摘要：導數不等式是微分學中的重要問題，在多個領域都有廣泛的應用.文章提出了一種新的求解導數不等式的方法——構造函數法.該方法的主要步驟是首先構造適當的輔助函數，然后利用這些函數將導數不等式轉化為等式問題，最后通過求解這些等式得到原不等式的解.

關鍵詞：構造函數法;導數不等式;微分學;等式問題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0070-03

微分學在多個領域廣泛應用，但導數不等式問題復雜且重要.傳統求解方法如臨界值法、修正牛頓法在處理簡單問題時有效，但對復雜問題存在局限.本文提出構造函數法，旨在解決這一挑戰.該方法通過構造輔助函數，將導數不等式轉化為等式問題，進而求解原不等式.這種方法不僅提升了求解的靈活性和通用性，還為復雜問題的解決提供了新思路.在微分學和應用數學領域，構造函數法有望成為一種有效的工具，推動相關研究的深入發展.

1導數不等式及其應用

1.1導數不等式概述

導數不等式是微積分領域的關鍵課題，對函數行為有重要限制與估計作用，其研究歷史悠久，傳統方法在處理復雜問題時受限.導數不等式在最優控制、金融數學和生物建模等領域廣泛應用.深入研究和創新求解方法，如構造函數法，對推動理論發展和解決實際問題至關重要[1].掌握導數不等式的理論基礎并應用于實際問題，是現代科研的重要任務，這不僅能深化數學理解，還能拓展其應用領域的廣泛可能性.

1.2導數不等式在微分學中的地位

導數不等式在微分學中至關重要，是驗證函數性質、證明定理的有效工具.它可以確定函數單調性和極值點，常用于顯性估計和極限理論.在泛函分析、偏微分方程等領域，導數不等式提供了分析工具，助力解決復雜數學問題.深入研究導數不等式及其解法，對推動數學發展和應用具有重要意義，增強了解決實際問題的能力[2].

1.3導數不等式在各領域的應用實例

導數不等式在多個領域具有廣泛應用.在經濟學中，用于優化生產函數和成本函數，幫助實現資源配置的最佳化.在工程學中，通過求解導數不等式，可以優化材料性能和機械設計.例如，在經濟學中，導數不等式常用于分析成本函數與利潤最大化問題.

例1（2023年邢臺檢測）2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運動會開幕式在北京國家體育場舉行，拉開了冬奧會的帷幕.冬奧會發布的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”得到了大家的廣泛喜愛，達到一墩難求的地步.當地某旅游用品商店獲批經銷此次奧運會紀念品，其中某個掛件紀念品每件的成本為5元，并且每件紀念品需向稅務部門上交a元（10≤a≤13）的稅收，預計當每件產品的售價定為x元（13≤x≤17）時，一年的銷售量為（18-x）2萬件.

（1）求該商店一年的利潤f（x）（萬元）與每件紀念品的售價x的函數關系式；

（2）求出f（x）的最大值Q（a）.

解析（1）由題意，預計當每件產品的售價為x元（13≤x≤17）時，一年的銷售量為（18-x）2萬件，而每件產品的成本為5元，且每件產品需向稅務部門上交a元（10≤a≤13），

所以商店一年的利潤f（x）（萬元）與售價x的函數關系式為f（x）＝（x-5-a）（18-x）2，x∈[13，17].

（2）因為f（x）＝（x-5-a）（18-x）2，x∈[13，17]，

所以f ′（x）＝（28＋2a-3x）（18-x）.

令f ′（x）＝0，解得x＝28+2a3或x＝18.

而10≤a≤13，則16≤28+2a3≤18.

①若16≤28+2a3<17，即10≤a<11.5，

當x∈［13，28＋2a3］時，f ′（x）≥0，f（x）單調遞增，

當x∈［28＋2a3，17］時，f ′（x）≤0，f（x）單調遞減，

所以f（x）max＝f （28＋2a3）＝427（13-a）3.

②若17≤28+2a3≤18，即11.5≤a≤13，則f ′（x）≥0，即f（x）在[13，17]上單調遞增.

所以f（x）max＝f（17）＝12-a.

綜上，Q（a）＝427（13-a）3，10≤a<11.5，12-a，11.5≤a≤13.

2構造函數法的原理和步驟

2.1構造函數法的概述和公式

構造函數法通過構建與原導數不等式緊密相關的輔助函數，將不等式問題轉化為更易求解的等式.核心在于巧妙選取輔助函數，其需簡化導數不等關系并便于計算，使復雜不等式轉化為簡單等式.

例2（2023年山東濰坊一模）已知函數

f（x）＝ex-1lnx，g（x）＝x2-x.

求證：當x∈（0，2）時，f（x）≤g（x）.

證明原不等式等價于ex-1lnx≤x2-x＝x（x-1）.

即lnxx≤x-1ex-1.

只需證lnxelnx≤x-1ex-1在x∈（0，2）上恒成立.

設l（x）＝xex，則l′（x）＝ex-xex（ex）2＝1-xex.

所以，當0＜x<1時，l′（x）>0，l（x）單調遞增；當1＜x＜2時，l′（x）<0，l（x）單調遞減，所以l（x）≤l（1）＝1e.

令t（x）＝lnx-x＋1，則t′（x）＝1x-1＝1-xx.

當0<x<1時，t′（x）>0，t（x）單調遞增；當x>1時，t′（x）<0，t（x）單調遞減.

所以t（x）＜t（x）max＝t（1）＝0.

所以lnx≤x-1（當且僅當x＝1時取等號），且在x∈（0，2）上有lnx<1，x-1<1，所以l（lnx）≤l（x-1）.

即lnxelnx≤x-1ex-1.

所以當x∈（0，2）時，有f（x）≤g（x）成立.

2.2構造適當的輔助函數的原則和方法

構造函數法的關鍵在于選擇適當的輔助函數，需遵循以下原則：與原不等式密切相關，揭示關鍵變量與關系；具備良好的數學性質，如連續可導、單調性；計算復雜度適中，避免過度復雜；通用性強，適用于廣泛問題[3].構造方法包括直接構造法、差分法和迭代法，通過分析特征、簡化不等式或逐步逼近來構造.

應靈活運用這些方法，以適應不同類型的導數不等式問題，確保問題有效轉化和求解.

2.3將導數不等式問題轉化為等式問題

導數不等式的求解一般通過構建適當的輔助函數，將其轉化為等式問題.構造函數通常具有導數特性，使得不等式形式能夠轉化成等式形式.求解步驟包括求出構造函數的導數，代入原不等式轉化后的等式中，進行代數操作以求解未知變量.通過這種方法，原不等式問題被簡化為求解一個或多個等式，可以利用標準求解方法得到不等式的解.這種轉化不僅簡化了求解過程，也提高了求解的準確性和效率.

3構造函數法在導數不等式中的應用與評價

3.1選取典型的導數不等式，并用構造函數法求解

為了展示構造函數法在求解導數不等式中的具體應用，我們可以考慮一個典型的導數不等式問題：ex≥x+1，這個不等式在實數范圍內都成立.

為了證明這個不等式，我們可以使用構造函數法.

首先構造f（x）=ex-x-1，求導，得

f ′（x）=ddx（ex-x-1）=ex-1.

當x<0時，ex<1，所以f ′（x）=ex-1<0，即f（x）在（-∞，0）上單調遞減；

當x>0時，ex>1，所以f ′（x）=ex-1>0，即f（x）在（0，+∞）上單調遞增.

由于f（x）在x=0處由單調遞減變為單調遞增，因此x=0是f（x）的極小值點.

將x=0代入f（x），得到f（0）=e0-0-1=0.

由于f（x）在x=0處取得極小值0，并且f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，因此f（x）≥0對所有x∈R都成立.即ex≥x+1對所有x∈R都成立.

通過構造函數法，我們證明了ex≥x+1這個不等式在實數范圍內都成立.這種方法的關鍵在于通過求導判斷函數的單調性，并找到可能的極值點，進而確定函數在整個定義域上的取值范圍.整個過程展示了構造函數法在處理導數不等式問題時的有效性和靈活性.

3.2與傳統方法比較求解準確性和復雜度

求解導數不等式時構造函數法顯著優于傳統方法.它簡化了問題，提高了求解效率，尤其在處理復雜情況時速度更快.在準確性上，構造函數法避免了近似和簡化，提供了更精確的解.在復雜度上，傳統方法計算步驟多且依賴性強，而構造函數法通過清晰的構造與求解流程，大大簡化了計算過程，降低了復雜度.

4結束語

本研究提出構造函數法求解導數不等式，將不等式問題轉化為等式問題，通過求解等式得解.該方法高效通用，實例驗證顯示其優勢.然而，面對導數不等式的復雜性，該方法在某些特定問題上可能存在困難.未來研究需優化方法，擴大適用范圍[4].隨著研究深入，構造函數法有望在更多領域和問題中發揮獨特優勢.

參考文獻：

［1］

林琳.淺析高中數學解題中構造函數的有效應用[J].試題與研究，2024（02）：19-21.

［2］ 丁紅艷，楊曉丹.構造函數法求解高考解答題中參數的范圍[J].數學之友，2024（01）：73-74.

［3］ 邱嘉怡.構造函數法在比較大小試題中的應用與思考[J].數理化解題研究，2023（34）：67-69.

[4]徐世璋.構造函數，證明不等式[J].語數外學習（高中版上旬），2023（04）：58-59.

［責任編輯：李璟］