“三全育人”背景下概率統(tǒng)計課程的教學(xué)案例

摘要：隨著社會的進步和科技的發(fā)展，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門強調(diào)實踐應(yīng)用的大學(xué)數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程，其教學(xué)研究值得我們不斷思考。本文立足“三全育人”工作格局，以概率統(tǒng)計中經(jīng)典內(nèi)容貝葉斯公式為例，在課堂教學(xué)設(shè)計過程中，引導(dǎo)學(xué)生以問題驅(qū)動的形式思考和分析問題。融入思政元素，踐行“三全育人”理念，提高學(xué)生應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識解決實際問題的能力，實現(xiàn)德育目標(biāo)，達到知識傳授與價值塑造的雙層目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計；三全育人；貝葉斯公式

Abstract：Withtheprogressofsocietyandthedevelopmentoftechnology，thecourse"ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics"，asahighlyappliedpublicbasiccourseinuniversitymathematics，deservesourcontinuousreflectiononitsteachingresearch.Thisarticleisbasedontheworkpatternof"comprehensiveeducation"，takingtheclassiccontentof"probabilityandstatistics"asanexample，andguidingstudentstothinkandanalyzeproblemsinaproblemdrivenmannerintheprocessofclassroomteachingdesign.Integratingideologicalandpoliticalelements，practicingtheconceptof"comprehensiveeducation"，improvingstudents'ability&nb58912c60cc2735be0c5739cfc7da1e81d5ecae810eea07990c6adf116c9a204bsp;toapplyprobabilitytheoryandeducationalstatisticsknowledgetosolvepracticalproblems，achievingmoraleducationgoals，andachievingadualgoalofknowledgetransmissionandvalueshaping.

Keywords：ProbabilityTheoryandMathematicalideologicalandpolitical；Threefulleducation；Bayesformula

習(xí)近平總書記在2016年12月全國高校思想政治工作會議上的講話中指出：“要堅持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面?！保?2］。2020年4月，《教育部等八部門關(guān)于加快構(gòu)建高校思想政治工作體系的意見》印發(fā)，明確提出“以建立完善全員、全程、全方位育人體制機制為關(guān)鍵”［3］。中國的設(shè)計教育需要牢牢把握立德樹人的核心使命，深入挖掘并發(fā)揮中國特色社會主義教育的獨特育人價值，以社會主義核心價值觀作為行動指南，以全面提升人才培養(yǎng)質(zhì)量為核心，確保思想政治工作體系與高等院校的教學(xué)體系相互融合、相互貫通。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（簡稱“概率統(tǒng)計”）是專注于探究隨機事件及其統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。通過本課程的學(xué)習(xí)，旨在幫助學(xué)生掌握概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，以便他們能夠初步掌握處理隨機現(xiàn)象的基本思想和方法，并具有運用統(tǒng)計方法解決實際問題的能力。在全面推進“三全育人”的教育背景下，概率統(tǒng)計課程的教學(xué)需要注重培養(yǎng)學(xué)生的實際應(yīng)用能力和綜合素質(zhì)?；诖?，在教學(xué)過程中，筆者以貝葉斯公式為例，將思政教育有效融入課程教學(xué)，在發(fā)揮概率統(tǒng)計課程隱性育人功能的同時，使學(xué)生的創(chuàng)新能力得到普遍提升。

1教學(xué)設(shè)計

1.1教學(xué)背景

貝葉斯公式在概率統(tǒng)計中占有重要地位，它被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，如科學(xué)、技術(shù)、醫(yī)學(xué)等。貝葉斯公式是在“條件概率、全概率公式”概念提出的前提下，從已知結(jié)果事件的概率推算未知復(fù)雜原因事件概率的內(nèi)容。它是處理“逆向概率”問題，即已知結(jié)果，反推原因的概率問題。

1.2學(xué)情分析

（1）學(xué)生的知識現(xiàn)狀分析。學(xué)生在上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了條件概率、乘法公式和全概率公式，這些知識為本節(jié)課深入學(xué)習(xí)貝葉斯公式打下了堅實的基礎(chǔ)。然而，對學(xué)生而言，貝葉斯公式理解起來存在一定的難度。因此，在教學(xué)過程中，筆者會提前對所需知識進行復(fù)習(xí)和鞏固，以確保學(xué)生能夠更好地掌握和理解貝葉斯公式的內(nèi)涵和應(yīng)用。

（2）學(xué)生應(yīng)用層面分析。首先，盡管學(xué)生可以復(fù)述公式，但在面對真實問題時，他們往往不知道如何應(yīng)用貝葉斯公式。學(xué)生缺乏對數(shù)據(jù)和信息的分析和處理能力，這使得他們難以將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。因此文中采用了貼近生活的實例進行分析。其次，將貝葉斯公式應(yīng)用于實際問題時，學(xué)生需要面對復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理和模型構(gòu)建問題，這要求他們具備較高的實踐能力和創(chuàng)新思維。根據(jù)學(xué)生的認知水平和學(xué)習(xí)背景，采用循序漸進的教學(xué)策略，從基本概念入手，逐步深入公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

（3）情感價值觀分析。由于公式本身的復(fù)雜性，學(xué)生可能會在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生挫敗感，影響其持續(xù)學(xué)習(xí)的動力。在教學(xué)過程中，將從簡單易懂的生活實例開始，逐步引導(dǎo)學(xué)生進入學(xué)習(xí)狀態(tài)，從而增強他們學(xué)習(xí)的自信心。

1.3教學(xué)目標(biāo)

（1）知識目標(biāo)：理解貝葉斯公式的含義及其應(yīng)用背景。掌握貝葉斯公式的計算方法，能夠根據(jù)已知條件進行概率計算。理解貝葉斯公式的條件概率和全概率之間的關(guān)系，借助貝葉斯公式進行實際問題的解決。

（2）能力目標(biāo)：通過實例演示，學(xué)生了解貝葉斯公式的應(yīng)用場景和重要性；通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，學(xué)生掌握貝葉斯公式的計算方法和步驟；通過小組討論和案例分析，培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并解決的能力。

（3）思政目標(biāo)：將“思政元素”融入專業(yè)課堂。通過貝葉斯公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和探索創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生積極參與討論和實踐，激發(fā)他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力；有助于培養(yǎng)學(xué)生的誠信意識和社會主義核心價值觀，進一步培養(yǎng)他們的社會責(zé)任感和使命感。

1.4教學(xué)重點

（1）理解、掌握貝葉斯公式。

（2）貝葉斯公式的條件概率和全概率之間的關(guān)系。

1.5教學(xué)難點

條件概率和全概率之間的關(guān)系以及在實際應(yīng)用中，確定是由因求果（全概率公式），還是執(zhí)果索因（貝葉斯公式）。貝葉斯公式的核心在于通過先驗概率和新的觀測數(shù)據(jù)來更新后驗概率，這一過程涉及復(fù)雜的邏輯推理和數(shù)學(xué)計算，可能使學(xué)生感到困惑。

1.6思路設(shè)計（見圖1）

2教學(xué)過程

2.1問題引入

案例：測謊儀是用來檢測一個人是否說謊的儀器，經(jīng)常被用于征兵、安全部門的篩查、偵破、訴訟等領(lǐng)域。

問題：如何從概率的角度來說明當(dāng)測謊儀顯示他說謊時，他真的說謊了嗎？

2.2舊知回顧

（1）條件概率公式：

P（B|A）=P（AB）P（A）

（2）概率的乘法公式：

P（AB）=P（B|A）P（A）=P（A|B）P（B）

（3）全概率公式：

P（A）=∑ni=1P（A|Bi）P（B）

值得注意的是乘法公式中，這兩個公式如何來選取呢？就看A和B是誰先發(fā)生。如果B事件先與A事件發(fā)生，就采用前者。如果A事件先于B事件發(fā)生，就采用后者。全概率公式解決的是由因求果的問題，也就是已知原因發(fā)生的概率，探求結(jié)果發(fā)生的概率。知道每一個原因發(fā)生的概率，再知道每一種原因發(fā)生條件下，結(jié)果發(fā)生了條件概率，然后每一種原因?qū)е陆Y(jié)果發(fā)生的概率加權(quán)求和，就得到了全概率公式。其基本思想就是化繁為簡，化整為零，分而治之，各個擊破。

2.3新知探索

用客觀的新信息更新我們最初關(guān)于某個事物的信念后，我們就會得到一個新的、改進了的信念。

全概率公式：

全盤考慮所有導(dǎo)致事件B發(fā)生的原因，由因求果。

貝葉斯公式：

P（Ai|B）——條件概率，執(zhí)果索因。

（1）貝葉斯（Bayes）公式定義：

設(shè)A1A2，…An為樣本空間Ω的一個劃分，即：

∪niAi=Ω，且AiAj=，i≠j，i，j=1.2.…，n.

對任意事件BΩ，P（B）＞0，則：

P（Ai|B）=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj），i=1，2，…n.

英國數(shù)學(xué)家貝葉斯（ThomasBayes）提出了一個重要研究成果——貝葉斯公式。貝葉斯主要研究概率論，并且成功地將歸納推理法融入概率基礎(chǔ)理論中，進而形成了貝葉斯統(tǒng)計理論。貝葉斯在概率論領(lǐng)域有頗深的研究。經(jīng)過多年的發(fā)展和精進，貝葉斯公式的核心理念已經(jīng)深化并拓展為一套完整且系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷方法論——“Bayes方法”。

（2）對貝葉斯公式的證明：

證明：因為A1A2，…An為樣本空間的一個劃分，由全概率公式得：

P（B）=∑ni=1P（B|Ai）P（Ai）

由條件概率公式：

P（Ai|B）=P（AiB）P（B）

=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj）

（3）對貝葉斯公式的說明：

①把事件B看成某一過程的結(jié)果，而A看成該過程中導(dǎo)致這一結(jié)果發(fā)生的所有可能原因。根據(jù)以往的資料，每一個原因發(fā)生的概率是已知的，而且每一個原因?qū)Y(jié)果的影響程度也是已知的。如果已知結(jié)果B發(fā)生的情況下，要求此時由第i個原因所引起的概率，那么就可以用這個貝葉斯公式了。也就是說，貝葉斯公式解決的是由果索因的問題。

②貝葉斯公式的本質(zhì)：貝葉斯公式的本質(zhì)是在已知某個觀測結(jié)果的情況下去更新某個原因的概率。貝葉斯公式可以用乘法公式和全概率公式來展開條件概率公式中的分子和分母，從而得到更準(zhǔn)確的概率估計。貝葉斯公式的另一個重要特點是它考慮了先驗概率，即在觀測結(jié)果發(fā)生之前的原因的概率，從而在更新概率時能夠考慮到歷史數(shù)據(jù)和經(jīng)驗信息。這正是貝葉斯理論的核心思想，就是用后驗概率迭代更新先驗概率。

2.4問題解決

案例：檢測人說謊時正確檢測的概率為0.88，檢測人沒有說謊時誤判的概率為0.14。大部分人比較誠實，說謊概率設(shè)為0.01；把嫌疑犯的說謊概率設(shè)為0.6。比較不同人群測謊儀測謊結(jié)果的可信度。

分析：

解：已知P（B|A）=0.88，P（B|A）=0.14

對大部分人P（A）=0.01

由貝葉斯公式：

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.01×0.880.01×0.88+0.99×0.14

≈0.06

對于嫌疑犯P（A）=0.06

由貝葉斯公式：

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.6×0.880.6×0.88+0.4×0.14

≈0.904

由上知：先驗概率P（A）=0.01P（A）=0.06

后驗概率P（A|B）≈0.06P（A|B）≈0.904

故測謊儀并不適用于普通人，但對特殊人群還是可信的。初始概率越準(zhǔn)確，就能越容易、越快速地得到真實的概率。

2.5應(yīng)用舉例

例題“三人成虎”是一個古老的成語，意思是三個人謊報集市里有老虎，聽者就信以為真。這個成語實際上是一個典型的貝葉斯公式應(yīng)用的案例。

假設(shè)集市上出現(xiàn)老虎的概率是P（A）=a，每個人對此事（出現(xiàn)老虎）說真話的可能為P（B）=b（這里假設(shè)每人說真話的概率相同，當(dāng)然，概率不同的話也是一樣的道理，為了簡化后面的推導(dǎo)，就這么假設(shè)），考慮以下幾件事件的概率：

（1）有一個人說市集上有老虎，而確實有老虎的概率：P1=P（A|B1）；

（2）有兩個人說市集上有老虎，確有老虎的概率：P2=P（A|B1B2）；

（3）有n個人說市集上有老虎，確有老虎的概率：Pn=P（A|B1B2…Bn）。

解：（1）由貝葉斯公式：

P1=P（A|B1）

=P（A）P（B1|A）P（A）P（B1|A）+P（A）P（B1|A）

=abab+（1－a）（1－b）

（2）由貝葉斯公式和條件獨立：

P2=P（A|B1B2）

=P（A）P（B1B2|A）P（A）P（B1B2|A）+P（A）P（B1B2|A）

=P（A）P（B1|A）P（B2|A）P（A）P（B1|A）P（B2|A）+P（A）P（B1|A）P（B2|A）

=ab2ab2+（1－a）（1－b）2

（3）類似地，我們可得：

Pn=P（A|B1B2…Bn）=abnabn+（1－a）（1－b）n

分析：

集市出現(xiàn)老虎可看作小概率事件，假設(shè)為11000概率發(fā)生，陳述者說實話的概率為90%，則上述：

（1）P1=0.0089，可信度低。

（2）P3=0.075，還是不可信。

（3）P3=0.42，這時候作為君主就不可以忽略這種概率。

當(dāng)然，上面一切討論的前提是這n個人相互獨立，沒有合伙坑人，這個時候國君是有理由相信市集上有老虎的。這個問題也說明了指證罪人的可行性，也告誡我們“事不過三”。

2.6知識小結(jié)

在實際應(yīng)用中，我們通常需要計算某個未知參數(shù)的后驗概率。這可以通過將先驗概率、似然函數(shù)和歸一化常數(shù)代入貝葉斯公式來實現(xiàn)。

（1）確定先驗概率P（A）；

（2）計算似然函數(shù)P（B|A）；

（3）計算后驗概率P（A|B）。

希望通過本文，同學(xué)們能從知識目標(biāo)、能力目標(biāo)和思政目標(biāo)這三個方面有所收獲。其中貝葉斯公式以及建模過程是重點，貝葉斯思想以及模型的應(yīng)用是難點。

3教學(xué)反思

3.1思政元素

（1）踐行社會主義核心價值觀：誠信。大學(xué)生教育中，誠信教育尤為重要。當(dāng)代大學(xué)生當(dāng)以誠信贏得信任和尊重，實現(xiàn)個人和事業(yè)的雙贏?？鬃诱f：“人而無信，不知其可也。大車無輗，小車無軏，其何以行之哉?！笨梢?，信用是個人成功和社會和諧的重要基石。

（2）要有“學(xué)無止境”的精神。貝葉斯方法的核心在于利用已知信息更新對未知事物的認識，這與“學(xué)無止境”的精神不謀而合。持之以恒的學(xué)習(xí)態(tài)度使我們能夠不斷地適應(yīng)環(huán)境的變化，以此提升自己的能力和見識。

3.2教學(xué)思考

貝葉斯公式是概率統(tǒng)計中的一個重要內(nèi)容，它為人們提供了在不確定條件下進行推理和決策的方法。在教學(xué)過程中，筆者注重將貝葉斯公式的數(shù)學(xué)原理與實際應(yīng)用相結(jié)合，通過案例分析、小組討論等形式，引導(dǎo)學(xué)生理解貝葉斯公式的應(yīng)用價值。同時，筆者積極探索如何將思政元素自然地融入教學(xué)中，融入思政元素的教學(xué)方法和互動式學(xué)習(xí)方式能夠有效提高學(xué)生的思政意識。總之，在貝葉斯公式的教學(xué)過程中應(yīng)注重理論與實踐相結(jié)合、循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生深入理解和掌握這一概念，同時鼓勵學(xué)生積極思考和探索將貝葉斯公式應(yīng)用于實際問題中的方法和策略。

結(jié)語

在課程思政理念下，教師要把“德育”看作教育的根本任務(wù)，更新觀念深入挖掘，以數(shù)學(xué)學(xué)科知識為載體，發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的特殊作用，促進學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門強調(diào)實踐應(yīng)用的大學(xué)數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程，其課程思政元素的融入設(shè)計、這些設(shè)計在實際教學(xué)中的有效應(yīng)用，以及思政元素在課堂中的具體實施策略，都是值得我們深入探討和研究的重要課題。

參考文獻：

［1］習(xí)近平在全國高校思想政治工作會議上強調(diào)把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面［N］.人民日報，20161209（1）.

［2］唐紫薇，成立.課程思政在內(nèi)分泌學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.現(xiàn)代醫(yī)藥衛(wèi)生，2023，39（13）：23152318.

［3］教育部等八部門關(guān)于加快構(gòu)建高校思想政治工作體系的意見［J］.中華人民共和國教育部公報，2020（04）：2327.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（12101265）

*通訊作者：趙春香（1989—），女，漢族，山東單縣人，博士，助理研究員，碩士生導(dǎo)師，研究方向：無窮維動力系統(tǒng)。