含間隙—軟沖擊振動系統的動力學特性研究

摘 要：文章以含間隙—軟沖擊振動系統為研究對象，建立該系統的Poincaré映射，通過數值模擬，分析了該系統的周期碰撞沖擊特性，研究了低頻下亞諧波運動與之間的轉遷規律，揭示了沖擊約束面的剛度系數變化對系統運動特性的影響；研究顯示：在高頻時，隨著激勵頻率的減小系統經運動發生倍化分岔、擦切分岔轉入混沌或長周期運動，再經歷逆倍化序列等演變為運動；在低頻時，運動特征為非粘滯型顫振；通過分析不同約束面上剛度系數的系統全局分岔圖可知沖擊約束面的剛度系數越大，系統振動特性越明顯，穩定性下降。

關鍵詞：軟沖擊 顫振 分岔 混沌 穩定性

0 引言

沖擊振動現象普遍存在于各類機械系統中，例如高速行駛的列車輪軌之間的沖擊、齒輪箱內輪齒嚙合的沖擊等，這種沖擊振動都會對零部件造成損傷從而影響機器的使用壽命，影響設備安全運行，因此，研究沖擊振動系統的分岔機理對振動沖擊系統的優化設計、運行安全性和使用壽命的提高以及降低噪聲等方面均具有重要意義。

近年來國內外許多學者都對含有軟沖擊約束的系統開展了研究，P. Brzeski[1]以振蕩器之間的距離和諧波激勵的相位差為控制參數，分析了不連續耦合對多穩態系統動力學的影響。Luo等[2]探究了沖擊碰撞系統的粘滯或非粘滯周期運動轉變為混沌的過程。安貴杰[3]建立了考慮干摩擦的間隙碰撞振動系統動力學模型，分析了摩擦系數等參量對系統動力學特征的影響。劉汝逾[4]分析了雙側對稱碰撞振動系統在簡諧激勵下的穩定性和分岔行為。王世俊[5]研究了一種多剛度的兩自由度沖擊系統的舌狀轉遷域內亞諧碰撞振動的類型和形成機理，以及系統參數在系統周期碰撞振動在（ω，δ）參數區域平面上的運動特征。Luo 等[6]分析了有間隙的兩自由度振動系統的動力學行為和系統參數的關聯關系。Joseph Páez Chávez[7]對兩個周期強迫 Duffing 振子通過軟耦合進行了分岔分析，分析表明在多穩態系統中，可以通過瞬態沖擊來改變穩定吸引子的數目和減少共存解的數目。張曉蓉[8]通過數值仿真，揭示了一種帶有非線性赫茲接觸力的振動沖擊系統在低頻率、小間隙下存在非完全顫振現象，總結了系統響應從1-1-1周期運動轉為非完全顫振運動的過程。王晨升[9]以具有雙邊約束的兩自由度沖擊振動系統為研究對象，分析了其周期運動的穩定性及系統在不同參數下發生分岔并轉變為混沌的過程，為實際動力學系統優化提供了理論依據。

本文在剛性沖擊系統的基礎上，建立了兩自由度含間隙-軟沖擊振動系統動力學模型，通過數值仿真，分析了約束面剛度系數等參量對系統動力學特性的影響。

1 兩自由度含間隙-軟沖擊振動系統的動力學模型

兩自由度含間隙-軟沖擊振動系統動力學模型如圖1所示，系統中兩振子的質量分別為和；系統固定基礎左側通過阻尼系數為的阻尼器和剛度系數為的非線性彈簧與振子連接，固定基礎右側通過阻尼系數為的線性阻尼器和剛度系數為的非線性彈簧與振子相連接；振子右側含有由線性彈簧和線性阻尼器組成的軟沖擊約束，其剛度系數和阻尼系數分別為和。振子和的位移分別為和，激振力作用于振子上，其中、和分別為簡諧力振幅、激勵頻率和相位角；當激振力振幅較小時，系統呈現為無沖擊受迫振動，隨著的不斷增大，當時，振子與約束端面發生軟沖擊，此時系統變為具有復雜動力學特征的振動系統。

系統無量綱運動微分方程為：

其中與振子和的位移差、速度差和間隙相關，且有：

“.”表示對無量綱時間的求導，引入無量綱變量和參數為：

選取系統參數的取值范圍：

；系統周期碰撞運動形式用表示，一個運動周期內的激勵力周期數用表示；沖擊運動周期內振子與約束面的碰撞次數用表示，特別的是當時，表示非碰撞，即兩振子的位移差小于間隙；為了得到周期數和沖擊次數，分別建立系統反應沖擊特征的Poincaré映射截面和周期特征的Poincaré映射截面。

對于沖擊振動特征，分析上的不動點數量即可得到振子和約束的沖擊碰撞次數，由上的不動點數可得到周期振動的循環數。振子沖擊映射截面的映射方程為：

其中：；，；為系統參數，。

2 兩自由度含間隙-軟沖擊振動系統的動力學分析

2.1 軟沖擊振動系統的周期運動及分岔特性

顫振行為有粘滯振動與非粘滯振動兩種；其中粘滯型顫振是指振子在碰撞速度為零時與左側固接在振子上的約束接觸，且振子發生碰撞時合外力向左，這使得振子與沖擊面發生粘連，此時沖擊振動系統將變成單自由度強迫振動系統，當振子所受合外力方向改變時，振子逐漸離開沖擊接觸面，粘滯現象逐步消失，系統又成為兩自由度沖擊振動狀態；該軟沖擊系統屬于不含粘滯顫振現象，也就是振子與左側約束面之間為有限次碰撞（p很大）。

選取系統的無量綱參數為：，，，，，。以激勵力頻率為控制參數，取間隙，數值仿真得到區間內、隨變化的全局分岔圖，如圖2所示。

圖2（a）和圖2（b）分別是龐加萊截面和龐加萊截面上的系統全局分岔圖；如圖2（a）所示，隨著激勵頻率的減少，軟沖擊系統出現亞諧運動窗口，運動周期數逐漸遞減，并且在相鄰的亞諧運動之間夾雜其他運動形式，圖2（c）為圖2（a）的局部放大圖，圖2（d）為圖2（b）的局部放大圖，由圖可清晰得到隨著的減小，系統在時相鄰亞諧運動之間的轉遷變化規律。

分析可知：在圖2（a）中，隨著激勵頻率的減小，系統由1/2運動經歷復雜的轉遷變化到1/1運動；從圖2（c）中可以看出，隨著的減小，系統的1/2運動發生倍化分岔進入2/4運動，2/4運動再倍化嵌入4/8運動，隨著激勵頻率的減小，系統的4/8運動經歷一系列倍化進入長周期運動，又逐漸退化為2/4運動，2/4運動因擦切運動轉為3/4運動，3/4運動由跳躍分岔進入短暫的無接觸0/1運動，隨后系統進入短暫混沌運動狀態，當時，系統經逆Hopf分岔嵌入4/6，隨后又經倍化序列嵌入混沌運動參數域，當隨著激勵頻率的不斷減小，當時，系統退化為穩定的2/2運動，在持續減小的過程中，系統的運動狀態比較復雜，在參數區間上，系統的周期運動之間夾雜著混沌運動或長周期多沖擊運動窗口，繼續隨著的遞減，系統最終1/1運動。

如圖2（a）所示，當時，朝著的減小的方向上，系統出現了擦切分岔序列，產生基本周期運動，每發生一次擦切分岔，振子便于沖擊約束面的碰撞次數增加一次，且發生擦切運動時的碰撞速度為零，即系統由進入運動；該擦切分岔為Real-grazing分岔，即越過Real-grazing分岔邊界線時產生穩定的運動。為進一步分析約束面剛度系數對低頻區域運動特性的影響，分別計算得到和時的系統分岔圖如圖3所示。

圖3（a）中當時，系統為完全的彈性沖擊，隨著減小，系統的基本周期運動轉遷規律為：

其中：表示擦切分岔；表示鞍結分岔。

圖3（b）中當時，隨著的減小，系統的基本周期運動轉化規律如下：

通過對比圖3（a）和3（b）可知：從總體上看，系統都是從基本周期運動依次發生擦切分岔進入運動，而后又依次發生鞍結分岔進入運動的過程；分析圖3發現系統在擦切分岔發生域中，出現了短暫的倍化周期序列，如在圖3（b）中，當時，系統的3/1運動同時發生擦切和倍化分岔進入7/1；圖3（b）中時系統的擦切分岔次數較多，由此得知在低頻參數域內，接觸面的約束剛度系數越大，系統的的擦切和鞍結分岔特性越豐富，且在低頻區域系統不存在粘滯型顫碰運動，該特性在圖4所示的時間歷程圖中可得到體現，圖4是時分別取和時的時間位移圖，其中圖4（c）和圖4（d）分別是圖4（a）和圖4（b）的局部放大圖，便于更清晰的觀察系統的顫碰運動特性。

2.2 約束面剛度系數對系統分岔特性影響

為了研究軟沖擊約束面的剛度系數對系統振動特性的影響，保持系統其他參數不變，選取為研究參數得到系統的全局分岔圖如圖5所示，采用疊加分岔圖的方法更有利于直觀分析系統的沖擊次數和激勵周期數；圖中黑色部分為系統在上的全局分岔圖，紅色部分為系統在上的全局分岔圖，對比分析圖5（a）～（d）可知對系統動力學行為的影響，在圖5（a）中當時，系統在參數域上為穩定的1/1運動；在圖5（b）中當時，隨著激勵頻率的減小，系統在時1/1運動倍化為2/2運動，當時系統發生逆倍化分岔轉遷為1/1運動，在低頻區域有極少的擦切分岔和鞍結分岔區域，即：；在圖5（c）中，隨著激勵頻率的減小，系統由1/1運動倍化分岔為2/2運動，隨后當時系統由周期1/1運動發生Hopf分岔嵌入混沌運動，隨著的減小，當時系統又經逆Hopf分岔進入穩定的1/1運動，在低頻區域的運動特性表現為穩定的擦切分岔和鞍結分岔特性；在圖5（d）中，系統的運動特性比較復雜，尤其是在低頻區域系統表現為非粘滯型顫碰運動，系統其他運動特性與基本參數下的圖2（a）比較類似，不再贅述；對比分析圖5（a）～（d）可知在沖擊約束面剛度系數越大，系統的運動特性越復雜，在較小時，系統基本表現為穩定的周期運動，較大時，隨著激勵頻率的減小，系統出現了一系列的分岔特性及混沌運動區域，在低頻區域表現為沖擊次數較高的非粘滯型顫碰運動。

3 結論

本文研究了一類兩自由度含間隙-軟沖擊振動系統動力學模型在低頻參數域內的顫振現象和高頻下的運動特性，并分析了沖擊約束面的剛度系數變化對系統運動特性的影響。

（1）在低頻參數域上，隨著激勵頻率的減小，系統不斷發生Grazing分岔使振子與約束面的碰撞次數不斷增大進入運動，在擦切分岔過程中夾雜著部分倍化分岔窗口，隨后系統又經鞍結分岔，碰撞次數依次減小，并最終趨于穩定的周期運動，由于系統沖擊面帶有剛度和阻尼，屬于軟沖擊系統，所以在低頻下并不會出現粘滯型顫振運動。

（2）沖擊約束面的剛度系數對系統的運動特性影響較大，表現為在較小時，系統主要體現為穩定的周期運動，隨著增大，系統發生倍化分岔出現短暫的周期運動窗口，當時，隨著激勵頻率的減小，系統出現倍化分岔和Hopf分岔，周期運動之間嵌入混沌運動窗口，當時，系統的運動形式異常復雜，此時由于沖擊約束面剛度系數接近1，即系統接近剛性沖擊，混沌運動窗口明顯增多，在低頻下出現了沖擊次數較大的運動，由此可知沖擊約束面的剛度系數越大，系統運動穩定性越差。

（3）擦碰接觸致使系統出現奇異性，系統的倍化序列存在不連續性。

基金項目：廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目（2021KY1388）。

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