數理結合思想下對一道物理競賽題的解法拓展

摘要：對第39屆物理競賽復賽第5題進行分析，從拓展學生思維的角度出發，采用數理結合的思想，給出有別于標準答案的另兩種解題方法.在解題過程中，采用微分方程對物理問題求解，幫助學生巧妙避免復雜的思維過程，實現對問題求解的簡化，讓學生在比較不同科學方法的過程中體會“一題多解”的魅力，旨在提高學生的科學思維水平，發展學生的綜合能力.同時對解決這一類型的問題提供了一定的幫助與思考.

關鍵詞：一題多解；物理競賽；數理結合；思維能力

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0111-03

物理學科核心素養要求學生具有批判性思維的意識，能基于證據大膽質疑，從不同角度思考問題[1].

物理競賽重點考查參賽學生應用知識的能力和創造性地解決實際問題的能力[2]，這要求學生從多個視角剖析問題，帶著創新思想解決競賽中遇到的問題[3].本文對第39屆全國中學生物理競賽復賽第5題進行多角度研究，給出了新的解題思路.

1原題呈現

（第39屆全國中學生物理競賽復賽第5題）兩根相同的理想輕彈簧，勁度系數均為k、自然長度均為0.兩彈簧之間以一質量為m的小球相連.將彈簧1空著的一端懸掛于天花板上，整個系統自然下垂，初始時靜止.已知兩彈簧中任意一個一旦被拉伸至臨界長度（該臨界長度大于mgk，這里g表示重力加速度的大小）便會被拉斷.

實驗發現，如果緩慢地拉動下面的彈簧2的下端，上面的彈簧1將被拉斷.如果快速地拉動，則很有可能拉斷下面的彈簧2.

（1）設加載于彈簧2下端的作用力隨時間變化的關系為F（t），寫出彈簧1的長度x1（t）及小球加速度x··1（t）所滿足的運動方程.

（2）在一個簡單模型中，假設F（t）與時間t的關系為

F（t）=0αt t<0t≥0

其中α為大于零的常量，它的大小對應力加載的快慢.求在該力的作用下彈簧1、2在t（t>0）時刻的長度x1（t）、x2（t）.

（3）略.

（4）略.

2解答分析

本文重點分析第二問，第二問求運動學表達式x1（t）、x2（t）.x2（t）較易求得，根據胡克定律F（t）=kx2（t）可得.而x1（t）的解法，除了官方給出的兩種標準答案之外，為了拓寬學生的解題思路，提高學生科學思維能力，本文運用數理結合的思想來審視問題，給出了兩種更為簡單方便的新解法.

2.1解法一、二（評分標準中的解析）思路點評——模型簡化

解法一和解法二為評分標準中的解析，這兩種方法的標準答案側重于將本題模型進行簡化，具體簡化過程如下：

由第一問知彈簧1的長度x1（t）及小球加速度x··1（t）滿足運動方程為

mx··=-kx1+mg+F（t）①

由第二問的條件得在t≥0時有

mx··1=-kx1+mg+at②

要求x1（t）的表達式，可先對原有模型進行簡化：根據方程①可將模型中彈簧2作用在小球上的拉力直接當成變力F（t），此時模型可視為受到變力F（t）及重力的一維彈簧振子.

受到變力F（t）及重力的一維彈簧振子，在每一瞬間都可看成簡諧振動，設彈簧振子在某時刻t相對平衡位置的位移為y1，則y1=x1-mgk-amt，代入②得

y··1+kmy1=0.根據數學知識可算出y1通解，進而計算出x1通解，此為解法一的思路.

已知只受重力的一維彈簧振子做簡諧運動，所以此時可將彈簧振子的運動看成簡諧振動和變速運動的疊加.設只受重力的彈簧振子相對平衡位置的位移為y2，則y2=x1-mgk

，代入②，得

y··2=kmy2=αmt

.根據數學知識可算出y2通解，進而計算出x1通解，此為解法二的思路.

2.2解法三

依題知

mx··1=-kx1+mg+αt ②

對②式的兩側分別求時間的一階導數有

mx···1=-kx·1+α③

令y=x·1，則

y··+kmy=αm④

該方程所對應的奇次方程的通解可為

y通=Acos（ωt+φ）

式中A和φ為待定常量.此非齊次項顯然有下列形式的特解：

y特=B

式中B是待定常量.代入方程④可定出

B=αmω2=αk⑤

于是

x·1=y=Acos（ωt+φ）+αk⑥

故x··1=-Aωsin（ωt+φ），x1=Aωsin（ωt+φ）+αkt+C⑦

式中C是待定常量.將⑦兩式代入②可定出

C=mgk

于是

x1=Aωsin（ωt+φ）+αkt+mgk.⑧

2.3解法四

依題知

mx··1=-kx1+mg+αt⑨

對⑨式的兩側分別求時間的二階導數有

mx····1=-kx··1⑩

可得

x··1=Acos（ωt+φ）

式中A和φ為待定常量.將代入⑨得

x1=-mAkcos（ωt+φ）+mgk+αkt

以上為求x1（t）通解的多種方法.以第三種解法為例，根據已知的初始條件求出其定解：

初始條件為

x1（0）=mgk，x·1（0）=0

由⑧得

x1（0）=Aωsinφ+mgk=mgk

即

φ=0，π

由⑥有

x·1（0）=Acosφ+αk=0

即

A=-αkcosφ=±αk15

A為振幅，取為非負值，且α、k均為正，因此

cosφ=-αAk=-1

可以定出

A=αk，φ=π16

因此有

x1（t）=-αωksinωt+αkt+mgk17

最后由胡克定律求出x2（t），具體如下

F（t）=kx2（t）

有

x2（t）=αkt.18

3數理結合思維過程

解法三、解法四均利用數理結合的思想，采用微分方程對物理問題求解.在解決問題的過程中合理利用數學工具，可避免復雜的思維過程，也可簡化解題程序.

運用數理結合思維方法解決問題時，通常可采用以下過程：

3.1邏輯思維為基礎

競賽的問題解決過程中，清晰的邏輯思維非常重要.與常規物理問題相比，競賽題目通常更加復雜化、抽象化.因此，構建清晰的邏輯思維框架是解決問題所必備的條件.這要求參賽學生不僅要能夠準確理解題目要求，還要能夠運用物理定律和原理去構建解決問題的路徑.

3.2物理模型精構建

對于物理競賽，構建合適、精巧的物理模型是解決問題的必備步驟.這要求參賽學生具備豐富的物理知識和敏銳的洞察力，能夠從復雜的題目條件中抽象出物理問題的本質，進而構建出有效的物理模型.

3.3方程建立詳求解

構建了物理模型之后，參賽學生需要運用數理結合的思想建立方程，并求解.在這個過程中，不僅要考慮方程的準確性，還要考慮解題的效率.對于復雜的方程，需要學生在有限的時間內，熟練運用物理知識、數學方法、解題技巧進行求解.這對學生靈活應用物理及數學知識提出了更高的要求.

3.4數學工具巧應用

物理競賽在解決問題的過程中往往涉及高等數學工具的應用，如微分方程、積分方程、線性代數等（解法三和解法四就是建立在微分方程的巧妙運用上）.熟練掌握這些數學工具，不僅能夠幫助參賽學生建立復雜的數學模型，還能夠使解題過程更加高效、準確.

3.5變量關系細分析

對變量關系的深入分析是物理競賽中重要的一環.參賽學生需要綜合不同物理量之間的關系，了解它們如何相互影響；同時，在運用邏輯思維的基礎上，將物理量按照符合邏輯的方式整理；通過對變量關系的仔細分析，找出物理量之間的內在聯系，進而揭示復雜問題的本質.這需要參賽學生對物理定律有深刻的理解.不僅要求變量關系本身符合物理原理，還要求對結果有深入的分析和合理的解釋.因此，扎實的物理基礎、清晰的邏輯思維再次展現了重要性.

4結束語

參與物理競賽不僅是對參賽學生知識和技能的挑戰，也是對他們邏輯思維、創新能力、問題解決能力的全面鍛煉.在訓練和參與競賽的過程中，參賽學生可以接觸到更廣闊的物理領域，拓寬視野，增強對物理學的熱愛和興趣.同時，奧賽也為參賽學生提供了一個展示自己物理邏輯思維和數學運用水平的平臺，為未來的學術和職業發展打下了堅實的基礎.競賽是對參賽學生物理知識和綜合技能的高水平檢驗，要求參賽學生具備清晰的邏輯思維和熟練的數學知識.通過靈活運用數學工具、構建有效的物理模型、深入分析變量關系等過程，參賽學生可以更好地應對挑戰，展現自己的才華和潛力.

參考文獻：［1］

陳顯盈，尤愛惠.建構不同物理模型提升學科核心素養：以“2020年全國中學生物理競賽預賽第11題”為例[J].物理教師，2021，42（05）：94-96.

[2]全國中學生物理競賽委員會.全國中學生物理競賽專輯2019[M].北京：北京大學出版社，2019.

[3]黃國超.拓展思維空間 培養發散思維：以一物理競賽試題為例[J].數理化解題研究，2021，19：89-90.

［責任編輯：李璟］