用賦值法解決含雙參數不等式恒成立條件下的最值問題

摘要：含雙參數的不等式恒成立問題是一類綜合性很強的問題，在高考或者各類模擬考試中經常出現.利用逆向思維，用賦值法可以比較快捷地解決含雙參數不等式恒成立條件下的三類最值問題，能夠優化解題思維.

關鍵詞：雙參數；不等式；恒成立；逆向思維；賦值法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0099-03

含雙參數不等式恒成立問題是一類常見的典型問題，參考文獻[1]提出了利用統一變量構造函數解決問題的方法，非常實用.筆者研究發現，在合適的條件下，利用逆向思維，采取賦值加證明的方法也能解決含雙參數不等式恒成立條件下的最值問題，而且解題過程比較簡潔.

為了敘述方便，以下幾個常用的函數不等式不難證明，作為結論直接應用.

（1）x∈R時，ex≥x+1；

（2）x∈R時，ex≥ex；

（3）x>0時，lnx≤x-1.

1含雙參數和差型表達式的最值問題

例1已知a，b為實數，不等式2ex≥2ax+b對于x∈R恒成立，求a+b的最大值.

分析一般情況下是先求當x變化時b的最大值（與a有關），再將a+b放大為含單變量a的表達式f（a），然后求f（a）的最大值即可.在該問題中，不妨逆向思考，首先在原不等式中對x取特殊值，得到目標式a+b的不等式（這是必要條件e8e2a49c56591e129a475eb152010d82），在此結果的引導下，尋求a+b的最大值.

解析令x=12，得到a+b≤2e（再尋求可以使得a+b=2e的條件，對不等式兩邊同時求導數，令x=12時兩邊的導數值相等，取a=b=e）.

令a=b=e，則容易證明2ex≥2ex+e等價于ex≥ex+e2，即ex-12≥x+12.

由（1）知此不等式對x∈R恒成立.

所以a+b的最大值為2e.

探究1條件不變，如何求2a+b的最大值？上述方法還有效嗎？

令x=1，得到2a+b≤2e，取a=e，b=0，由不等式（2）知2ex≥2ex對x∈R恒成立，所以2a+b的最大值為2e.

探究2條件不變，λ為正常數，如何求λa+b的最大值？

令x=λ2，得到λa+b≤2eλ2，取a=eλ2，b=（2-λ）eλ2，則2ex≥2ax+b化成2ex≥2eλ2x+（2-λ）eλ2，等價于ex-λ2≥x-λ2+1，由（1）知此不等式成立.

所以λa+b的最大值為2eλ2.

探究3條件不變，如何求a-b的最小值？

由探究2的過程，看成λ=-1，令x=-12，可以得到-a+b≤2e-12.

所以a-b的最小值為-2e-12.

探究4條件不變，μ為正常數，如何求μa-b的最小值？

令x=-μ2，得到-μa+b≤2e-μ2，取a=e-μ2，b=（2+μ）e-μ2，則2ex≥2ax+b化成2ex≥2e-μ2x+（2+μ）e-μ2，等價于ex+μ2≥x+μ2+1，由（1）知此不等式成立.所以μa-b的最小值為-2e-μ2.

2含雙參數乘積型表達式的最值問題

例2（2012年全國新課標理改編）已知a，b為實數，不等式ex≥（a+1）x+b對于x∈R恒成立，求（a+1）b的最大值.

分析此問題中a+1的符號比較關鍵，從x→-∞時函數的變化趨勢來看，a+1<0時原不等式不恒成立，a+1=0時，（a+1）b=0不會達到最大值，a+1>0時，常規方法還是首先確定當x變化時b的最大值（與a有關），再將（a+1）b放大為含單變量a的表達式f（a），然后求f（a）的最大值即可.不妨逆向思考，首先在原不等式的基礎上，通過不等式變形，造出（a+1）b，然后再尋求最大值.

解析當a+1<0時，取x=-1+|b|+1a+1，e-1+|b|+1a+1<1，但是

（a+1）x+b=|b|+1+b-（a+1）≥1-（a+1）>1，原不等式不恒成立，矛盾；當

a+1=0時，（a+1）b=0；當

a+1>0時，主要考慮b>0的情形，x>0時，

ex≥（a+1）x+b≥2（a+1）xb，得到2（a+1）b≤e2x2x對x>0恒成立.

不難求出x>0時，e2x2x的最小值為e.

所以有（a+1）b≤e2，當x=12時取得等號.

特別地，當a+1=e，b=e2時，ex≥（a+1）x+b等價于ex≥ex+e2，即ex-12≥x+12.由不等式（1）知此不等式成立.所以（a+1）b的最大值為e2.

探究5已知a>0，b>0，ex≥ax+b對x>0恒成立，k∈N*，k為常數，求akb的最大值.

解析x>0時由均值不等式，得

ex≥ax+b=axk+axk+axk+…+axk+b

≥（k+1）k+1（axk）kb，

兩邊同時k+1次方，得

e（k+1）x≥（k+1）k+1akbxkkk.

所以（k+1）k+1·akbkk≤e（k+1）xxk對x>0恒成立.

設f（x）=e（k+1）xxk，x>0，

f ′（x）=e（k+1）x·（k+1）x-kxk+1，

當x=kk+1時，f（x）取得最小值

（k+1）kekkk.

所以（k+1）kekkk≥（k+1）k+1akbkk.

得到akb≤ekk+1［1］.

特別地，取a=ekk+1，b=ek/（k+1）k+1，ex≥ax+b等價于ex≥ekk+1x+ek/（k+1）k+1，也即ex-kk+1≥x+1k+1.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以akb的最大值為ekk+1.

探究6已知a>0，b>0，ex≥ax+b對x>0恒成立，m，n∈N*，m，n為常數，求ambn的最大值.

解析x>0時由均值不等式，得

ex≥ax+b=axmm+bnn≥（m+n）m+nambnmmnnxm.

也即e（m+n）x≥（m+n）m+n·ambnmmnnxm.

即（m+n）m+n·ambnmmnn≤e（m+n）xxm對x>0恒成立.

設f（x）=e（m+n）xxm，則

f ′（x）=e（m+n）xxm+1［（m+n）x-m］，

當x=mm+n時，f（x）取得最小值em（m+n）mmm.

所以（m+n）m+n·ambnmmnn≤em（m+n）mmm

所以ambn≤nnem（m+n）n.

特別地，取a=emm+n，b=nm+nemm+n，得

ambn=nnem（m+n）n.

ex≥ax+b等價于ex≥emm+nx+nm+nemm+n，

等價于ex-mm+n≥x+nm+n.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以ambn的最大值為nnem（m+n）n.

3含雙參數商型表達式的最值問題

例3已知a>0，b>0，aex≥x+b對x∈R恒成立，求ab的最小值.

解析在aex≥x+b中，令x=0，得到a≥b，即ab≥1.

特別地，令a=b=1，則ab=1，aex≥x+b等價于ex≥x+1.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以ab的最小值為1.

例4已知a>0，b>0，lnx-ex-2ax+b≤0對x>0恒成立，求ba的最大值.

解析在lnx-ex-2ax+b≤0中令x=e，得到

b≤2ae，ba≤2e.

特別地，取a=1e，b=2，

lnx-ex-2ax+b≤0化成lnx-ex-2ex+2≤0.

設f（x）=lnx-ex-2ex+2，則

f ′（x）=-（2x+e）（x-e）ex2，

當x=e時，f（x）取得最大值f（e）=0.

所以lnx-ex-2ex+2≤0成立.

也即ba的最大值為2e.

4結束語

上述在解決含雙參數不等式恒成立條件下的最值問題中，所用的賦值法的本質是首先用特殊狀態探求目標式范圍的必要性，然后再取特殊的雙參數證明目標式取得最值的充分性，邏輯順序是先探后證.對于文中所提到的幾類最值問題，賦值法簡潔高效.

參考文獻：

［1］

紀明亮.統一變量構造函數解決雙參數恒成立問題[J].中學生數學，2023（05）：12-14.

［責任編輯：李璟］