由實驗到推理：尋繹三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)意蘊

［摘 要］課堂上，教師通過一系列實驗操作活動，使學生在實踐中直觀感知三角形的穩(wěn)定性；通過對比、驗證四邊形和五邊形等多邊形不具有穩(wěn)定性，將抽象的幾何概念具象化；通過推理應用，使三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)意蘊透徹化，實現(xiàn)學生對所學知識的理解與內(nèi)化。這樣結(jié)合實驗操作與推理應用開展教學，不僅能豐富教學的內(nèi)容與形式，深入剖析并揭示三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)意蘊，還有助于發(fā)展學生的思維能力與實踐能力，促進學生核心素養(yǎng)的提升。

［關(guān)鍵詞］實驗；推理；三角形穩(wěn)定性

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）30-0001-04

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數(shù)學新課標”）在“課程理念”中指出：“教學活動應注重啟發(fā)式……引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題。”這里所說的無疑是需要學生深度參與的教學活動，“實施促進學生發(fā)展的教學活動”實質(zhì)上就是指實驗操作和推理應用。

關(guān)于三角形穩(wěn)定性的教學，教師教學時很容易把三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)意蘊“滑過去”，學生也常常因此以為“拉不動就是三角形的穩(wěn)定性”，導致對概念不求甚解，難以實現(xiàn)深度的數(shù)學學習，阻礙或影響后續(xù)學習。為了使學生對三角形穩(wěn)定性的理解真正達到“知其然，更知其所以然”，筆者深入研讀了大量有關(guān)三角形1fb8165e46309ce97d74d9d1cec0e65c0affacfa555383baa7b658f6a2146df5穩(wěn)定性的文獻，根據(jù)學情設(shè)計本研究課，現(xiàn)呈現(xiàn)出來與各位同仁研討。

一、實驗準備，初步感知概念的本質(zhì)意蘊

（一）實驗目的

在分組拼接三類三角形及四邊形、五邊形的活動中，理解三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)意蘊，發(fā)現(xiàn)四邊形、五邊形等多邊形不具有穩(wěn)定性，感受實驗操作的樂趣及價值。

（二）材料準備

32a07e9117fbdbdba8ad7315d488c1b77224c81ca853bc3480e5e5e871e0dd82材料1（直角三角形）：6cm、8cm、10cm的3根小棒

材料2（銳角三角形）：4cm、5cm、6cm的3根小棒

材料3（鈍角三角形）：5cm、6cm、10cm的3根小棒

材料4（四邊形）：4cm、5cm、8cm、10cm的4根小棒

材料5（五邊形）：4cm、5cm、8cm、8cm、10cm的5根小棒

材料6：鋼鐵材質(zhì)焊接成的長方形

通過準備實驗材料，激發(fā)學生的好奇心，使學生對實驗操作產(chǎn)生興趣，初步明確實驗目的，感知三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)意蘊，為后續(xù)實驗的開展奠定基礎(chǔ)。

二、實驗操作，讓概念的本質(zhì)意蘊具象化

數(shù)學中有許多抽象的概念難以理解，如三角形的穩(wěn)定性，學生往往會出現(xiàn)理解上的偏差，誤以為“拉不動就是三角形的穩(wěn)定性”。實驗操作是數(shù)學學習的重要方法，能將抽象的概念具象化、可視化，從而幫助學生深入理解和掌握概念的本質(zhì)意蘊。

（一）學情了解

師：同學們，你們知道三角形的穩(wěn)定性嗎？

生1：知道，三角形的穩(wěn)定性就是說它很堅固。

師：哦！它很堅固，有沒有不同的理解？

生2：就是說三角形很穩(wěn)固，拉不動。

師：再想想，還有不同的理解嗎？

生3：四邊形能拉動，所以四邊形不穩(wěn)定。

生4：五邊形也不穩(wěn)定。

生5：除了三角形穩(wěn)定，其他圖形都不穩(wěn)定。

師：還有嗎？

生（齊）：沒有了。

師：原來你們是這么理解的。那么，三角形的穩(wěn)定性是指單個的三角形還是指所有的三角形？

生（齊）：所有的三角形。

師：真佩服大家！思考很有水平。這里所說的三角形，確實是指所有的三角形。那我們要研究三角形的穩(wěn)定性，就是研究——

生（齊）：所有三角形的穩(wěn)定性。

師：可是，三角形有很多，我們也研究不過來啊！有什么好的解決辦法嗎？

生6：我覺得可以分類來研究。（其他學生受到啟發(fā)，也紛紛同意該學生的觀點）

師：那怎么分類？（師生共同回顧，完成三角形分類的板書）

（二）實驗操作

師：請拿到3根小棒的同學拼接三角形，拿到4根小棒的同學拼接四邊形。（學生拿出課前準備好的實驗材料開始操作，教師巡視指導）

1.收集用4cm、5cm、6cm小棒拼接成的所有銳角三角形

師：你們用長度多少的3根小棒拼接成三角形？通過實驗有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論是什么？

生7：我用小棒拼接成銳角三角形，并且感覺大家拼接成的三角形都是一樣的。

師：“一樣的”是什么意思？

生8：就是指形狀完全相同，像從同一個模子里做出來的一樣。

生9：就像克隆一樣，復制粘貼。

生10：就是說，我們拼接的這些三角形是完全相同的。

師：同學們講得很有道理，也特別有意思！如何才能讓他人相信你們拼接的這些三角形是完全相同的呢？

生11：將拼接好的同類三角形的對應邊重疊，并“串”在同一根木棒上（見圖1）。

師：你們對實驗結(jié)果有沒有疑問？

生12：我們拼接的三角形為什么會完全一樣？

生13：可能是因為我們拿到的3根小棒都相同，所以拼接成的三角形都是一樣的。

師：同學們認為呢？

生（齊）：我們也是這樣認為。

師生總結(jié)提煉：銳角三角形三條邊的長度確定它的大小、形狀都相等，說明它的形狀和大小沒有發(fā)生改變（是確定的，唯一的）。

2.收集用6cm、8cm、10cm小棒拼接成的所有直角三角形

（在前面討論交流的基礎(chǔ)上，學生表達了他們在實驗中的發(fā)現(xiàn)和結(jié)論，也把拼接成的直角三角形像銳角三角形那樣“串”起來）

師生總結(jié)提煉：直角三角形三條邊的長度確定它的大小、形狀都相等，說明它的形狀和大小沒有發(fā)生改變（是確定的，唯一的）。

3.收集用5cm、6cm、10cm小棒拼接成的所有鈍角三角形

（在前面討論交流的基礎(chǔ)上，學生表達了他們在實驗中的發(fā)現(xiàn)和結(jié)論，也把拼接成的鈍角三角形像銳角三角形那樣“串”起來）

師生總結(jié)提煉：鈍角三角形三條邊的長度確定它的大小、形狀都相等，說明它的形狀和大小沒有發(fā)生改變（是確定的，唯一的）。

4.概括三角形穩(wěn)定性的含義

師：剛才同學們發(fā)現(xiàn)拼接的無論是銳角三角形、鈍角三角形還是直角三角形，只要三角形三條邊的長度確定，這個三角形的形狀和大小就不會發(fā)生改變，這就是三角形的穩(wěn)定性。（板書：三角形具有穩(wěn)定性）

5.收集用4cm、5cm、8cm、10cm小棒拼接成的所有四邊形

師：實驗后，同學們有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論是什么？

生14：聽了前面同學的匯報，我覺得我們組拼接的四邊形也應該是完全相同的，可當比較我們組每人拼接的四邊形后，發(fā)現(xiàn)四條邊的長度雖然都是一樣的，但每人拼接成的四邊形是不一樣的。

生15：有2個四邊形有點像，但我們比較了一下，發(fā)現(xiàn)還是不能重疊，即不一樣。

生16：也就是說，雖然都是用相同的4根小棒，但拼接成的四邊形是不一樣的。

師：即四邊形的形狀不能確定，是這個意思嗎？

生（齊）：是的。

師生總結(jié)概括：當4條邊的長度確定以后，四邊形的形狀和大小是不確定的，即四邊形不具有穩(wěn)定性（板書）。

6.收集用4cm、5cm、8cm、8cm、10cm小棒拼接成的所有五邊形

師：用4cm、5cm、8cm、8cm、10cm這5根小棒拼接成五邊形的同學，老師估計你們通過實驗都有了自己的發(fā)現(xiàn)和結(jié)論，請暫時保密?，F(xiàn)在，我們來玩?zhèn)€“猜猜看”的游戲。請同學們猜猜看，當5條邊的長度確定后，拼成的五邊形的形狀和大小是不是確定的？也就是說，五邊形有沒有穩(wěn)定性？

生17：四邊形不具有穩(wěn)定性，五邊形肯定也不具有穩(wěn)定性。

生18：不但四邊形、五邊形不具有穩(wěn)定性，六邊形、七邊形等都不具有穩(wěn)定性。

師：那你們的觀點是——

生19：只有三角形才具有穩(wěn)定性。

師：其他同學有沒有不同的觀點？

……

師生總結(jié)概括：當5條邊長確定后，拼成的五邊形的形狀和大小是不確定的，也就是五邊形、六邊形、七邊形等不具有穩(wěn)定性;只有三角形才有穩(wěn)定性，具有穩(wěn)固、堅定、耐壓的特點。

……

學生經(jīng)歷了實驗的全過程，發(fā)現(xiàn)三角形三條邊的長度一旦確定，它的形狀和大小就不會發(fā)生改變。通過實驗操作，學生觀察自己動手拼接成的三角形，直觀感受到三角形的穩(wěn)定性。這樣不僅激發(fā)了學生的好奇心和探索欲，還糾正了學生原來的理解偏差，使學生深刻理解了三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)意蘊。

三、推理應用，讓概念的本質(zhì)意蘊透徹化

實驗操作雖然能讓學生直觀感受到三角形的穩(wěn)定性，但要達到透徹理解，還需經(jīng)歷推理應用的過程。這樣可幫助學生真正理解和掌握數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延，提升他們的數(shù)學思維水平和解決問題的能力。

（一）關(guān)系推理

師：（出示一個鋼鐵材質(zhì)焊接成的長方形讓學生拉）無論怎么拉這個長方形，它的形狀和大小都沒有發(fā)生改變。四邊形不是不具有穩(wěn)定性嗎？是不是我們的研究錯了？

生（齊）：因為它是個長方形。

師：長方形不是四邊形嗎？

生1：這個長方形的四個頂點都被焊接固定住了，所以形狀和大小當然不能發(fā)生改變了。

師：那你們的意思是——

生2：如果長方形的四個頂點是用螺釘固定的，而螺釘沒擰緊，松動了，這個長方形就立不起來了。即使不碰它，它的形狀和大小也會發(fā)生變化。

師：也就是說，四邊形仍然是不具有穩(wěn)定性的，只是頂點被固定住了。

師：（播放介紹鉸鏈的視頻）老師給大家科普一下，這叫鉸鏈。（出示用鉸鏈作為頂點的三角形）猜猜看，如果老師的手松開，三角形會發(fā)生改變嗎？

生（齊）：不會。

師：（手松開）它的形狀改變了嗎？

生（齊）：沒有。

師：即使把它掛在黑板上，這個鉸鏈三角形的形狀和大小也不會發(fā)生改變，因為三角形具有——

生（齊）：穩(wěn)定性。

師：而用鉸鏈拼接成的四邊形呢？

生（齊）：會發(fā)生改變。

師：它的形狀和大小會發(fā)生什么改變？

生3：變成一條直線。

生4：因為四邊形不具有穩(wěn)定性。

師：有沒有辦法讓這個四邊形也具有穩(wěn)定性呢？

生5：用一根小棒把這個四邊形不相鄰的兩個頂點連接起來，這樣四邊形就變成兩個三角形，它的形狀和大小就不會發(fā)生改變了。

師：這樣四邊形就具有穩(wěn)定性了，是吧？

生6：這是利用三角形的穩(wěn)定性，而四邊形本身不具有穩(wěn)定性，具有易變性。

（二）遷移應用

師：（出示鉸鏈四邊形）生活中哪些地方有這樣的圖形呢？

生7：學校門口的伸縮門。

師：你真厲害！大家給他掌聲。同學們有沒有仔細觀察過學校門口伸縮門的結(jié)構(gòu)？

生8：學校門口伸縮門的結(jié)構(gòu)，實際上是利用了四邊形的易變性。

（多媒體出示）小軍說：“三角形具有穩(wěn)定性，三角形才是最有用的，其他多邊形都沒有用?！?/p>

師：你想如何跟小軍辯一辯呢？

生9：我們家大門也是可以進行伸縮的，還有一些晾衣架也是利用四邊形的易變性制作出來的。

師：這就是物盡其用，各有各的特點。人也是如此，你有這樣的能力，他有那樣的能耐，每個人都有用處。

師：回顧一下，今天這節(jié)課，我們通過實驗操作和推理應用，既探索了三角形的穩(wěn)定性，又發(fā)現(xiàn)了其他多邊形不具有穩(wěn)定性，而是具有易變性。

……

幾何學，是一門充滿魅力與挑戰(zhàn)的學科。在幾何的世界里，概念如同基石，支撐著整個知識體系的大廈。然而，幾何概念是抽象的，學生對幾何概念的理解往往停留在表面，難以把握其本質(zhì)意蘊。如何引領(lǐng)學生深入理解幾何概念，成了幾何教學中的關(guān)鍵問題。實驗操作和推理應用，為我們提供了一條尋繹幾何概念本質(zhì)意蘊的有效途徑。它能夠引導學生從不同角度去思考、探究，將概念的本質(zhì)意蘊逐漸揭示出來。

總之，本文以“尋繹三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)意蘊”為例，嘗試通過實驗操作和推理應用，探尋學生理解幾何概念本質(zhì)意蘊的基本路徑。數(shù)學教學中，教師應注重引導學生進行實驗操作和推理應用，讓他們在實踐中感受數(shù)學的魅力，提高他們的思維能力和解決問題能力。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 余文森.核心素養(yǎng)導向的課堂教學[M].上海：上海教育出版社，2019.

[3] 張忠斌.鏈式多邊形與三角形穩(wěn)定性的理想模型[J].中學數(shù)學，2018（2）：58-59.

[4] 王嶸，蔡金法.問題提出：從課程設(shè)計到課堂實踐[J].課程·教材·教法，2020，40（1）：90-96.

[5] 黃德忠，焦歡歡.小學數(shù)學“蘊趣教學”：喚醒兒童認知內(nèi)驅(qū)力[J].教學研究與評論（小學教育教學），2021（10）：48-51.

（責編 杜 華）

［基金項目］本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃“人民教育家培養(yǎng)工程培養(yǎng)對象”專項課題“小學數(shù)學蘊趣教學的實踐研究”（批準號：R-c/2018/03）暨南京市教育科學“十四五”規(guī)劃2023年度課題“蘊趣交融：指向?qū)W科育人的小學數(shù)學新實踐研究”（批準號：L/2023/079）的階段性研究成果。