三角形折疊問題的求解策略

摘要：三角形折疊問題主要考查學生的動手能力與直觀想象能力，深受中考命題專家的青睞. 解決折疊問題的關鍵，一是抓住幾何圖形折疊前后保持不變的量，即對應線段相等，對應角相等；二是抓住幾何圖形中垂直關系，為問題解決創造條件.基于此，先給首出三角形中常見折疊問題的三個基本模型，然后給出三角形折疊問題的求解策略，最后結合典型的折疊類試題，對三角形折疊問題進行深入探究，以期為初中數學教學提供參考.

關鍵詞：三角形；折疊問題；模型；探究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）26-0012-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對學生的動作操作能力提出了更高的要求，最近幾年的中考試題也頻繁考查學生的動手操作能力.為此，筆者結合典型的折疊類試題，探究三角形折疊問題的求解策略，供讀者參考.

1三角形折疊的三個基本模型

在初中數學學習中，三角形折疊是常見的幾何問題，其形式靈活多樣.不論幾何圖形如何變化，三角形折疊的本質是圖形的軸對稱變換，其有三個基本模型.如表1所示，將△ABC沿直線EF折疊，點C落在C′處，即△CEF與△C′EF關于直線EF對稱，易知△CEF≌△C′EF.根據不同圖形的結構特征，利用全等三角形的性質、三角形的內角和定理及三角形外角的性質易求得∠1，∠2，∠C之間的數量關系，這是解決三角形折疊問題的基本依據.

2三角形折疊問題的求解策略

在初中數學試題中，三角形折疊問題主要以填空題及綜合題的形式出現，一般屬于多解型問題，其難度系數較大．在解決三角形折疊問題時，要注意折疊前后“對應線段相等，對應角相等，對應點的連線被折痕垂直平分”等結論的運用. 在多解題型中，準確畫出折疊后的圖形是解題的關鍵［1］．解題時往往需要用到三角形的有關性質、判定定理、推論及其他相關的幾何知識．具體解題步驟如下：第一步，運用折疊圖形的性質找出相等的線段或角；第二步，在圖形中找到一個直角三角形.通常選擇不以折痕為邊的直角三角形，然后設圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的未知邊長用含有x的代數式表示出來；第三步，利用勾股定理列方程求出x的值；第四步，通過相關計算解決問題.

3應用舉例

例1如圖1，點M，N分別是長方形ABCD的邊AB和BC上的點，沿MN折疊長方形ABCD，點B落在點B′處，若∠MNB′與∠CNB′兩個角之差的絕對值為45°，求∠BNM的度數．甲的結論是∠BNM=45°，乙的結論是∠BNM=60°．下列判斷正確的是（）.

A．甲的結論正確B．乙的結論正確

C．甲、乙的結論合在一起才正確D．甲、乙的結論合在一起也不正確

解析由折疊的性質可知∠MNB′=∠BNM.

①當∠MNB′與∠CNB′兩個角之差為45°，即∠MNB′=∠CNB′+45°時，∠CNB′=∠MNB′-45°=∠BNM-45°.因為∠MNB′+∠MNB+∠CNB′=180°，所以∠BNM+∠BNM+∠BNM-45°=180°，解得∠BNM=75°.

②當∠CNB′與∠MNB′兩個角之差為45°，即∠MNB′=∠CNB′-45°時，∠CNB′=∠MNB′+45°=∠BNM+45°.因為∠MNB′+∠MNB+∠CNB′=180°，所以∠BNM+∠BNM+∠BNM+45°=180°，解得∠BNM=45°.

綜上所述，∠BNM=75°或45°，故選D．

點評本題主要考查折疊的性質、

三角形內角和定理、一元一次方程等知識. 由折疊的性質可知∠MNB′=∠BNM.根據圖形結構特征，需分兩種情況討論求解，一是∠MNB′與∠CNB′兩個角之差為45°；二是∠CNB′與∠MNB′兩個角之差為45°. 由此可以看出，掌握折疊的性質，利用三角形內角和定理建立方程是解題的關鍵．

例2如圖2，△ABC中，點D是BC上一點，將△ABD沿著AD翻折，得到△ADE，AE交BC于點F．若AE⊥BC，點D到AB的距離等于（）.

A．DFB．DBC．DCD．CF

解析由折疊可知∠BAD=∠EAD.因為DF⊥AE，所以點D到AB的距離等于DF，故選A．

點評本題主要考查角平分線的性質、折疊的性質、點到直線的距離等知識，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．

例3如圖3，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點N，將紙片沿著BN對折一次使得點A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點C落在BN上的C′處，已知∠CMB=68°，∠A=18°，則原三角形的∠C的度數為（）.

A．87°B．84°C．75°D．72°

解析由折疊的性質可知∠ABN=∠A′BN=∠A′BC，所以∠ABC=3∠A′BC.因為∠A′BC+∠C+∠CMB=180°，∠A+3∠A′BC+∠C=180°，∠CMB＝68°，∠A＝18°，從而可得∠A′BC+∠C+68°=180°，18°+3∠A′BC+∠C=180°，解得∠C=87°，故選A.

點評本題主要考查折疊的性質、三角形內角和定理、二元一次方程組等知識，掌握折疊的性質是解題的關鍵．根據折疊的性質可知∠ABN=∠A′BN=∠A′BC，根據三角形內角和定理可得∠A′BC+∠C+∠CMB=180°，∠A+3∠A′BC+∠C=180°，進而可得∠C的度數．

例4如圖4，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段AN的長為（）.

A．6B．5C．4D．3

解析設AN=x，易知DN=AN=x，則BN=9-x．因為D是BC的中點，所以BD=3．在Rt△BDN中，由勾股定理得ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，所以AN=5，故選B．

點評本題主要考查折疊的性質和勾股定理的應用. 由折疊的性質易得DN=AN=x，BN=9-x.在Rt△BDN中利用勾股定理列出關于x的方程，這是解決本題的關鍵．

例5如圖5，在△ABC中，∠B=42°，∠C=68°，點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．

（1）如圖5，當點P落在BC上時，求∠BEP的度數；

（2）如圖6，當PF⊥AC時，求∠AEF的度數．

解析（1）由折疊的性質可得AE=EP.因為AE=EB，所以BE=EP，所以∠B=∠BPE=42°.因為∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BEP=180°-∠B-∠BPE=180°-42°-42°=96°.

（2）因為PF⊥AC，所以∠PFA=90°.易得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，所以∠AFE=∠PFE=45°.在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-42°-68°=70°.在△AEF中，∠AEF+∠A+∠AFE=180°，所以∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-70°-45°=65°．

點評本題主要考查折疊的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是根據折疊的性質得到相等的線段和角，然后利用三角形內角和定理列方程求解.

4結束語

三角形折疊問題對學生的動手操作能力和直觀想象能力要求較高，在初中數學教學中，教師需注重培養學生的動手操作能力和直觀想象能力.通過教學活動，讓學生感受到折紙的樂趣和數學的魅力，激發學生的學習興趣，提高學生的動手操作能力，從而提高學生的直觀想象能力.

參考文獻：

［1］ 暢英英.初中數學教學中有關折疊問題的解題研究［J］.數理化解題研究，2021（29）：28-29.

［責任編輯：李璟］