發(fā)展模型意識的要素化教學圖式構(gòu)建

摘 要 模型意識是小學階段需要落實的數(shù)學核心素養(yǎng)之一。當下，發(fā)展模型意識的教學活動設(shè)計存在情境創(chuàng)設(shè)顯單一、探究靶向不精準、知識結(jié)構(gòu)欠完整等問題，究其原因是一些教師在教學路徑規(guī)劃上存在盲區(qū)。因此，可以圍繞情境、表征和反思這些過程性教學要素構(gòu)建教學圖式，直觀清晰地展現(xiàn)模型知識教學的主旨脈絡(luò)，據(jù)此探索核心素養(yǎng)培育教學的路徑轉(zhuǎn)化方法。

關(guān) 鍵 詞 小學數(shù)學；模型意識；要素化；教學圖式；逆向設(shè)計；活動路徑

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，小學階段重點發(fā)展學生的11項核心素養(yǎng)，模型意識是其中之一[1]。當下，一些學校、教師圍繞“發(fā)展模型意識”這一主題組織了多種形式的教研活動，積累了大量的教學實踐經(jīng)驗，形成“識別現(xiàn)實情境，進行數(shù)學化后建構(gòu)關(guān)系，經(jīng)過一般化用以解決同類問題 ”的模型知識教學策略[2]。然而，從實際教學效果看，此種教學活動設(shè)計卻存在意圖不夠明確的問題，究其原因是一些教師存在教學路徑規(guī)劃的盲區(qū)，一定程度上遲滯了學生的模型意識發(fā)展。因此，本研究以“加法運算律”一課的教學為例，試圖構(gòu)建要素化的教學圖式，直觀清晰地展現(xiàn)模型知識教學的主旨脈絡(luò)。

一、發(fā)展模型意識教學的問題審視

發(fā)展模型意識的教學立足真實情境問題，以數(shù)學實踐的方式表征模型特點，在建構(gòu)數(shù)學模型的過程中促進學生產(chǎn)生深刻的學習感悟。然而，一些教師未能把握過程性教學要素，導致教學活動設(shè)計出現(xiàn)如下一些問題。

1.情境創(chuàng)設(shè)略顯單一

以豐富多樣的情境為載體，形成系列化的問題探討，有利于培養(yǎng)學生層層深入的探索精神[3]。指向發(fā)展模型意識的情境素材要貼近兒童生活，在問題視角上能展現(xiàn)出類型化的特點，確保學生從一類問題或現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而展開抽象概括并建立數(shù)學模型。然而，在教學實踐中，情境及其問題的創(chuàng)設(shè)往往顯得比較單一，即提供單一事件或場景作為學習的背景素材，以及從單一的視角提出數(shù)學問題引發(fā)學生思考。殊不知，單一有時意味著孤立、片面，易出現(xiàn)學生接受有效信息不多、建模思維發(fā)散、聯(lián)想與聚合困難等問題，從而降低學生的認知活躍度和參與學習的動力。

2.探究靶向不夠精準

經(jīng)過思維探究和知識運用獲得的知識更具使用價值，能為學習者所遷移和使用[4]。其中“探究”可以成為引發(fā)具身體驗、形成認知理解、獲得學習感悟等一系列認知學習行為的發(fā)起點，架構(gòu)起“探究—體驗—理解—感悟”的模型意識發(fā)展路徑。但在教學實踐中，“探究”活動往往圍繞數(shù)學模型是什么而展開，卻很少探究建立數(shù)學模型的緣由。換言之，探究之路遵循知識邏輯，卻不考慮學生的認知邏輯。如此，必然會陷入“關(guān)注知識、不關(guān)注學生”“重形式，不重實質(zhì)”的窠臼，使學生對數(shù)學模型知其然，而不知其所以然。這反映出探究教學的靶向不夠精準，影響后續(xù)模型知識的遷移及使用。

3.知識結(jié)構(gòu)不夠完整

模型知識的學習過程實質(zhì)上是一個“特殊—一般”認知發(fā)展過程，在此過程中，不僅要解決個別問題，還要反思普遍現(xiàn)象；不僅要縱深挖掘內(nèi)涵，還要橫向延展知識；不僅要突破知識點，還要勾勒知識面。然而，在教學實踐中，一些教師的模型知識教學始終聚焦在某個點上，具體表現(xiàn)為就樣本講樣本、就概念講概念、就模型講模型等等。樣本、概念和模型三者間只有建立有效的聯(lián)系，才能進階至結(jié)構(gòu)化的認識水平。而學生腦海中的模型知識零散、不成體系的現(xiàn)狀，與“將符號代表的新知識與學習者認知結(jié)構(gòu)中已有的觀念建立非人為的和實質(zhì)性的聯(lián)系”的要求相背[5]。

二、發(fā)展模型意識要素化教學圖式的構(gòu)建

面對上述發(fā)展模型意識教學活動的設(shè)計問題，教師應緊扣情境、表征和反思這些過程性教學要素，建構(gòu)相應的教學圖式，將“預設(shè)”轉(zhuǎn)化為實際的教學活動[6]，促進學生模型意識的發(fā)展。

1.情境圖式，喚醒認知經(jīng)驗

學生的數(shù)學學習是在特定的情境中主動運用已有的知識經(jīng)驗、嘗試建構(gòu)新意義的過程[7]。指向模型意識的情境圖式主要圍繞“選擇什么樣的素材”“提出何種數(shù)學問題”“生成哪些樣本”“產(chǎn)生怎樣的認知困惑”等問題展開教學預設(shè)，形成問題導向下的主體經(jīng)驗生長式活動路徑。

以“加法運算律”教學為例。基于教材的知識背景，情境的創(chuàng)設(shè)可以將生活場景作為情境教學的素材，以問題串的形式喚醒學生認數(shù)、加法運算等方面的經(jīng)驗，生成“步數(shù)相同、數(shù)據(jù)相異”的等式樣本；并針對等式樣本展開初步研究，在深入反思的過程中引發(fā)學生產(chǎn)生新知學習的困惑，為探究新知、發(fā)現(xiàn)模型知識本質(zhì)積累豐富的教學素材（如圖1）。

2.表征圖式，定位探究靶點

一目了然的知識性材料是無所謂探究的[8]。探究活動設(shè)計的邏輯是：學生哪里出現(xiàn)認知問題，研究的方向就指向哪里。表征圖式一方面將學生的新知學習困惑轉(zhuǎn)化為具有實踐性特征的探究任務(wù)；另一方面，還要預設(shè)科學的數(shù)學實踐方式，以及可能生成的思維成果。因此，這一圖式不僅能準確定位探究活動的靶點，還能指明以數(shù)學實踐為導向的自主化活動路徑。

教學“加法運算律”一課，針對學生中出現(xiàn)的“等號兩邊的加數(shù)位置是怎樣改變的？”“等號兩邊的括號位置改變、沒括號和括號在后面的情況意味著什么？”等學習困惑，探究活動可以以此作為認知突破的靶點，引導學生使用文字、數(shù)字、符號等展開表征操作，經(jīng)歷“生疑—解惑”的問題解決過程，生成有關(guān)加法交換律、加法結(jié)合律可視的、個性化的思維成果（如圖2）。

3.反思圖式，建立知識結(jié)構(gòu)

反思的目的是把已經(jīng)能夠進行心理操作的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，抽象概括為數(shù)學的基礎(chǔ)知識[9]。從教學過程上看，反思圖式要預設(shè)數(shù)學模型的建構(gòu)路徑，即從反思原始樣本開始，經(jīng)歷抽象基本概念、建立數(shù)學模型、延伸模型形式等過程，形成指向結(jié)構(gòu)化認知的活動路徑。從教學結(jié)果上看，反思圖式要能體現(xiàn)樣本、概念和模型三者間的聯(lián)系，系統(tǒng)呈現(xiàn)模型的知識結(jié)構(gòu)。

以“加法運算律”教學為例，反思活動圍繞類型化的等式樣本展開，首先分析樣本特點，抽象概括“加數(shù)相同”“和不變”“加數(shù)位置改變”等加法交換律概念，以及“加數(shù)位置不變”“運算順序改變”的加法結(jié)合律概念；接著，展開類比和推理，建立加法交換律、加法結(jié)合律的數(shù)學模型；然后，進行關(guān)聯(lián)和延展，挖掘出加法交換律、加法結(jié)合律模型的新形式，進而完成加法運算律的知識結(jié)構(gòu)搭建（如圖3）。

三、發(fā)展模型意識要素化教學圖式的路徑轉(zhuǎn)化

靜態(tài)的情境、表征和反思圖式要能轉(zhuǎn)化為動態(tài)的實踐活動路徑，并以此溝通經(jīng)驗與內(nèi)容、知識與素養(yǎng)、過程與方法等要素間的聯(lián)系，使得單一的教學部分或單個的教學要素得以演進，并向整體、縱深發(fā)展。

1.情境圖式的路徑轉(zhuǎn)化：從“入境”到“生疑”

反向思考情境圖式，教師需要將其轉(zhuǎn)化為“呈現(xiàn)情境—生成樣本—衍生疑問”的活動路徑，將學生卷入情境內(nèi)容中，主動運用已有的知識經(jīng)驗解決問題，確保樣本素材的出現(xiàn)和認知疑惑的產(chǎn)生，為后續(xù)組織、開展探究活動奠定基礎(chǔ)。

（1）呈現(xiàn)情境。與其他素養(yǎng)導向的情境創(chuàng)設(shè)要求一致，發(fā)展模型意識的情境素材選擇要貼近學生的生活經(jīng)驗、年齡特點和認知加工特點，構(gòu)造的學習場景要真實可信且具吸引力，使學生自然地入“境”、生“情”。如，教學“加法運算律”。教師可以引入諸如跳繩比賽、分享食物、購買文具等生活場景，并提出整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等加法運算問題。通過情境問題喚醒學生已有的知識經(jīng)驗，快速進入思維加工的準備狀態(tài)，嘗試解決數(shù)學問題。

（2）生成樣本。一般而言，數(shù)學模型的建構(gòu)主要采用不完全歸納的推理思維。因而，情境中的問題設(shè)

（3）衍生疑問。情境創(chuàng)設(shè)不只為了引導學生展開先驗性學習，還要為后驗性學習埋下伏筆。先驗性學習主要表現(xiàn)為：喚醒學生已有知識經(jīng)驗，生成類型化樣本，發(fā)現(xiàn)樣本的基本特征等；后驗性學習則以產(chǎn)生認知困惑、催生學習動機為標志。如教學“加法運算律”，通過分析等式樣本，學生不僅發(fā)現(xiàn)等式的變化特點，還衍生出“等號兩邊的加數(shù)位置是怎樣改變的”“等號兩邊的括號位置改變，沒括號和括號在后面究竟意味著什么”等認知困惑，這就引發(fā)了深度學習的心理需求，開啟了后驗性學習的進程。

2.表征圖式的路徑轉(zhuǎn)化：從“實踐”到“表達”

模擬與反推表征圖式，教師需要將其轉(zhuǎn)化為“布置任務(wù)—探究表征—小組評議”的活動路徑，驅(qū)動學生自主展開表征、展示、評議等活動，探索模型知識的本質(zhì)，促進學生群體核心素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展。

（1）布置任務(wù)。探究任務(wù)是將學生的認知困惑轉(zhuǎn)化為以實踐性研究為主的、展現(xiàn)自主學習動能和個性化思考的、最終獲得模型知識本質(zhì)理解的學習活動。如教學“加法運算律”，針對學生提出的“等號兩邊加數(shù)位置怎樣改變”這一問題，教師可以布置“用自己喜歡的方式表示加數(shù)位置如何改變的，可以畫一畫、寫一寫，并與小組同學分享自己的方法”的探究任務(wù)，引導學生展開數(shù)學實踐活動，表征數(shù)學問題的思考，展現(xiàn)個性化的思維成果。

（2）探究表征。表征既是數(shù)學的一部分，又是理解數(shù)學的一個教學手段[10]。面對多元特質(zhì)的學生，教師能做的是凸顯個性化思維以增加表征的多樣化，由此提升學生的關(guān)鍵能力和學習品質(zhì)。如教學“加法運算律”，探究“加數(shù)位置怎樣改變”這一問題時，有學生用“前”“后”這樣的文字表達加數(shù)位置變化情況；有學生用①、②這樣的數(shù)字符號說明加數(shù)位置變化情況；還有學生用“箭頭”這樣的圖式演繹加數(shù)位置的變化。上述借助表征操作而形成的思維成果不僅可以展現(xiàn)學生的數(shù)學理解力，還發(fā)展了數(shù)感、符號意識等核心素養(yǎng)。

（3）小組評議。對于某一問題的思考要能從個人觀點走向群體共識，以體現(xiàn)認知學習的社會性。因此，模型知識教學過程有必要引入小組評議環(huán)節(jié)，以促成大面積、大體量的師生間對話交往活動，使得核心素養(yǎng)在群體范圍內(nèi)得以發(fā)展。正如前文所言，學生圍繞“加數(shù)位置怎樣改變”這一問題展開表征操作，生成了多樣性的、個性化的思維成果。對此，教師可以先行安排組內(nèi)研討、再行組間評議，進而發(fā)展學生群體的推理意識，形成“交換等號兩邊的加數(shù)位置，和依然不變”的本質(zhì)思考。

3.反思圖式的路徑轉(zhuǎn)化：從“關(guān)聯(lián)”到“結(jié)構(gòu)”

逆向思考反思圖式，教師可以將其轉(zhuǎn)化為“產(chǎn)生關(guān)聯(lián)—多向延展”的活動路徑，引導學生經(jīng)歷具有關(guān)聯(lián)性、延展性的模型知識思考過程，展現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的認知和理解，進入大單元學習的孕伏狀態(tài)。

（1）產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。當知識以一種結(jié)構(gòu)化的形式儲存時，便可大大提升知識應用時的檢索效率[11]。模型知識結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生具有階段性，主要經(jīng)歷“樣本”與“概念”、“概念”與“概念”，以及“概念”和“模型”等關(guān)聯(lián)性思考過程。如教學“加法運算律”，一步計算的加法等式樣本與“加數(shù)不變”“加數(shù)位置改變”“和不變”等概念產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，能建立“樣本”和“概念”的解釋結(jié)構(gòu)；“加數(shù)不變”“和不變”等概念自身的關(guān)聯(lián)，能建立“概念”與“概念”的邏輯結(jié)構(gòu)；“加數(shù)不變”“加數(shù)位置改變”“和不變”與“a+b=b+a”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，能建立“概念”與“模型”的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)。上述的結(jié)構(gòu)集合催生了模型的知識結(jié)構(gòu)，有助于學生理解記憶和遷移使用。

（2）多向延展。模型知識的學習不能僅局限于當前的問題研究、拘泥于課時內(nèi)容的教學，還要盡力向單元及域外延展。其一，課時內(nèi)容的橫向擴展。如，圍繞課時內(nèi)容，可以提出“有沒有一種等式既包含加法交換律，還蘊含加法結(jié)合律”的引申性問題，延展建立加法交換律、加法結(jié)合律的數(shù)學模型；再如，提出“加法交換律和加法結(jié)合律有什么相同點和不同點”的比較性問題，順勢構(gòu)造“加法運算律”的特征框架（見表1）。其二，單元教學的縱向延伸。如聯(lián)系單元教學，可以提出諸如“除了加法運算律，其他運算是否也存在運算律”“除了‘和不變’這樣的等式形式，還有沒有別的等式形式”等聯(lián)想性問題，勾連運算律單元的其他內(nèi)容，促成新的認知學習導向。

模型知識教學不只在于建構(gòu)和識別模型，還包括運用模型解決問題、體會模型價值等內(nèi)容。對此，教師先行構(gòu)造相應的教學圖式，據(jù)此逆向轉(zhuǎn)化為符合學生認知規(guī)律的、能有效促進核心素養(yǎng)發(fā)展的活動路徑，這應成為一線教師實踐課程標準、提升專業(yè)教學能力的應然追求。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，2022：7.

[2] 章勤瓊，陳肖穎.小學數(shù)學模型意識的內(nèi)涵、表現(xiàn)與教學——兼論核心素養(yǎng)的表現(xiàn)性目標[J].課程·教材·教法，2024，44（01）：106-113.

[3] 黃翔，李開慧.關(guān)于數(shù)學課程的情境化設(shè)計[J].課程·教材·教法，2006，26（09）：39-43.

[4] 陸卓濤，安桂清.學科實踐的內(nèi)涵、價值與實現(xiàn)路徑[J].課程·教材·教法，2022，42（09）：73-78.

[5] 馮忠良.教育心理學[M].北京：人民教育出版社，2015：117

[6] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，2011：50.

[7] 趙瑞生.小學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗積累的六個環(huán)節(jié)[J].教學與管理，2021（32）：54-56.

[8] 寧連華.數(shù)學探究教學設(shè)計研究[J].數(shù)學教育學報，2006，15（04）：39-41+51.

[9] 盧鳳，黃晶，趙源.從具身認知看手指在早期數(shù)學教學中的作用與啟示[J].數(shù)學教育學報，2023，32（01）：55-58.

[10] 孫興華.小學數(shù)學教師教學表征的實踐意蘊[J].課程·教材·教法，2015，35（04）：75-80.

[11] 王衛(wèi)東.數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學中教學主線的價值及設(shè)計路徑[J].教學與管理，2023（08）：48-52.