數學建模思想引領的一次函數的應用教學設計

【摘要】數學建模是數學學科核心素養之一.數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題.本節教學設計通過圖象的形式呈現了生活中的幾個問題情境，要求學生通過觀察、分析獲取有用的信息，建立一次函數模型，使學生在活動中學會解決實際問題的方法，體會“數學建模思想”的重要性.

【關鍵詞】數學建模；一次函數；教學設計

1課題：一次函數的應用第一課時

課型：新授課

課時：第一課時

2教材分析

本節課是魯教版七年級上第六章的一次函數第五節的第一課時，其主要內容是在學生已經學習了一次函數的意義、一次函數的圖象及其性質、確定一次函數的表達式的基礎之上進行的.

通過這一節課的學習使學生掌握一次函數圖象和性質，并能簡單應用性質.理解一次函數解析式中k和b的實際意義，學會從實際問題所給的圖象中識別分析出關鍵有用的信息，理解圖象中自變量和因變量的意義，建立一次函數模型解決實際問題.讓學生體會到數學學習過程中“數形結合”“方程與函數”“數學建模”思想的重要性.

3學情分析

在前面的學習過程中，學生已掌握了函數特別是一次函數的概念，認識了一次函數的圖象是一條直線，學會了如何作圖，并學習了圖象的性質.學會用圖象法、列表法、解析式法這三種方法去表示函數.在此基礎上，由于學生直接利用函數圖象解決問題的意識仍比較薄弱，為此設計了本節內容.具體為：通過圖象的形式呈現了生活中的幾個問題情境，要求學生通過觀察、分析獲取有用的信息，并據此逐步回答有關問題.學會從圖象中提取有用的關鍵信息，數形結合，建立一次函數模型解決實際問題.七年級學生在12～13歲，有一定生活經驗和較強的好奇心、求知欲，已具備了思維的完整性、深刻性和實踐性等思維品質，但抽象思維尚待提高，抽象概括能力有限．在學習過程中盡可能地為學生提供更廣闊的獨立自由思考的空間，也鼓勵學生大膽探索，調動學生的學習積極性，使學生在活動中學會解決問題的方法[1].

4教學目標

新課標導向的四維目標：

①通過函數圖象讀取信息并解決簡單實際問題；

②理解一次函數解析式中k，b的實際意義；

③體會函數與方程的關系，感受數形結合、數學建模思想

④體會數學的實際應用價值，形成保護環境的意識，感受拼搏進取的精神.

5教學重難點

教學重點：通過分析一次函數圖象所給的信息，提取關鍵信息，基于數形結合建立一次函數模型，解決簡單的實際問題.

教學難點：建立一次函數模型解決實際問題，體會函數與方程的關系，發展“數形結合”的思想.

6教學過程

6.1溫故知新

一次函數的圖象經過A（0，1200），B（50，200）兩點.求這個一次函數的解析式.

6.1.1游戲熱身，判斷對錯

請兩位同學到講臺上進行希沃課堂游戲PK判斷對錯，其他同學觀看PK，并積極思考四道判斷題.

①函數y=x-2的圖象，y隨x的增大而增大 （）

②函數y=x-2的圖象與y軸交于（-2，0） （）

③函數y=x-2的圖象與x軸交于（2，0） （）

④函數y=x-2的圖象是一條過（3，-1）的直線 （）

6.1.2待定系數法求一次函數的表達式

一次函數的圖象經過A（0，1200），B（50，200）兩點.求這個一次函數的解析式.

設計意圖利用游戲復習一次函數的性質，調動學生參與熱情.復習待定系數法確定一次函數表達式，另外本表達式在新課學習中要用到，為新課學習作鋪墊，埋下彩蛋.

6.2情境引入，新知探究

播放卡塔爾世界杯中國企業承建水庫視頻.中國企業承建了大部分世界杯的基礎工程，在我們為我國企業驕傲自豪的同時，思考下面問題：

卡塔爾常年干燥炎熱，卡塔爾某水庫的蓄水量v（萬立方米）與干旱持續時間t（天）的關系如圖1所示.觀察圖象是什么？這是我們學習過的什么類型的圖象？

思考①自變量和因變量是，圖象是一條，v是t的函數，點A的坐標，B的坐標，說出A，B的實際意義是，水庫干旱前的蓄水量是.

設計意圖為中國企業驕傲，形成節約用水環保意識，啟發學生用函數的思想解決問題.

②干旱持續10天，蓄水量是，干旱持續23天蓄水量是多少呢？

設計意圖第②問再一次通過看圖象提高學生識圖能力.第二問從圖象中“讀”出結果，讀出的結果難免有誤差.啟迪學生用代數的方法解決問題同時培養其規范的解題步驟.體會數和形兩種不同解法各自的優缺點.理解k，b的實際意義.

③干旱多少天以后水庫的蓄水量開始小于400萬m3？

設計意圖知道了蓄水量也可以從圖象上找到干旱的時間，進一步提升學生的識圖能力.

④按照這個規律，預計干旱持續多少天水庫將干涸？

設計意圖根據圖象的變化體會一次函數圖象的遞減規律是均勻變化.

6.3跟蹤練習

某新型車采用油電混動技術后大大提高了燃油效率，經測試該車油箱中的剩余油量y（升）與行駛路程x（千米）之間的關系如圖2所示.思考下列問題：

（1）圖象經過的（0，10）這個點表示的實際意義是什么？

（2）該車加滿油后能夠行駛的最大距離為多少？

（3）求出該圖象對應的解析式，并描述k的實際意義.

（4）嘗試用不同的方法解答該車行駛多遠后油箱中余油量低于2升.

設計意圖類比例題讓學生獨立完成后小組內討論 既培養了同學間的團結合作能力，同時通過小組討論思維碰撞也進一步地提高了學生的識圖能力.

播放世界杯形象大使勵志視頻，引出新練習.

6.4跟蹤練習

如圖3，足球均勻地放置在收納架上，1個足球按如圖3所示放置時距地面的高度是35cm，3個足球距地面的高度是75cm.

（1）每增加一個足球，高度增加cm，填寫下表.

（2）求y關于x的解析式;

（3）若最頂部足球距地面135cm，則該收納架共放置幾個足球？

設計意圖此題由課本課后習題羽毛球問題自創改編.學生可以通過理解分析列出一次函數表達式.個別同學會用沒有學過的二元一次方程組求解析式，這對學生是一種挑戰.本題設置的目的在于，讓學生明白當我們的實際問題沒有圖象時，我們可以建立一次函數模型解決問題，培養學生數學建模的能力.

6.5 新知探究

一次函數y=0.5x+1的圖象如圖4所示，

（1）y=0.5x+1與x軸的交點橫坐標是？

（2）方程0.5x+1=0的解是？

（3）一元一次方程0.5x+1=0與一次函數y=0.5x+1有什么聯系？

設計意圖通過觀察、類比進一步體會函數與方程、數與形的關系，順利地突破難點.建立了良好的知識體系.

6.6跟蹤練習

（1）一次函數y=ax+b的圖象如圖5所示，則方程ax+b=0的解是？

（2）如圖6，直線y=kx+b過點A（2，3），則方程kx+b=3的解是？

設計意圖基于典型的習題，幫助學生進一步突破本節的重難點：函數與方程，數與形的關系.

6.7暢談收獲

設計意圖讓學生各自回憶本節課的各個環節，述說不同的收獲，相互賞識共同提高.在反思過程中形成知識網絡，理順本節課的學習內容，抓住本節的重、難點，達到對一次函數圖象應用能力的再提升.

6.8堂清測驗

圖7所示為試驗田中某品種玉米的平均高度y（m）隨試驗田每公頃噴灑的農藥質量x（kg）變化的圖象.經研究發現，當該品種玉米的高度為1.25m時產量達到最高.求要讓玉米產量最大，每公頃噴灑農藥的量控制在多少.

設計意圖針對本節課的重難點進行檢測，做到有的放矢，為今后的教學打下堅實的基礎.

6.9布置作業

設計意圖分層作業，鞏固并拓展新知，讓學生得到不同層次的提高，達到因材施教的目的.

7結語

我們假設學習成績是時間的一次函數，k表示學習態度，b表示基礎，如果同學們都有正向積極的k，那么不管你的基礎b如何，你的學習成績就一定會像這剛勁的直線上升、上升、再上升！運用函數圖象形象地呈現付出與勤奮兩者之間的變化規律，激勵孩子不斷向上.課前課后呼應，使得整堂課更加完整和諧.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：4-7.