芻議二元一次方程組的錯解復原問題

【摘要】二元一次方程組是數學中一個重要的概念，它在數學分析和實際問題解決中有著廣泛的應用．然而，在求解二元一次方程組時，錯解是一個常見的問題．因此，如何復原錯解成為一個值得探討的問題．

【關鍵詞】初中數學；二元一次方程組；錯解復原

命題者常常命制含位置系數的二元一次方程組，通過設置參數給出學生的錯因、正解和錯解，再次考查二元一次方程組的解法，考查學生靈活的數學思維能力．

1抄錯一個參數的復原問題

例1兩位同學在解方程組ax+by=2cx+7y=3時，甲同學正確地解出x=－1y=－1，乙同學因把c抄錯了解得x=－3y=－2，則a，b，c正確的值應為（）

（A）a=－3，b=－1，c=－5．

（B）a=1，b=－1，c=－5．

（C）a=2，b=－4，c=－10．

（D）a=3，b=1，c=－5．

解析把x=－1y=－1代入方程cx+7y=3中，

得－c－7=3，

解得c=－10，

把x=－1y=－1和x=－3y=－2分別代入方程ax+by=2，

得－a－b=2－3a－2b=2，

解得a=2b=－4，

故選（C）．

點評本題主要考查了二元一次方程組的錯解問題，解題的關鍵是理解題意得出正確的方程組．把x=－1y=－1代入方程cx+7y=3中求出c的值，再把x=－1y=－1和x=－3y=－2分別代入方程ax+by=2中得到關于a，b的方程組，解方程組即可得到答案．

2分別看錯一個參數的復原問題

例2甲、乙兩人解方程組mx+y=－3①2x－ny=－3②，由于甲看錯了方程②中的n的值，得到方程組的解為x=－1y=－2，而乙看錯了方程①中的m的值，得到方程組的解為x=3y=6.請問原方程組的正確的解為多少？

解析因為甲看錯了方程②中的n的值，得到方程組的解為x=－1y=－2，

所以把x=－1y=－2代入方程①得－m－2=－3，

解得m=1.

因為乙看錯了方程①中的m的值，得到方程組的解為x=3y=6，

所以把x=3y=6代入方程②得2×3－6n=－3，

解得n=32，

所以方程組為x+y=－3①2x－32y=－3②，

由①得x=－3－y③，把③代入②得：

2－3－y－32y=－3，

解得y=－67，

把y=－67代入③得：

x=－3－－67=－157，

所以原方程組的解為x=－157y=－67．

點評本題考查了二元一次方程組解的含義及其解法，由題意分別求出m，n的值，代入原方程組即可求解，理解二元一次方程組解的含義是解題的關鍵．如果已經得到了錯誤的解，可以通過反推法來復原．即從錯誤的解出發，逐步回推，試圖找到正確的解．

3將錯就錯求正解

例3在解方程組mx+2y=62x+ny=8時，由于粗心，小軍看錯了方程組中的n，得解為x=73y=23，小紅看錯了方程組中的m，得解為x=－2y=4．

問：（1）小軍把n看成了什么數？小紅把m看成了什么數？

（2）正確的解應該是怎樣的？

解析（1）因為小軍看錯了方程組中的n，

把x=73y=23代入2x+ny=8，

得2×73+n×23=8，

解得n=5，

所以小軍把n看成了5.

因為小紅看錯了方程組中的m，

把x=－2y=4代入mx+2y=6，

得m×（－2）+2×4=6，

解得m=1，

所以小紅把m看成了1；

（2）把x=73y=23代入mx+2y=6，

得m×73+2×23=6，

解得m=2，

把x=－2y=4代入2x+ny=8，

得2×（－2）+n×4=8，

解得n=3，

所以原方程組為2x+2y=6①2x+3y=8②，

②－①得，y=2，

把y=2代入①得2x+4=6，

解得x=1，

所以原方程組的解為x=1y=2．

點評本題主要考查了二元一次方程組的錯解問題，考查方式較為新穎．依題意，得2×73+n×23=8，解得n=5，同理，得m×（－2）+2×4=6，解得m=1，即可得出答案，同樣的方法可解得n=3．可見，解決這類錯解問題，一定要弄清錯因，學生要將錯就錯、實事求是地回答問題．求解正解時要繞過錯誤的問題，根據已有的正確結果解題．

4結語

考試中，學生可能會因為緊張或者粗心而犯各種錯誤．而命題者巧妙地運用這種錯解思維命制了系數位置的二元一次方程組，借助二元一次方程組的解法來復原這類錯解問題．二元一次方程組的錯解復原問題是一個重要的數學問題，它涉及數學基礎、解題技巧和實際應用等多個方面．通過仔細地審題和查找錯因，運用反推法和代數法等手段，可以有效地復原錯解，提高解題的準確性和效率．在實踐中，錯解復原方法也有著廣泛的應用前景．期待未來有更多的研究能夠深入探討錯解復原問題，為數學教育和實際問題的解決提供更多的方法和思路．

參考文獻：

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