例析電磁感應中的不含容式單棒導軌問題

摘要：不含電容器的單棒導軌電磁感應問題被視為電磁感應、電路理論、力學原理和能量轉換的綜合應用，在高中物理教學中具有深遠意義.將單棒導軌問題劃分為阻尼型、電動型和發電型三種類型，并分別討論導體棒的減速運動、加速運動和勻速運動情況.通過具體例題分析，為學生提供了解決這類問題的思路和方法.

關鍵詞：電磁感應；單棒導軌；感應電動勢；安培力；能量轉換

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0105-03

電磁感應中的單棒導軌問題是對電磁感應、電路理論、力學原理以及能量轉換的綜合應用，常常作為物理高考中的難點題目.這類問題的核心在于能量形式的轉換，解決時需從能量和功的角度出發，理解導體棒在切割磁感線過程中能量轉換的機制.本文針對電磁感應中不含電容器的單棒導軌問題，將其分為以下三種類型.

1阻尼式——a逐漸減小的減速運動

在阻尼型問題中，導體棒經歷一個加速度逐漸減少的減速過程，最終達到靜止狀態.導體棒在電路中充當電源，安培力作為阻力與速度成正比.

例1如圖1所示，MN和PQ是兩根平行放置的金屬導軌，不計電阻，間距為L.左側弧形區域光滑；右側的水平區域表面粗糙，且處在磁感應強度大小為B的勻強磁場中.該磁場與水平導軌平面的夾角為θ.導軌右端連接著一個阻值為R的定值電阻.一個質量為m、長度為L的金屬棒，垂直放置在金屬導軌上，與水平導軌間的動摩擦因數為μ.初始時，金屬棒位于導軌左端的h高度處，由靜止狀態釋放，隨后進入磁場，經過時間t停止運動.已知金屬棒電阻為R，與導軌接觸良好，且始終與磁場保持垂直，則金屬棒進入磁場區域后，有（）.A.定值電阻R兩端的最大電壓為BLsinθ2gh2

B.金屬棒在水平導軌上運動時所受摩擦力越來越大

C.定值電阻R產生的焦耳熱為12mgh

D.金屬棒在磁場中運動的距離為2mR（2gh-μgt）B2L2sinθ（sinθ-μcosθ）

解析設金屬棒進入磁場時的速度為v0，則有mgh=12mv20，求得v0=2gh.產生的電動勢為E=BLv0sinθ，電路中的電流為I=E2R=BLv0sinθ2R.導體棒受到安培力為FA=BIL，對其進行受力分析，如圖2所示.在豎直方向上，由平衡條件得FAcosθ+FN=mg.

當導體棒剛剛進入磁場時，其速度最大，

電動勢E、電流I和電阻R兩端的電壓也達到最大，根據U=IR得：U=BL2ghsinθ2，故A選項正確.

在水平導軌上，金屬棒做減速運動，

電動勢E、電流I以及安培力FA均隨之減小.隨著FA的減小，FN必須增大，根據摩擦力的計算公式f=μFN，摩擦力f也將逐漸增大，故B選項正確.

在無摩擦的理想情況下，由能量守恒定律可得Q熱=mgh.定值電阻R產生的焦耳熱為QR=12Q熱=12mgh.考慮到水平導軌存在摩擦，定值電阻R產生的焦耳熱小于12mgh.故C選項錯誤.

金屬棒運動過程中，以水平向右方向為正方向，根據動量定理有-μ（mg-FAcosθ）t-FAsinθ·t=0-mv0；金屬棒在磁場中的運動距離

x=v-t.聯立兩個方程解得x=2mR（2gh-μgt）B2L2sinθ（sinθ-μcosθ）.故選項D正確.

點評在本題中，金屬棒剛進入磁場時，速度達到最大值，此時產生的感應電動勢和定值電阻兩端的電壓也達到峰值.學生可以通過動量定理結合運動學公式來求解金屬棒在磁場中的運動位移[1].

2電動式——a逐漸減小的加速運動

在電動型問題中，導體棒經歷一個加速度逐漸減小的加速過程后，最終保持勻速運動狀態，電流可能為零或保持恒定.在電路中，導體棒的運動又產生反電動勢.安培力作為推動力，隨著速度的降低而減小.速度為零時，反電動勢為零，電流、安培力和加速度達到最大.

例2電磁炮是一種新型武器，其工作原理是利用電磁力對彈體進行加速.在某實驗中，一組研究者使用圖3所示的設備來模擬電磁炮的工作原理.導軌間存在豎直向上的勻強磁場，間距為0.1 m，磁感應強度為0.5 T.導軌左端連接的電池電動勢為1.5 V，內阻為0.5 Ω.金屬桿ab長度為0.1 m，電阻為0.1 Ω，靜止放置在導軌上.當開關S閉合后，桿ab開始向右移動.在運動過程中，桿ab受到的恒定阻力為0.05 N，該阻力始終與導軌垂直且保持良好的接觸.導軌電阻不計，可以推斷桿ab（）.

A.先做勻加速直線運動，后做勻速直線運動

B.速度最大值為12 m/s

C.ab兩端的電壓始終保持0.25 V

D.達到最大速度時，ab兩端的電壓為1 V

解析在接通電源的瞬間，安培力大于阻力，導體棒向右加速運動，產生的感應電動勢E′=BLv也隨之增大.電流強度逐漸減小，安培力也隨之減小，加速度也逐漸減小，當安培力和阻力相等時，速率達到最大值，此時加速度為零.故選項A錯誤.

設最大速度為vm，導體棒受力平衡，則有：BIL=f，解得I=0.050.5×0.1 A=1 A，則I=E-E′R+r，解得：E′=0.9 V，根據E′=BLvm解得：vm=0.90.5×0.1 m/s=18 m/s.故選項B錯誤.

由于桿做變加速運動，安培力變化、電流強度變化，則ab兩端的電壓發生變化.故選項C錯誤.

達到最大速度時，ab兩端的電壓為U=E-Ir=1 V.故選項D正確.

點評在求解電磁感應問題時，學生可以嘗試采取兩種思路：一是從力的角度出發，利用牛頓第二定律或力的平衡條件建立方程；二是從能量的角度出發，分析電磁感應現象中的能量轉換問題，依據動能定理和功能關系等建立方程以解決問題.

3發電式——a逐漸減小的加速運動

在發電式問題中，導體棒先是做加速度逐漸減小的加速運動，最終保持勻速狀態，且電流保持恒定.當導體棒的速度為零時，加速度最大；當導體棒的加速度為零時，速度達到最大.

例3如圖4所示，間距為L的MN、PQ的平行金屬導軌與水平面夾角為θ.N、Q之間接有一個電阻R.勻強磁場磁感應強度為B，方向垂直于導軌平面向上.ab處放置著質量為m、電阻為r的金屬棒，其他電阻忽略不計.金屬棒由靜止狀態開始沿導軌向下運動，與導軌接觸良好，與導軌間的動摩擦因數為μ，到cd處的速度為v，之后速度保持恒定.cd與ab之間的距離為s（重力加速度為g）.下列說法正確的是（）.

A.金屬棒到達cd位置之前沿導軌勻加速下滑

B.金屬棒達到cd處的速度v=mgsinθ-μmgcosθB2L2（R+r）

C.金屬棒從位置ab運動到cd的過程中，電路中產生的焦耳熱以及摩擦生熱之和等于金屬桿機械能的減小量

D.金屬棒從位置ab運動到cd的過程中，電阻R產生的熱量Q=mgs·sinθ-12mv2-μmgs·cosθ

解析感應電動勢E=BLv，感應電流I=ER+r，安培力F=B2L2vR+r.金屬棒到達cd位置之前，有mgsinθ-μmgcosθ-F=ma，解得a=gsinθ-μgcosθ-B2L2vm（R+r），金屬棒在到達cd位置前做加速度減小的加速運動.故選項A錯誤.

金屬棒到達cd位置后做勻速直線運動，由平衡條件得：mgsinθ-μmgcosθ-F=0，解得金屬棒達到cd處的速度大小v=mg（sinθ-μcosθ）（R+r）B2L2.故選項B正確.

金屬棒從位置ab移動到cd的整個過程中，根據能量守恒定律，電路中產生的焦耳熱與由摩擦產生的熱量之和等于金屬桿機械能的減小量.故選項C正確.

金屬棒從位置ab運動到cd的過程中，設回路產生的總焦耳熱為Q總，由能量守恒定律得：mgs·sinθ=12mv2+μmgs·cosθ+Q總，電阻R產生的焦耳熱Q=RR+rQ總，解得Q=RR+r（mgs·sinθ-12mv2-μmgs·cosθ）.故選項D錯誤.

點評學生首先需要明確金屬棒的運動軌跡，應用牛頓第二定律計算加速度，判斷金屬棒的運動性質，利用力的平衡條件求出金屬棒到達cd處的速度，再應用安培力公式、平衡條件、能量守恒定律解題[2].

4結束語

學生在解決不包含電容器的單桿導軌問題時，應從電學、力電、功能等多個角度進行綜合分析：①通過電學角度識別產生電磁感應的導體部分，計算感應電動勢，確定電流方向，并分析電路結構；②從電學、力學角度分析閉合回路中磁通量的變化，計算導體棒產生的感應電動勢、感應電流和安培力，分析合外力、加速度和速度變化，直至導體棒達到穩定運動狀態；③從功能角度考慮電磁感應過程中能量的轉化，以及外力克服安培力做功時其他形式的能轉化為電能，反之亦然；④結合動量定理與微元法，建立力、時間、速度關系，從牛頓第二定律與微元法的視角，建立力、時間、位移之間的關系.

參考文獻：［1］

唐武建.中學物理雙棒模型規律及其習題教學研究[D].南寧：廣西師范大學，2022.

[2]張雙有.透析電磁感應“單桿+傾斜導軌”模型的七大問題 [J].數理化學習（高中版），2022（03）：51-53.

［責任編輯：李璟］