物理圖像“面積”的意義和應用

１ 問題提出

物理圖像是描述物理量之間關系、分析解決物理問題的重要工具．圖像的面積不一定都具有實際物理意義．如圖１所示，vＧt 圖像與橫軸圍成的圖形的面積代表位移x．而圖２中xＧt 圖像與橫軸圍成的圖形的面積代表什么呢？ 另外，x＝vt 也可以寫成x＝tv，那么將vＧt 圖像的橫縱坐標交換得到tＧv 圖像（如圖３），該tＧv 圖像與橫軸圍成的圖形的面積也代表位移x 嗎？

２ 圖像面積的數學原理

在數學上，圖像的面積一般用定積分來表示，而定積分的本質是無限分割和微元求和．如圖４所示，以求解曲線f（x）在區間[a，b]上與橫軸所圍圖形的面積A 為例．第一步：無限分割．將變量區間[a，b]分為n 個子區間，當n→∞時，每個子區間Δxi→０，則相應部分待求量ΔAi ≈f（εi）Δxi，其中εi 是子區間Δxi上任意x 值，這樣就得到了微元量ΔA ，它表示任意子區間內曲線f（x）與橫軸所圍圖形的面積，可稱為“面積微元”，如圖５所示．第二步：微元求和．將所得微元ΔA 無限求和，可得曲線在區間[a，b]上與橫軸所圍圖形的面積A ．

由以上分析可知，如果宏觀上，面積A 要代表一個具有實際意義的物理量，則微觀上，面積微元ΔA應該要代表該物理量的微元量，這就是我們判斷圖像的面積是否有實際物理意義的依據．例如，圖１中，面積微元vΔt 代表位移微元Δx，故所圍圖形的面積代表位移x．圖２中，面積微元xΔt 沒有對應某一實際物理量的微元，故所圍圖形的面積不能對應某個實際物理量．圖３ 中，根據Δx ＝vΔt，與縱軸圍成的圖形的面積才代表位移x，tＧv 圖像與橫軸圍成的圖形的面積不代表位移！ 再舉一例，根據Δt＝Δxv ＝１ /vΔx，圖６中xＧ１/v圖像與縱軸x 圍成的圖形的面積才代表時間間隔t．

３ 物理圖像中不同類型“面積”舉例

３.１ 圖像與坐標軸圍成圖形的面積

例１ （２０１０年全國卷）汽車由靜止開始在平直的公路上行駛，０～６０s內汽車的加速度隨時間變化的圖線如圖７所示．

（１）畫出汽車在０～６０s內的vＧt 圖線;

（２）求在這６０s內汽車行駛的路程．

解析 aＧt 圖像與橫軸圍成圖形的面積表示“速度的變化量”，而前后兩部分的面積大小相等，可知前１０s汽車勻加速，后２０s汽車勻減速恰好停止，最大速度為２０m·s－１．據此畫出汽車在０～６０s內的vＧt 圖線如圖８所示．然后利用vＧt 圖線與橫軸圍成圖形的面積表示“位移”，從而求出路程x＝（３０＋６０）×２０／２ m＝９００m．

點評 圖像與坐標軸圍成圖形的面積是最基本、最常見的圖像面積，該面積可以是圖像與橫軸圍成圖形的面積，也可以是圖像與縱軸圍成圖形的面積．這個面積有沒有實際物理意義，有怎樣的物理意義，要根據面積微元進行確定．

３.２ 兩圖像所夾圖形的面積

例２ （２０２３年全國乙卷）如圖９所示，一質量為M 、長為l 的木板靜止在光滑水平桌面上，另一質量為m 的小物塊（可視為質點）從木板上的左端以速度v０開始運動．已知物塊與木板間的滑動摩擦力大小為f，當物塊從木板右端離開時（ ）．

A．木板的動能一定等于fl

B．木板的動能一定小于fl

C．物塊的動能一定大于１／２mv０２－fl

D．物塊的動能一定小于１／２mv０２－fl

解析 依題意，物塊離開木板時，速度應大于木板，畫出物塊m 和木板M 的vＧt 圖像（如圖１０）．圖中兩條圖像所夾圖形的面積代表物塊與木板的位移之差，即相對位移，也就是木板的長度l．設物塊的對地位移為xm ，木板的對地位移為xM ．顯然，xm 可以用m 的vＧt 圖像與橫軸圍成圖形的面積表示．xM 可以用M 的vＧt 圖像與橫軸圍成圖形的面積表示．根據三個面積的大小關系，可得xm ＞l＞xM ，再分別對M 和m 列動能定理方程可知B、D正確．

點評 兩個圖像所夾圖形的面積，實際上是兩個圖像與坐標軸圍成圖形的面積之差（注意橫軸下方的面積可以認為是“負面積”）．

３.３ 封閉圖像所圍圖形的面積

例３ （２０２３年福建卷）一定質量的理想氣體經歷了A →B →C →D →A 的循環過程后回到狀態A ，其pＧV 圖像如圖１１所示．完成一次循環，氣體內能________（填“增加”“減少”或“不變”），氣體對外界________（填“做正功”“做負功”或“不做功”），氣體________（填“吸熱”“放熱”“不吸熱”或”不放熱”）.

解析 氣體經歷了A →B→C→D →A 的循環過程后回到狀態A ，初末狀態的溫度不變，而一定質量的理想氣體的內能僅由溫度決定，所以整個過程氣體的內能不變，即ΔU ＝０．對pＧV 圖像來說，圖像與橫軸所圍圖形的面積表示氣體做功情況，其中A →B→C 的過程氣體體積減小，是外界對氣體做功的過程，C →D →A 的過程氣體體積增大，是氣體對外做功的過程，且C →D →A 的過程圖像與橫軸所圍圖形的面積大于A →B→C 的過程圖像與橫軸所圍圖形的面積，即氣體對外做的功大于外界對氣體做的功，則整個過程中表現為氣體對外界做功．根據熱力學第一定律ΔU ＝W ＋Q 可知，因為ΔU ＝０，W ＜０，則Q＞０，故氣體從外界吸收熱量．

點評 封閉圖像所圍圖形的面積可以看作上下兩段圖像所夾圖形的面積，再利用兩個圖像與坐標軸所圍圖形的面積之差來理解．據此可知，如果將圖中循環方向由順時針改為逆時針，則“做正功”變為“做負功”，“吸熱”變為“放熱”．

３.４ 圖像上點的橫縱坐標相乘的“面積”

例４ （２０２１年全國卷）圖１２中的直線Ⅰ、Ⅱ分別是電池１和電池２的路端電壓隨電流變化的圖線，直線Ⅲ 是某用電器兩端電壓隨電流變化的圖線．則（ ）．

A．電池１和電池２的電動勢相等

B．電池１和電池２的內阻之比為３∶５

C．該用電器的電阻為２Ω

D．該用電器分別接在電池１和電池２上時消耗的功率之比為９∶４