臺風眼與毛球定理

每當夏季來臨，熱帶、亞熱帶海洋上臺風處于高發(fā)時期，引起社會各界的關注。在天氣預報的氣象云圖中，我們通常可以看到一個較小的“眼區(qū)”，俗稱“臺風眼”，平均直徑約為40千米。風眼周圍環(huán)繞著強烈的雷暴，中心卻是無風無雨的平靜狀態(tài)。

風暴的中心為什么最平靜？從物理學層面解釋，是因為臺風中心空氣旋轉，產(chǎn)生的離心力和向中心吹入的風力互相平衡，使“臺風眼”部位的空氣呈靜止狀態(tài)。不過，地球表面的大氣既然每時每刻都在運動，會不會在某個時刻，所有的風都往一個方向吹，讓氣象云圖上不存在臺風眼呢？從直覺來看，似乎會有這種可能，但出乎意料的是，這個問題的答案是“否”。

要解釋這個問題，就需要引入拓撲學的知識。拓撲學是現(xiàn)代數(shù)學的重要分支之一，主要研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后維持不變的一些性質，所以在拓撲學里，不需要像平面幾何學里一樣考慮研究對象是大是小、是方是圓。如果兩個形狀能夠通過擠壓、拉伸而相互轉換，即使是日常中看似差別很大的兩樣東西，在拓撲學里也會認為它們是同類。比如，面包圈、面包片、帶柄咖啡杯該怎么分類？在現(xiàn)實世界里，面包圈當然和面包片是同一類，因為它們的制作材料相同。但在拓撲學里，面包圈有且只有一個貫通的洞，咖啡杯的手柄與杯身之間也形成唯一一個貫通的洞，所以它們才是同類，而沒有洞的面包片不能和面包圈劃為同類。

在拓撲學里，有很多有趣的定理，其中之一叫作“毛球定理”。這不難在現(xiàn)實世界中得到粗略驗證：找一只表面蓋滿毛的椰子，試著把所有的毛梳順到同一方向。梳到最后你會發(fā)現(xiàn)，不管是給椰子梳分頭還是梳背頭，永遠會有一撮毛豎著，或者有一個發(fā)旋兒留著。

為了解釋這個現(xiàn)象，我們需要把椰子抽象化，進入數(shù)學的世界。在數(shù)學中，向量指滿足一系列法則的元素，它的集合構成向量空間?！霸跀?shù)學語言里，給椰子表面梳毛”意為定義一個連續(xù)函數(shù)，讓球上每一點的函數(shù)值都是與球面在該點相切的向量。如果所有值都不為0，就能對應所有毛順向一個方向。但通過證明發(fā)現(xiàn)，在球面上永遠會存在一個讓向量函數(shù)值為0的點，它對應的就是最后留下的“一撮毛”或者“發(fā)旋”。

因此，臺風眼的存在就是毛球定理的具象化。地球表面被大氣層覆蓋，并且大氣的垂直運動相對地球直徑來說小到可以忽略不計。如果把地球表面水平運動的大氣類比為球表面的毛，那么通過毛球定理可以確定，地球表面永遠存在大氣的“發(fā)旋”。