基于改進冪次趨近律的機械臂終端滑模軌跡跟蹤控制

摘 要：針對傳統終端滑模在機械臂軌跡跟蹤控制中存在抖振、收斂速度緩慢及奇異性問題，提出了一種基于改進冪次趨近律的有限時間非奇異終端滑模控制策略。首先，設計了一種既能快速收斂又能消除系統初始抖振的改進冪次趨近律，分析證明了其有限時間收斂特性。然后，提出了一種快速非奇異終端滑模面，使系統誤差能在有限時間內收斂到零，在此基礎上，設計了基于改進冪次趨近律的機械臂快速非奇異終端滑模軌跡跟蹤控制器，并進行Lyapunov穩定性分析。仿真結果表明：該控制器能準確跟蹤期望軌跡，跟蹤誤差能在有限時間內快速收斂到平衡點，有效削弱了系統抖振，與快速冪次趨近律的普通非奇異終端滑模控制相比，具有更快的收斂速度和更好的控制效果。

關鍵詞：機械臂；終端滑模；改進冪次趨近律；軌跡跟蹤；抖振

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2024）17-0173-06

0 引 言

機器人實現某種作業實際上是使機器人跟蹤期望軌跡的控制問題。因此，研究具有較高跟蹤精度的控制策略，一直都是機器人控制研究領域中的重點與熱點問題，典型的控制算法有PID控制[1]、自適應控制[2-3]、滑模變結構控制[4-6]及神經網絡控制[7-8]等，以上各種控制策略各有所長，也存在不足。其中，由于滑模控制可以使系統按照設計的滑動模態運動，與系統參數攝動和外界干擾完全無關，具有很強的魯棒性，可以削弱負載變化或干擾對系統性能產生的影響，特別適合機器人控制。

普通線性滑模在到達滑動模態后，跟蹤誤差不能在有限時間內收斂至零。1988年，Zak提出終端吸引子概念，產生了終端滑模控制策略。終端滑模在滑動超平面的設計中引入非線性函數，使跟蹤誤差能在有限時間內收斂到平衡點。如文獻[9]提出了一種機械手有限時間收斂的全局非奇異終端滑模控制器，通過設計非奇異終端滑模面，消除傳統終端滑模控制的奇異性問題。文獻[10]針對不確定機器人設計了一種全局有限時間終端滑模控制方法，為了消除奇異性，提出了一種新型積分滑模面，證明了系統的有限時間收斂特性。文獻[11]提出了一種新型包含反正切函數的非奇異終端滑模面，設計了具有魯棒性的快速非奇異終端滑模控制律，以確保系統狀態在有限時間內全局收斂到原點。終端滑模和線性滑模均存在抖振問題，控制的不連續性是抖振產生的根本原因。為使滑模變結構控制在各領域更好地發展和應用，很多專家學者提出了各種方法來抑制抖振，主要有邊界層法[12-13]、趨近律法[14-15]、高階滑模控制[16]等。

本文在以上文獻分析的基礎上，提出了一種基于改進冪次趨近律的機械臂快速非奇異終端滑模軌跡跟蹤控制策略，在降低系統抖振的同時保證具有較快的收斂速度和較高的控制精度，從而實現機械臂的精確位置跟蹤。

1 改進冪次趨近律及其特性分析

1.1 改進冪次趨近律設計

滑模控制的到達條件雖然能確保系統狀態到達滑模面，但不能反映它是如何趨近滑模面的，因此，可利用趨近律來保證正常運動階段的品質。高為炳提出了三種常用趨近律：等速趨近律、指數趨近律和冪次趨近律。其中，等速趨近律速度恒定不能靈活調整；指數趨近律趨近速度快，但在接近滑動模態時抖振較大；冪次趨近律雖然能削弱系統初始抖振，但趨近速度過小。因此，為改善傳統趨近律的不足，研究人員提出了一些改進趨近律，如快速冪次趨近律、雙冪次趨近律、多冪次趨近律等。

本文在分析常用趨近律基礎上，提出了一種改進的冪次趨近律：

（1）

式中，k1，k2，k3＞0，a＞0，0＜ρ＜1，e-at為指數函數。

當系統狀態遠離滑模面（|s|＞1）時，-k1s-k3|s|3sgn（s）項起主要作用。而當系統接近滑模面（|s|＜1）時，-k1s-k2|s|ρe-atsgn（s）項起主導作用，衰減因子eat的作用是在系統趨近滑模面（s=0）的過程中減小-k2|s|ρsgn（s）項的趨近速度，實現滑模面的平滑過渡。式（1）中的后兩項，相當于對系統采用了分段控制，利用-k1s項來平滑分段的不連續性。此外，由式（1）知，當s→0+或s→0-時，?=0，表明改進冪次趨近律在趨近滑模面時不會產生抖振現象。

1.2 改進冪次趨近律有限時間收斂特性分析

定理1 對于系統（1），s和?將在有限時間Tr內收斂到平衡點，即當t＞Tr時，，其中：

（2）

式中，s0為s的初始值。

證明：根據滑模到達條件，由（1）式得：

因此，改進冪次趨近律滿足滑模到達條件。

假設s0＞1，分兩個階段計算有限時間Tr：

1）系統從s0到達s=1，所用時間為t1。

當s0＞1時，趨近律中-k1s-k3|s|3sgn（s）起主要作用，即：

（3）

對其變形，可得：

（4）

令y=s-2，則，式（4）變為：

（5）

式（5）的通解為：

（6）

式（6）可化簡為：

（7）

根據條件：

（8）

解得：

（9）

2）系統從s=1到達s=0，所用時間為t2。

當0＜s＜1時，趨近律-k1s-k2|s|ρe-atsgn（s）起主導作用，即：

（10）

具體推導過程同第一階段，可求得：

（11）

同理，當s0＜-1時，計算過程與計算結果同s0＞1。

綜上所述，由于計算系統收斂時間時忽略了次要因素的影響；因此，系統總的收斂時間：

（12）

至此，定理1得以證明。

由式（9）、式（12）可知，收斂時間Tr受系統初始狀態s0的影響，s0越大，收斂時間越長。

2 非奇異終端滑模軌跡跟蹤控制器設計

2.1 機械臂動力學模型

n關節機械臂的動力學模型為：

（13）

式中，q，，分別為機械臂各關節的位置，速度和加速度向量；M（q）為對稱慣性矩陣；為離心力和哥氏力矢量；G（q）為重力向量；τ為廣義力矩向量；f為建模誤差和外部擾動，假設f有界，即：

，λ0，λ1，λ2＞0。

2.2 快速非奇異終端滑模面設計

引入關節位置誤差：

e=q-qd （14）

式中，e=（e1，…，en）T，q為各關節實際角度，qd為各關節的期望關節角度。

普通非奇異終端滑模面（NTSM）為：

（15）

式中，s=（s1，…，sn）T，β=diag（β1，…，βn），βi＞0，p，q為正奇數，且1＜p/q＜2。

由式（15）可知：當 時， ，導致滑模面不穩定；因此，設計快速非奇異終端滑模面（FNTSM）為：

（16）

式中，α=diag（α1，…，αn），αi＞1，其他參數的定義同式（15）。

定理2：當系統到達式（16）表示的滑模面后，對于任意ei（Tr）≠0，系統穩定并將在有限時間Ts內收斂到零，且收斂時間小于式（15）表示的滑模面。

證明：取Lyapunov函數

對上式求導，在系統到達滑模面后，si=0，結合式（16）可得：

當且僅當時，。

設系統到達滑模面后，從ei（Tr）≠0到ei（T）=0所用時間為Ts。當時，由式（16）得：

（17）

對式（17）兩邊積分，可得：

（18）

當時，可得到相同的結果。

同理，當，求得式（15）滑模面的收斂時間為：

（19）

對比式（18）和式（19），由于0＜αi-q/p＜1，故Ts<Ts′，即快速非奇終端滑模面式（16）的收斂時間小于式（15）表示的滑模面。

2.3 軌跡跟蹤控制器設計

基于改進冪次趨近律的機械臂終端滑模軌跡跟蹤控制器結構框圖如圖1所示。

控制器包括兩部分：由系統狀態參數和終端滑模面所決定的等效控制項τeq和根據改進冪次趨近律得到的切換控制項τsw，即：τ=τeq+τsw。

當系統到達滑模面時，即：，求得等效控制τeq，對式（16）取導，聯合式（13），可得：

（20）

結合式（1），令系統的改進冪次趨近律為：

（21）

式中，sig（s）ρ=[|s|ρ，…，|sn|ρsgn（sn）]T，K1=diag（k11，…，k1n），K2=diag（k21，…，k2n），K3=diag（k31，…，k3n），k1i＞0，k2i＞0，k3i＞0，sig（s）3定義同sig（s）ρ。

切換控制τsw可設計為：

（22）

由此求得基于改進冪次趨近律的機械臂快速非奇異終端滑模軌跡跟蹤控制律：

（23）

定理3 對于n關節機械臂（13），選取式（23）表示的控制律，則機械臂閉環控制系統穩定。

證明：取Lyapunov函數。則：

將式（22）代入上式，得：

令：，γi≥0，則上式可變為：

滿足李雅普諾夫穩定性定理。

3 仿真實驗分析

以二關節機械臂作為仿真實驗對象，動力學模型采用式（13）。其中：

式中，r1=1 m，r2=0.8 m，J1=J2=5 kgm，m1=0.5 kg，m2=1.5 kg。

機械臂關節空間期望軌跡取擺線運動方程：

，

。

設系統初始狀態為：q1（0）=0.5，q2（0）=-0.5， ，。系統建模誤差和外部擾動參數取為：λ0=0.1，λ1=0.2，λ2=0.3，滑模控制參數取：a=0.2，ρ=1/3，p/q=5/3，，，。

采用Simulink搭建仿真模型，利用S函數描述被控對象和控制器。為驗證本文提出的軌跡跟蹤控制器性能的優越性，將其與基于快速冪次趨近律的普通非奇異終端滑模控制器進行比較。快速冪次趨近律表達式為：

基于快速冪次趨近律的普通非奇異終端滑模軌跡跟蹤控制律可設計為：

仿真結果如圖2所示。

（a）關節1的位置跟蹤

（b）關節2的位置跟蹤

（c）二關節的位置跟蹤誤差

（d）控制輸入

由圖2可知：關節1和關節2能快速跟蹤期望軌跡，跟蹤誤差的收斂時間分別為1.76 s和1.56 s。由于控制器中存在開關函數sign，使得關節1和關節2的控制輸入有抖動，因此，為削弱系統抖動，將式（16）、式（21）、式（23）中的開關函數替換成飽和函數，也稱邊界層法，即在邊界層外采用正常的滑模控制，在邊界層內為連續控制。飽和函數表示為：

式中，δ為邊界層厚度，δ越小，控制精度越高，但會使控制增益變大，抖振增強；反之，δ越大，抖振越小，但會使控制精度變差，為平衡系統控制精度和抖振，取δ=0.02。基于改進冪次趨近律的機械臂快速非奇異終端滑模控制的仿真結果如圖3所示。

（a）關節1的位置跟蹤

（b）關節2的位置跟蹤

（c）二關節的位置跟蹤誤差

（d）控制輸入

由圖3可知：關節1和關節2的誤差收斂時間分別為0.95 s和0.90 s，相比快速冪次趨近律的普通終端滑模軌跡跟蹤控制器，收斂時間縮短了0.81 s和0.66 s，并且收斂時間與系統初始狀態誤差有關，初始誤差越大，收斂時間越長。同時，對比圖2（d）可知，引入飽和函數能有效削弱關節1和關節2的控制輸入抖動，使控制輸入平滑，表明本文提出的軌跡跟蹤控制策略比基于快速冪次趨近律的NTSM控制具有更好的跟蹤效果。

4 結 論

為提高系統趨近過程的動態品質，設計了一種有限時間收斂的改進冪次趨近律，在保證快速趨近的同時，不會產生抖振現象。提出的快速非奇異終端滑模面解決了普通終端滑模面的奇異性問題和收斂速度緩慢問題，并使系統跟蹤誤差能在有限時間內收斂到零。仿真結果表明，本文提出的基于改進冪次趨近律的機械臂快速非奇異終端滑模軌跡跟蹤控制器能實現對期望軌跡的快速準確跟蹤，并能有效抑制系統抖振現象的產生。在下一步的研究中，針對外部干擾和動力學模型的不確定性，可以利用干擾觀測器或神經網絡算法，實現對集總干擾的有效估計和控制器的在線補償，進一步提高系統控制性能。

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作者簡介：王燕（1981—），女，漢族，河南駐馬店人，副教授，博士，研究方向：機器人運動控制技術。

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.17.034

收稿日期：2024-03-02

基金項目：河南省科技廳科技攻關項目（242102311244）；河南省高等學校重點科研項目計劃（23B413002）；河南省高等學校青年骨干教師培養計劃（2019GGJS245）

Trajectory Tracking Control of Manipulator Terminal Sliding Mode Based on Improved Power Reaching Law

WANG Yan

（School of Electrical Engineering and Automation， Luoyang Institute of Science and Technology， Luoyang 471023， China）

Abstract： To solve the problems of chattering， slow convergence speed and singularity of the traditional terminal sliding mode in control for manipulator trajectory tracking， a finite-time non-singular terminal sliding mode control strategy based on improved power reaching law is proposed. Firstly， an improved power reaching law is developed， which can converge quickly and eliminate initial system chattering， and its finite-time convergence characteristic is analyzed and verified. Secondly， a fast non-singular terminal sliding mode surface is proposed， which enables the system error to converge to zero in a finite time. On this basis， the fast non-singular terminal sliding mode controller for manipulator trajectory tracking is designed based on improved power reaching law， and it is performed the Lyapunov stability analysis. Simulation results show that the controller can track the expected trajectory precisely and enable the tracking error to converge to the equilibrium point in finite time， which reduces the system chattering effectively. Compared with the ordinary non-singular terminal sliding mode controller with fast power reaching law， it possesses a faster convergence speed and better control effect.

Keywords： manipulator; terminal sliding mode; improved power reaching law; trajectory tracking; chattering