問題導學模式在初中幾何推理教學中的運用

【摘要】幾何推理教學中，問題導學模式能幫助學生明確思考方向，有助于學生快速獲取解題思路，提升思維品質，培養和發展學生的邏輯推理與幾何直觀.學生能夠自主有向思考，探尋解題的快樂，激發學習興趣，樹立學習數學的自信心.

【關鍵詞】問題導學模式；初中數學；幾何推理

問題導學模式是一種借助問題引導學生獨立思考、自主學習、深度探究的教學模式，將這一模式應用到初中數學幾何推理的課堂教學過程中，對于培養學生的綜合能力有著積極意義[1].在初中階段，幾何課程是發展學生推理能力的主要載體.探尋思考過程，尋找解題思路是完成幾何推理的首要任務.為擺脫就題論題的低效環節，以問題引領為抓手，引導學生學會用數學的思維思考問題成為幾何教學的重要目標.本文主要以相交線與平行線相關內容為載體，探索問題導學模式在初中幾何推理教學中的運用.

初中數學“圖形與幾何”領域主要研究圖形的數量關系與位置關系.在幾何圖形中，特殊的位置關系常能帶來特殊的數量關系，反之亦然.學生能否準確理解幾何概念、正確進行推理，能否正確分析和使用幾何文字信息與圖形信息對解題起著關鍵作用.

解題教學過程中發現學生常難以充分應用題中的文字信息與圖形信息，疏忽“特殊的位置關系常能推出特殊的數量關系”與“特殊的數量關系可以得出特殊的位置關系”.問題導學在幾何教學中即通過問題引領，引導學生有向思考，在解題過程中將特殊的位置關系與數量關系二者緊密聯系，尋找幾何推理過程中的“橋梁”，將本無聯系的邊或角建立起聯系，學生的思路得以打開，從而順利完成證明.

1已知出發巧設問

例1如圖1，四邊形ABCD中，AB⊥AC．若∠1+∠B=90°，求證：AD∥BC.

問題1：已知條件中“∠1+∠B=90°”你是怎么理解的？

問題2：∠1與∠B在圖中是否有特殊的位置關系？能進一步推出其他幾何信息嗎？

問題3：圖中是否存在哪個角與這兩個角有特殊的位置或數量關系？

問題4：借助這些關系，你能根據已知信息“∠1+∠B=90°”推得哪些結論？

解答1：由和為90°的數量關系可得∠1與∠B為互余關系.

解答2：讀題標量，觀察幾何圖形，二者并無特殊的位置關系，無法做進一步推理.

解答3：由AB⊥AC，結合三角形的內角和定理，可得∠B與∠ACB互為余角.由圖可知，∠1與∠ACB互為內錯角.

分析本題中的∠ACB能夠使兩個本無關系的角建立起聯系，即起到“橋梁”作用.在本題的析題過程中“圖中是否有哪個角與∠1與∠B均有特殊的位置關系？”能夠幫助學生在幾何圖形中尋找相關幾何模型，有向思考，尋找中間角，充分解讀已知信息.

解答4：∠B與∠ACB互為余角，結合已知信息∠1與∠B互余，由同角的余角相等，因此可證明∠1=∠ACB這一特殊的數量關系.由內錯角相等，可進一步推得AD與BC互相平行的位置關系.

分析本題已知信息“∠1+∠B=90°”對多數中下生而言，是無從下手的條件，問題引領去尋找“橋梁”，找中間角，通過圖形中是否存在特殊位置關系切入，使∠1與∠B聯系起來，進一步推出其他幾何信息.審題與識圖的過程中，目標指向明確引導學生觀察幾何圖形，獲取有關模型，可以有效培養學生的幾何直觀.借助中間角使∠1與∠B互余的信息得到更加充分的應用，明晰思路，學生的幾何推理能力得以發展.

問題導向，目標明確，學生在解決此類問題時能夠有跡可尋，找到解決問題的一般規律，感受幾何推理的嚴謹與有序，逐步建立幾何學習的信心，激發學習熱情.將已知信息中角相關的特殊的數量關系標注圖中，如果本身就具有特殊的位置關系，容易推出兩線垂直或平行等特殊的位置關系.若相關角無特殊的位置關系，已知數量關系對部分學生而言是難以著手和理解的信息，引導搭橋找中間角建立聯系，可以進一步推出更多信息.中間角的尋找對問題的分析和解答起著關鍵作用.

例2如圖2所示，已知AD∥BC，∠A=∠C，試證明AB∥CD.

問題1：已知信息∠A=∠C可知∠A與∠C具有特殊的數量關系，在圖2中，二者有特殊的位置關系嗎？

問題2：請嘗試尋找“橋梁”，搭建起∠A與∠C之間的聯系.

解答1：∠B與∠A互為同旁內角，∠B與∠C互為同旁內角；這里∠B可以使∠A與∠C建立起聯系.

解答2：①∠ADC與∠A互為同旁內角，∠ADC與∠C互為同旁內角；這里∠ADC可以使∠A與∠C建立起聯系.

解答3：∠CDE與∠A互為同位角，∠CDE與∠C互為內錯角；這里∠CDE可以使∠A與∠C建立起聯系.

分析本題已知信息中需要關注的是“∠A=∠C”兩個角在圖中是四邊形的對角，但依據這一等量關系無法進一步推理，引導學生思考是否有角與∠A、∠C均有關系，尋找具有特殊位置關系的中間角，在∠A與∠C之間搭建橋梁，建立聯系，解決問題.問題引領，目標明確，本題的多種解法便自然生成，對中等生而言也能很快找到解題方法，明晰解題思路，學生在思考的過程中感受解題的快樂，體會成功的喜悅.本題的證明在后續學習平行四邊形相關知識中，仍會遇見，理清圖中的特殊位置關系與數量關系，能為后續復雜幾何推理的學習奠定基礎.

角度相等、互余、互補這些常見特殊關系的出現，結合圖形，常能建立特殊的位置關系.反之，平行、垂直等特殊的位置關系，能夠帶來角之間特殊的數量關系.二者相互依存，有著密切的聯系，在幾何學習的初始階段，需要引導學生關注圖中特殊關系所帶來的模型，更需要通過問題引領思考，培養學生的幾何邏輯推理能力.問題導學模式下的幾何推理教學，可以幫助學生有向思考，一題多解的思路自然打開，多數學生能夠自行解題，并提供多種解題思路.

2設問出發勤聯系

從設問出發，將題中文字信息與圖形信息緊密聯系，思考需要求證的角或線段與已知信息是否存在特殊的位置或數量關系，找到二者的“橋梁”，即能迅速理清題目的已知與求證，為解題提供有效思考方向.

例3如圖3，BC⊥AC，CD是△ABC的高，求證：∠B=∠2．

問題1：∠B與∠2在圖中有特殊的關系嗎？

問題2：∠B與哪些角有特殊的數量關系？

問題3：∠2與哪些角有特殊的數量關系？

問題4：是否存在與∠B、∠2均有特殊位置關系的角？你能找到這兩者之間的橋梁嗎？

解答1：無特殊關系.

解答2：Rt△CDB中，∠B與∠1互余；Rt△ACB中，∠B與∠A互余.

解答3：可知，∠2與∠1互余；Rt△ADC中，∠2與∠A互余.

解答4：①Rt△CDB中，∠B與∠1互余；由BC⊥AC可知，∠2與∠1互余；因此，∠1可以作為∠B、∠2的橋梁，通過等量代換可證∠B與∠2相等.

②Rt△ACB中，∠B與∠A互余；Rt△ADC中，∠2與∠A互余；因此，∠A可以作為∠B、∠2的橋梁，通過等量代換可證∠B與∠2相等.

分析解答本題的突破口在需要證明的結論“∠B=∠2”中.觀察圖形發現∠B與∠2分別在不同的三角形中，要證明兩角相等的數量關系，引導去找中間角，使其與兩個角均有關系，在此搭橋建聯系，即可順利解答.本題可找中間角∠A或∠1均可完成證明.

例4如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上．

求證：∠ADE=∠DFC.

問題1：∠ADE與∠DFC在圖中是否有特殊的位置關系？

問題2：∠ADE與∠DFC在哪一個特殊的圖形中？

問題3：你能找到聯系兩個角的“橋梁”嗎？是否存在一個角，與∠ADE、∠DFC均有特殊的位置或數量關系？

解答1：無特殊位置關系

解答2：∠ADE是直角∠DEF中的一部分；∠DFC是∠DFE中的一部分，同時也是Rt△DCF中的一個內角.

解答3：∠EDF為直角，可知∠ADF與∠ADE互余；Rt△DCF中，可知∠ADF與∠DFC互余；二者的橋梁即為∠ADF.

分析本題為2021年福建中考第21題節選部分.分析題意，易發現本題為從問題出發.觀察圖形，可知∠ADE與∠DFC發現要證明的∠ADE與∠DFC，在圖中并沒有直接的位置關系，需尋找這兩個角的中間角，即是否存在某個角與這兩個角都有特殊關系.

由△EFD為等腰直角三角形可知∠EDF=90°，即∠CDF與∠ADE互余；由∠ACB=90°可得∠DCF=90°，即△DCF是直角三角形，可得∠CDF+∠DFC=90°（若能發現∠ACB是△DCF的外角，可以更直接得到兩個角互余的數量關系），即∠CDF與∠DFC互余，由同角的余角相等，∠ADE=∠DFC得證.

本題從設問出發，為∠ADE與∠DFC找中間角，搭橋建聯系.面對中考這一重要場合，若不能清晰明確的分析題意，學生很容易在本題消耗時間，無法在較短時間內獲取答題思路，影響后續答題情緒和狀態.在日常教學過程中，通過問題導向尋找中間角解決角度證明問題，方向明確且思路清晰，在這個過程中，有方向指引，可以培養學生的幾何直觀推理能力.

3結語

問題導學模式對幾何推理教學有著重要作用，能起到事半功倍的效果.作為數學教師，在平時教學中若僅僅“授之以漁”是遠遠不夠的，更重要的是讓學生學會“悟其漁識”，即在引導學生學習數學時，除了讓學生掌握必備的知識、技能，更要注重對學生進行數學思想與方法的滲透[2].幾何學習的初始階段，通過問題引領，在充分關聯相關知識和思想方法的基礎上，尋找基本模型，有助于獲取解題思路，提升思維品質.

以題育人，問題導學模式的教學可以幫助學生在解題與析題過程中，深刻感受目標引領與方向指引的重要性，若沒有正確的引領，將難以抵達成功的彼岸.羅增儒教授曾說“解題是數學學習的一個核心內容和一種最基本的活動形式，是掌握數學和學會“數學地

思維”的基本途徑，是貫穿整個學習生活乃至整個生命歷程的伴侶”.幾何推理教學中，精準的問題引領有助于學生學會思考，掌握思考的方向和要領.

參考文獻：

[1]肖獻井.問題導學模式在初中數學課堂教學中的運用[J].新課程研究，2022（29）：66-68

[2]章建躍.章建躍數學教育隨想錄[M].杭州：杭州教育出版社，2017.