ax，S△ADF=12AD·DF=12ay，S△CEF=12CE·CF=12（a-x）（a-y）=12a2-ax-ay+xy=xy，所以S△AEF=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF=a2-12ax-12ay-xy=ax+ay+xy-12ax-12ay-xy=12ax+12ay=S△ABE+S△ADF.

結論7 如圖1，在“正方形半角”模型中，MN2=BM2+DN2.

證明 如圖 4，將△ADN繞點A順時針旋轉90°得到△ABK， 則AK=AN，BK=DN，∠BAK=∠DAN.從而可知∠MAK=∠MAB+∠BAK=∠MAB+∠DAN=45°=∠MAN，又因為AM=AM，所以△AMK≌△AMN，所以MK=MN.根據旋轉的性質可知∠ABK=∠ADN=45°，所以∠MBK=∠MBA+∠ABK=45°+45°=90°.根據勾股定理可知MK2=BM2+BK2，所以MN2=BM2+DN2.

結論8 如圖1，在“正方形半角”模型中，AB2=BN·DM.

證明 如圖1，根據圖形特征，易知∠AMD=∠ABM+∠MAB=45°+∠MAB=∠MAN+∠MAB=∠NAB.又因為∠ADM=∠NBA=45°，所以△ADM∽△NBA，所以ADBN=MDAB，所以AB·AD=BN·DM，所以AB2=BN·DM.

結論9 如圖1，在“正方形半角”模型中，2BN=AB+BE.

證明 如圖 5， 連接正方形ABCD的對角線AC.根據正方形的性質可知∠ACE=∠ADN=45°.又因為∠EAF=∠EAC+∠CAF=45°，∠CAD=∠NAD+∠CAF=45°，所以∠EAC=∠NAD，所以△ACE∽△ADN，所以CEDN=ACAD=2，所以CE=2DN，所以2BN=2BD-DN=2BD-2DN=2BD-CE=2·2AB-CE=2AB-CE=AB+BC-CE=AB+BE.

結論10 如圖1，在“正方形半角”模型中，2DM=AD+DF.

與結論9的證明類似，不再贅述.

結論11 如圖1，在“正方形半角”模型中，S△AEF=2S△AMN.

證明 如圖 5， 連接正方形ABCD的對角線AC. 則∠AMN=∠ABM+∠MAB=45°+∠MAB=∠MAN+∠MAB=∠NAB=∠BAC+∠CAF=45°+∠CAF=∠ACF+∠CAF=∠AFD.

由結論4可知∠AFD=∠AFE，所以∠AMN=∠AFE.同理，∠ANM=∠AEF.從而可知△AMN∽△AFE，所以S△AMNS△AEF=AN2AE2.由結論9的證明可知△ACE∽△ADN，所以ANAE=ADAC=12，所以S△AMNS△AEF=AN2AE2=12，即S△AEF=2S△AMN.

結論12 如圖1，在“正方形半角”模型中，EF=2MN.

證明 如圖 5， 連接正方形ABCD的對角線AC.由結論11的證明可知△AMN～△AFE，所以MNEF=ANAE.根據結論9的證明可知△ACE～△ADN，所以ANAE=ADAC=12.從而可知MNEF=12，即EF=2MN.

3 結束語

通過證明可以發現，這一模型蘊含著豐富的結論，每個結論之間也是相互關聯的，體現了數學的和諧統一之美. 事實上，除了所證明的12個結論之外，“正方形半角”模型中還有一些不太常見的結論.此外，此模型還能進行推廣，希望有興趣的同仁對此作進一步研究.

參考文獻：［1］ 吳丹.半角模型結論與應用［J］.中學教學參考，2023（4）：34-36.

［2］ 周忠柱.“正方形半角”模型及應用［J］.中學數學雜志，2022（8）：45-48.

［3］ 劉玉清.對半角模型兩個重要結論的深入探究：以2019年廣州中考第16題為例［J］.初中數學教與學，2022（8）：36-38.

［責任編輯：李 璟］