初中數學新定義題賞析

摘要：近幾年中考數學試題中，經常出現新定義類問題.這類問題主要考查學生的數學閱讀能力和對新知識的現學現用能力，因而深受命題者的青睞.基于此，對初中數學中經常出現的新定義題進行歸類，并給出每種類型問題的解題思路.

關鍵詞：初中數學；新定義題；代數運算；思路分析

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）26-0015-03

所謂新定義題，主要是指中學數學教材中未出現過且學生未知的新概念、新運算、新公式、新定理及新法則等，需要學生對題干中的信息現學現用，結合已有知識和能力進行理解，并根據新定義進行運算、推理和遷移的一種題型［1］.筆者對歷年中考試題中的新定義題分類解析，并給出其解題思路.

1新定義數

例1對于一個兩位數m=ab，（0≤b≤a≤9，1≤a+b≤9），記F（m）=a+b，將m的十位數字與個位數字的和、十位數字與個位數字的差分別作為m′的十位數字和個位數字，新形成的兩位數m′叫作m的伴生和差數，把m放置于m′十位數字與個位數字之間，就可以得到一個新的四位數M，最小的M為，若M能被7整除，則F（m）：F（m′）的最小值為.

解析因為兩位數m的十位數字是a，個位數字是b，兩位數m′的十位數字是a+b，個位數字是a-b，四位數M=1 000（a+b）+100a+10b+（a-b）=1 101a+1 009b，所以當a=1，b=0時，M最小，M=1 101.因為M能被7整除，1≤a+b≤9，所以當a=3，b=1時，M=4 312；當a=5，b=4時，M=9 541；當a=6，b=2時，M=8 624；當a=7，b=0時，M=7 707.由題意得F（m）=a+b，F（m′）=（a+b）+（a-b）=2a，所以當F（m）F（m′）=a+b2a=12+b2a最小時，即b2a最小，所以當a=7，b=0時，F（m）F（m′）=12．

點評本題為新定義問題，主要考查整式的加減、分式加減的逆用等知識.根據題意用含a、b代數式寫出四位數M的表達式，然后根據a、b的范圍，即可得到最小的M.因為M能被7整除，從而可知a和b的取值，可得F（m）：F（m′）的最小值．

2新定義運算

例2定義一種新運算：對于任意實數a、b，滿足＜a，b＞=a-2b（a≤b），b-2aa＞b.當a=1，b=2時，＜a，b＞的最大值為．

解析因為a=1，b=2，所以a=±1，b=±2.

當a=1，b=2時，＜a，b＞=1-2×2=1-4=-3；

當a=1，b=-2時，＜a，b＞=-2-2×1=-2-2=-4；

當a=-1，b=2時，＜a，b>=-1-2×2=-1-4=-5；

當a=-1，b=-2時，＜a，b＞=-2-2×-1=2-2=0．因為-5＜-4＜-3＜0，所以＜a，b＞的最大值為0．

點評本題為新定義問題，主要考查絕對值的意義、有理數混合運算、有理數的大小比較等知識．根據絕對值的意義，易得a=±1，b=±2，再分類討論即可求出＜a，b＞的值，然后比較大小即可．

例3定義新運算：ab=1a+1b，若a-b=2，則3ab2a-2b的值是．

解析因為ab=1a+1b，所以a-b=1a+1-b=2，即b-a2=ab.故3ab2a-2b=3（b-a）4（b-a）=34.

點評本題是新定義的運算，主要考查代數式求值.理解題意，得到b-a2=ab是解決問題的關鍵．

3新定義方程

例4在平面直角坐標系xOy中，對于與原點不重合的兩個點Pa，b和Qc，d，關于x，y的方程ax+by=1稱為點P的“照耀方程”．若x=c，y=d是方程ax+by=1的解，則稱點P“照耀”了點Q. 例如，點P5，7的“照耀方程”是5x+7y=1，且x=3，y=-2是該方程的解，則點P5，7“照耀”了點Q3，-2．

（1）下列點中，被點A3，-2“照耀”的點為．

B1-1，1，B24，6，B35，7.

（2）若點Cp，q同時被點D5，-9和點E-3，7“照耀”，請求出p，q.

（3）若n個不同的點P1，P2，…，Pn，每個點都“照耀”了其后所有的點，如P1“照耀”了P2，P3，…，Pn；P2“照耀”了P3，P4，…，Pn；…Pn-1“照耀”了Pn.請寫出n的最大值，并說明理由．

解析（1）點A（3，-2）的“照耀方程”為3x-2y=1，把點B1（-1，1）代入得-3-2=-5≠1，所以點B1不是被點A（3，-2）“照耀”的點；把點B2（4，6）代入得3×4-2×6=0≠1，所以點B2不是被點A（3，-2）“照耀”的點；把點B3（5，7）代入得3×5-2×7=1，所以點B3是被點A（3，-2）“照耀”的點. 答案為B3（5，7）．

（2）點D（5，-9）的“照耀方程”為5x-9y=1，點E（-3，7）的“照耀方程”為-3x+7y=1，解方程組5x-9y=1，-3x+7y=1，得x=2，y=1.從而可知點C的坐標為（2，1），即p=2，q=1．

（3）n的最大值為3.理由如下：設點P1（a1，b1），則關于點P1（a1，b1）的“照耀方程”為a1x+b1y=1.設點P2（a2，b2），則關于點P2（a2，b2）的“照耀方程”為a2x+b2y=1.設點P3（a3，b3）是被P1（a1，b1）和P2（a2，b2）的“照耀”的點，所以x=a3，y=b3是方程組a1x+b1y=1，a2x+b3y=1的解. 因為方程組a1x+b1y=1，a2x+b3y=1為關于x、y的二元一次方程組，又因為此二元一次方程組只有一個解，所以被P1（a1，b1）和P2（a2，b2）“照耀”的點只有一個，故不可能再寫出第4個點，所以n的最大值為3．

點評本題主要考查新定義運算，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握二元一次方程組的解法．

4新定義最值

例5對于兩個不相等的數a，b，我們規定min{a，b}（a≠0）表示a，b中的較小的值.例min{2，3}=2，則方程min11-x，21-x=2x-1-3的解為．

解析根據新定義可得，若1-x＞0，即x＜1，則min11-x，21-x=11-x.

因為min11-x，21-x=2x-1-3，所以11-x=2x-1-3，所以-1=2-3x-1，解得x=2.又2＞1，所以x=2不符合題意，舍去.若1-x＜0，即x＞1，則min11-x，21-x=21-x.因為min11-x，21-x=2x-1-3，所以21-x=2x-1-3，故-2=2-3x-1，解得x=73.當x=73時，1-x=1-73=-43<0，故答案為x=73．

點評本題主要考查新定義運算、分式方程的解法等知識.解題的關鍵是根據題意將新方程轉化為分式方程，轉化過程中需要注意進行分類討論．根據新定義可知，若1-x>0，則min11-x，21-x=11-x；若1-x<0，則min11-x，21-x=21-x.分別求出x即可解決問題．

5新定義數對

例6規定a，b表示一對數對，給出如下定義：m=1a，n=b（a>0，b>0）．將m，n與n，m稱為數對a，b的一對“對稱數對”．例如，數對4，1的一對“對稱數對”為12，1與1，12．

（1）數對9，3的一對“對稱數對”是．

（2）若數對3，y的一對“對稱數”相同，則y的值是多少？

（3）若數對x，2的一個“對稱數對”是2，1，則x的值是多少？若數對a，b一個“對稱數對”是3，32，求a，b的值．

解析（1）易得m=19=13，n=3，所以數對93的一對“對稱數對”是（13，3）與（3，13）.

（2）由題意可得m=13，n=y，所以數對3，y的一對“對稱數對”為33，y與y，33.因為數對3，y的一對“對稱數對”相同，所以y=13，從而可得y=13.

（3）因為數對x，2的一對“對稱數對”是1x，2與2，1x，而數對x，2的一個“對稱數對”是2，1，所以1x=1，由此可得x=1.根據題意可得m=1a，n=b，所以數對a，b的一對“對稱數對”為1a，b與b，1a.因為數對a，b一個“對稱數對”是3，32，所以1a=3，b=32，或b=3，1a=32.從而可知a=13，b=18或a=118，b=3.

點評?;本題主要考查實數的運算，理解“對稱數對”的定義是解題的關鍵．對于問題（1），根據“對稱數對”的定義代入計算即可.對于問題（2），先將數對（3，y）的一對“對稱數對”表示出來，因為數對（3，y）的一對“對稱數對”相同，由此可得到y的值.對于問題（3），先將數對（x，2）的一對“對稱數對”表示出來，因為數對（x，2）的一個“對稱數對”是2，1，即可得出x的值；先將數對（a，b）的一對“對稱數對”表示出來，根據數對（a，b）一個“對稱數對”是3，32，即可得出a，b的值.

6結束語

新定義問題是考查學生數學能力與數學素養的新題型，也是今后中考數學命題的趨勢［2］. 因此，作為一名初中數學教師，在日常教學中要適當為學生提供新定義問題，并滲透新定義問題的解題方法，不斷提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.如此，教師可在無形中培養學生的數學學習能力，發展學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］ 崔國勛.關注中考“新定義”類數學問題［J］.數學之友，2022，36（4）：96-97.

［2］況微.中考數學“新定義”題型解題研究：以2008—2021年貴陽市中考試卷為例［J］.貴州教育，2021（23）：27-31.

［責任編輯：李璟］