“整數(shù)除法”教材分析與教學(xué)要求、建議

［摘 要］蘇教版數(shù)學(xué)教材中的“整數(shù)除法”內(nèi)容，包括表內(nèi)除法、有余數(shù)的除法、除數(shù)是一位數(shù)的除法和除數(shù)是兩位數(shù)的除法等知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)分析教材內(nèi)容和教學(xué)要求，提出以下教學(xué)建議：把握單元主線，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；基于計(jì)數(shù)單位，凸顯運(yùn)算的一致性；關(guān)聯(lián)教學(xué)內(nèi)容，注重引導(dǎo)學(xué)生建立理法聯(lián)系。這樣教學(xué)能深化學(xué)生對(duì)“整數(shù)除法”的理解，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］蘇教版教材；整數(shù)除法；運(yùn)算一致性

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）30-0005-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)新課標(biāo)”）中要求“探索數(shù)運(yùn)算的一致性”，并在第二學(xué)段的“教學(xué)提示”中提出“通過(guò)小數(shù)加減運(yùn)算、同分母分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，與整數(shù)運(yùn)算進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生初步了解運(yùn)算的一致性，培養(yǎng)運(yùn)算能力”；在第三學(xué)段的“內(nèi)容要求”中提出“能進(jìn)行簡(jiǎn)單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。可見(jiàn)，“運(yùn)算一致性”在小學(xué)階段的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)了整體化和結(jié)構(gòu)化，有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

下面，對(duì)蘇教版數(shù)學(xué)教材中的“整數(shù)除法”內(nèi)容和教學(xué)要求作簡(jiǎn)要分析，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、教材分析

蘇教版數(shù)學(xué)教材中的“整數(shù)除法”內(nèi)容，包括表內(nèi)除法、有余數(shù)的除法、除數(shù)是一位數(shù)的除法和除數(shù)是兩位數(shù)的除法等知識(shí)點(diǎn)：（1）二年級(jí)上冊(cè)第四單元“表內(nèi)除法（一）”包括認(rèn)識(shí)平均分，除數(shù)的初步認(rèn)識(shí)，用1～6的乘法口訣求商，應(yīng)用除法的含義解決有關(guān)平均分的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題；（2）二年級(jí)上冊(cè)第六單元“表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法（二）”包括7～9的乘法口訣和用口訣求商，連乘、連除和乘除混合運(yùn)算，簡(jiǎn)單的乘法和除法實(shí)際問(wèn)題；（3）二年級(jí)下冊(cè)第一單元“有余數(shù)的除法”包括有余數(shù)除法的含義，認(rèn)識(shí)除法豎式，有余數(shù)除法的計(jì)算（除數(shù)和商都是一位數(shù)），用有余數(shù)除法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；（4）三年級(jí)上冊(cè)第四單元“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”包括整十?dāng)?shù)（含幾百幾十）、整百數(shù)除以一位數(shù)的口算，兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算，除法的驗(yàn)算；（5）四年級(jí)上冊(cè)第二單元“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”包括整十?dāng)?shù)、幾百幾十除以整十?dāng)?shù)的口算，兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算，商不變的規(guī)律，被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算，連除實(shí)際問(wèn)題。

二、教學(xué)要求

“整數(shù)除法”屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中數(shù)與運(yùn)算的內(nèi)容，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷算理和算法的探索過(guò)程，理解算理，掌握算法，感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

第一學(xué)段，數(shù)學(xué)新課標(biāo)對(duì)“整數(shù)除法”的“內(nèi)容要求”是了解四則運(yùn)算的含義，理解具體情境中運(yùn)算之間的關(guān)系；探索乘法和除法的算理與算法，能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法和除法；在解決生活情境問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)和運(yùn)算的意義，并培養(yǎng)初步的符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、運(yùn)算能力和推理意識(shí)。“學(xué)業(yè)要求”是能描述四則運(yùn)算的含義，知道除法是乘法的逆運(yùn)算，能熟練口算表內(nèi)乘除法，以及發(fā)展初步的運(yùn)算技能。“教學(xué)提示”是數(shù)的運(yùn)算教學(xué)要啟發(fā)學(xué)生在具體情境中感悟除法是乘法的逆運(yùn)算，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生計(jì)算能力和推理意識(shí)的形成與發(fā)展。

第二學(xué)段，數(shù)學(xué)新課標(biāo)對(duì)“整數(shù)除法”的“內(nèi)容要求”是學(xué)習(xí)與掌握具體情況下的多位數(shù)乘法和除法，理解在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中從未知到已知的轉(zhuǎn)化；理解四則運(yùn)算的意義，能進(jìn)行整數(shù)四則混合運(yùn)算。“學(xué)業(yè)要求”是能計(jì)算兩位數(shù)乘除三位數(shù)，能描述除法與乘法之間的關(guān)系，解決相關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題以及形成運(yùn)算能力。“教學(xué)提示”是在進(jìn)行除法計(jì)算的過(guò)程中，進(jìn)一步理解除法是乘法的逆運(yùn)算，感悟如何將未知轉(zhuǎn)為已知，并培養(yǎng)初步的推理意識(shí)。

具體來(lái)說(shuō)，“表內(nèi)除法”分兩個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。第一個(gè)層次，通過(guò)分一分、圈一圈等活動(dòng)進(jìn)行平均分。如教材中的“有8個(gè)桃，每個(gè)小朋友分2個(gè)，可以分給幾個(gè)小朋友”，可讓學(xué)生對(duì)著圖2個(gè)2個(gè)圈一圈，得到“8里面有4個(gè)2”。第二個(gè)層次，利用乘除法的逆運(yùn)算關(guān)系理解算理。如“8個(gè)小朋友打乒乓球，每2人一組，可以分成幾組”，引導(dǎo)學(xué)生利用連減推算出8-2-2-2-2=0，也可以通過(guò)想乘法口訣“二四得八”得到答案。

“有余數(shù)的除法”指平均分時(shí)不能分完的情況。學(xué)生通過(guò)直觀操作和比較，發(fā)現(xiàn)“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律。如教材中的“把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？每人分3支、4支、5支呢”這題，學(xué)生利用乘法口訣列出有余數(shù)除法的豎式，探究有余數(shù)除法的算理和算法，進(jìn)一步加深了對(duì)除法含義的理解。

“除數(shù)是一位數(shù)的除法”是從計(jì)數(shù)單位的角度，計(jì)算兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的除法。對(duì)于整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的口算，是將被除數(shù)基于計(jì)數(shù)單位分解，把整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)轉(zhuǎn)化為表內(nèi)除法。如口算60÷3時(shí)，讓學(xué)生思考6個(gè)十除以3得到2個(gè)十，即20。對(duì)于非整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的筆算，是將被除數(shù)基于計(jì)數(shù)單位分解，分別用計(jì)數(shù)單位上的數(shù)除以除數(shù)，有余數(shù)時(shí)將計(jì)數(shù)單位細(xì)分后繼續(xù)除。如筆算52÷2時(shí)，把52看成5個(gè)十和2個(gè)一，先用5個(gè)十除以2得到2個(gè)十，剩下1個(gè)十；再將剩下的1個(gè)十繼續(xù)細(xì)分成10個(gè)一，與個(gè)位上的2個(gè)一合在一起是12個(gè)一，用12個(gè)一除以2得到6個(gè)一；最后，將2個(gè)十和6個(gè)一合起來(lái)，等于26。對(duì)于整百數(shù)除以一位數(shù)的口算，計(jì)算方法與整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)類似，即將整百數(shù)除以一位數(shù)轉(zhuǎn)化為表內(nèi)除法。如口算120÷4時(shí)，讓學(xué)生思考12個(gè)十除以4得到3個(gè)十，即30。對(duì)于非整百數(shù)除以一位數(shù)的筆算，計(jì)算方法與非整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)類似，即從計(jì)數(shù)單位的角度細(xì)分后再計(jì)算。如筆算738÷2時(shí)，把738看成7個(gè)百、3個(gè)十和8個(gè)一，先用7個(gè)百除以2得到3個(gè)百，剩下1個(gè)百；再將剩下的1個(gè)百繼續(xù)細(xì)分成10個(gè)十，與十位上的3個(gè)十合在一起是13個(gè)十，用13個(gè)十除以2得到6個(gè)十，還剩下1個(gè)十；剩下的1個(gè)十繼續(xù)細(xì)分成10個(gè)一，與個(gè)位上的8個(gè)一合在一起是18個(gè)一，用18個(gè)一除以2得到9個(gè)一；最后，將3個(gè)百、6個(gè)十和9個(gè)一合起來(lái)，等于369。

“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”也是從計(jì)數(shù)單位的角度，計(jì)算兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。對(duì)于整十?dāng)?shù)除以兩位數(shù)的口算，如口算60÷20時(shí)，讓學(xué)生思考60÷20與6÷2的結(jié)果。對(duì)于除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法，首先根據(jù)計(jì)數(shù)單位分解被除數(shù)，將除數(shù)估算成整十?dāng)?shù)進(jìn)行試商；然后用被除數(shù)中不同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)分別除以除數(shù)，有余數(shù)時(shí)則將計(jì)數(shù)單位進(jìn)一步細(xì)分繼續(xù)除下去，即將多位數(shù)除法轉(zhuǎn)化為表內(nèi)除法；最后，將每次所得的商合起來(lái)，就是最終的結(jié)果。如筆算272÷34時(shí)，讓學(xué)生先利用“四舍五入”法把除數(shù)34估計(jì)成30，想30×（ ）＜272，得到初商9；但是34乘9等于306，所以將初商9調(diào)整為8，得到272÷34=8。

三、教學(xué)建議

1.把握單元主線，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“整數(shù)除法”作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，對(duì)學(xué)生的邏輯思維、問(wèn)題解決能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要意義。教學(xué)“整數(shù)除法”，通常按照以下知識(shí)主線進(jìn)行教學(xué)。（1）表內(nèi)除法。這是學(xué)生學(xué)習(xí)除法的基礎(chǔ)，主要涉及一位數(shù)除以一位數(shù)的口算，讓學(xué)生建立起除法的初步概念和運(yùn)算意識(shí)。（2）有余數(shù)的除法。在掌握表內(nèi)除法后，引入有余數(shù)的除法，讓學(xué)生理解余數(shù)產(chǎn)生的原因，并學(xué)會(huì)用豎式計(jì)算有余數(shù)的除法。（3）除數(shù)是一位數(shù)的除法。學(xué)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)的除法，包括被除數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)等情況，讓學(xué)生掌握試商、調(diào)商的方法，以及除法的驗(yàn)算。（4）除數(shù)是兩位數(shù)的除法。作為“整數(shù)除法”學(xué)習(xí)的關(guān)鍵階段，學(xué)生需要學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除法。

在“整數(shù)除法”教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到全面發(fā)展，具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。（1）運(yùn)算能力。學(xué)生通過(guò)大量的除法練習(xí)，掌握了整數(shù)除法的各種情況，提高了運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性；學(xué)會(huì)用豎式計(jì)算除法，以及處理余數(shù)、試商、調(diào)商等問(wèn)題。（2）邏輯推理能力。在學(xué)習(xí)除法的過(guò)程中，需要理解除法的算理和算法，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。（3）問(wèn)題解決能力。在運(yùn)用除法知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中，學(xué)生需要分析問(wèn)題的條件、選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法、列出算式并計(jì)算結(jié)果，這有助于培養(yǎng)他們的問(wèn)題解決能力。（4）數(shù)學(xué)思維能力。除法運(yùn)算本身就需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)思維能力，如抽象思維、歸納思維、演繹思維等。（5）數(shù)學(xué)表達(dá)能力。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生需要與同學(xué)、教師進(jìn)行交流和討論，分享自己的解題思路和方法，這樣有助于提高學(xué)生的表達(dá)能力、傾聽(tīng)能力和合作能力。

2.基于計(jì)數(shù)單位，凸顯運(yùn)算一致性

“整數(shù)除法”的教學(xué)需要基于計(jì)數(shù)單位，凸顯運(yùn)算的一致性。整數(shù)除法運(yùn)算的一致性，主要表現(xiàn)在運(yùn)算中將計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分：將被除數(shù)基于計(jì)數(shù)單位細(xì)分，用被除數(shù)中不同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字分別除以除數(shù)；被除數(shù)不能整除時(shí)，把余數(shù)細(xì)分成更小的計(jì)數(shù)單位繼續(xù)除。這一運(yùn)算過(guò)程實(shí)質(zhì)上是將多位數(shù)除法轉(zhuǎn)化為表內(nèi)除法，利用乘法口訣求商。

教學(xué)“整數(shù)除法”時(shí)，首先，教師要強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)單位在整數(shù)除法運(yùn)算中的作用，幫助學(xué)生建立整數(shù)的計(jì)數(shù)概念，從而理解整數(shù)除法的本質(zhì)；其次，通過(guò)比較不同情形下的除法運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和一致性，加深對(duì)整數(shù)除法的理解；再次，引導(dǎo)學(xué)生建立整數(shù)除法的模型，將具體問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生直觀地理解整數(shù)除法的運(yùn)算過(guò)程；最后，注重訓(xùn)練學(xué)生整數(shù)除法的操作技能，提高他們的運(yùn)算能力。通過(guò)“整數(shù)除法”的教學(xué)，深化學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的理解，提高學(xué)生的數(shù)感和運(yùn)算能力，這對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法以及更復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算具有重要意義。

3.關(guān)聯(lián)教學(xué)內(nèi)容，注重建立理法聯(lián)系

“整數(shù)除法”內(nèi)容包含多種情形的除法運(yùn)算，教材編排是逐步深入、循序漸進(jìn)的。教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生從基礎(chǔ)概念出發(fā)，逐步掌握整數(shù)除法的各種情形和計(jì)算方法，建立理法聯(lián)系。

“整數(shù)除法”內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。（1）表內(nèi)除法與有余數(shù)的除法。通過(guò)比較表內(nèi)除法和有余數(shù)的除法，有助于學(xué)生理解除法運(yùn)算中整數(shù)部分和余數(shù)部分的關(guān)系，建立二者之間的聯(lián)系，加深對(duì)除法概念的理解。（2）除數(shù)是一位數(shù)與除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法。通過(guò)探討除數(shù)是一位數(shù)和除數(shù)是兩位數(shù)的情形，理解不同情況下筆算除法的運(yùn)算過(guò)程，區(qū)分運(yùn)算步驟并建立二者之間的聯(lián)系。（3）強(qiáng)化估算與筆算的結(jié)合。這樣有助于學(xué)生更好地理解除法運(yùn)算的結(jié)果范圍，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率。（4）理法聯(lián)系的教學(xué)方法。教師可以通過(guò)實(shí)際問(wèn)題和例題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)除法運(yùn)算的規(guī)律和特點(diǎn)，在解題過(guò)程中逐步建立理法聯(lián)系，深化學(xué)生對(duì)整數(shù)除法的理解。

“整數(shù)除法”作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，不僅是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維的重要載體，還是促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)的基石。教師要深入了解整數(shù)除法運(yùn)算的多樣性和復(fù)雜性，通過(guò)多種方法來(lái)深化學(xué)生對(duì)整數(shù)除法的理解，以提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 楊明嵐.一致性視域下整數(shù)除法運(yùn)算整體性的教學(xué)思考與設(shè)計(jì)：以“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元為例[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（11）：50-53.

[2] 周琪，沈彩虹，周小芳.基于算理算法一致性的“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元整體教學(xué)重構(gòu)[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2024（5）：60-64.

（責(zé)編 杜 華）